ecuacion cuadratica
10. Opcional pero Importante: Método de completación de cuadrados
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas mediante completación de cuadrados, transformando una expresión cuadrática en un trinomio cuadrado perfecto para encontrar sus soluciones.
La completación de cuadrados es una técnica algebraica que permite transformar una ecuación cuadrática en una expresión del tipo
\[ (x+k)^2=r \]
o, en general, en una forma equivalente que puede resolverse tomando raíz cuadrada en ambos lados.
Este método es muy importante porque no solo permite resolver ecuaciones, sino también comprender de dónde surge la fórmula general.
Una ecuación cuadrática tiene la forma:
\[ ax^2+bx+c=0, \qquad a\neq 0 \]
Procedimiento general
- Partimos de la ecuación:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
- Si \(a\neq 1\), dividimos toda la ecuación por \(a\):
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
- Movemos el término constante al lado derecho:
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
- Agregamos a ambos lados el término que completa el cuadrado:
\[ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
De este modo:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
- El lado izquierdo se transforma en un cuadrado perfecto:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
- Tomamos raíz cuadrada en ambos lados y despejamos \(x\).
Si tienes una expresión de la forma
\[ x^2+px, \]
el número que permite formar un cuadrado perfecto es
\[ \left(\frac{p}{2}\right)^2. \]
Esto se debe a que
\[ (x+k)^2=x^2+2kx+k^2. \]
Por lo tanto, el coeficiente de \(x\) debe dividirse por 2 y luego elevarse al cuadrado.
Al completar el cuadrado, el término que agregas debe sumarse en ambos lados de la ecuación.
También es importante que, si \(a\neq 1\), primero dividas toda la ecuación por \(a\). Así el coeficiente de \(x^2\) queda igual a 1 y el procedimiento se simplifica.
Después de completar el cuadrado, puede ocurrir que el lado derecho sea negativo. En ese caso, la ecuación no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejemplo resuelto
Resolver \(x^2+6x+5=0\)
Paso 1: Movemos el término constante al lado derecho:
\[ x^2+6x=-5 \]
Paso 2: Calculamos el término que completa el cuadrado:
\[ \left(\frac{6}{2}\right)^2=3^2=9 \]
Paso 3: Sumamos 9 a ambos lados:
\[ x^2+6x+9=-5+9 \]
\[ (x+3)^2=4 \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x+3=\pm 2 \]
Paso 5: Despejamos:
\[ x=-3\pm 2 \]
\[ x=-1 \qquad \text{y} \qquad x=-5 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-5\).
Ejercicios
Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando completación de cuadrados. En los ejercicios con \(a\neq 1\), conviene comenzar dividiendo toda la ecuación por \(a\).
Ejercicios con \(a=1\)
Ejercicio 1
Resolver \(x^2+4x+4=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2+4x=-4 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x+4=-4+4 \]
\[ (x+2)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x+2=0 \Rightarrow x=-2 \]
Solución: \(x=-2\) (raíz doble).
Ejercicio 2
Resolver \(x^2-2x-8=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2-2x=8 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-2}{2}\right)^2=1 \]
\[ x^2-2x+1=8+1 \]
\[ (x-1)^2=9 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x-1=\pm 3 \]
\[ x=1\pm 3 \]
\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=4\) y \(x=-2\).
Ejercicio 3
Resolver \(x^2+10x+25=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2+10x=-25 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{10}{2}\right)^2=25 \]
\[ x^2+10x+25=-25+25 \]
\[ (x+5)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x+5=0 \Rightarrow x=-5 \]
Solución: \(x=-5\) (raíz doble).
Ejercicio 4
Resolver \(x^2-6x+9=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2-6x=-9 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-6}{2}\right)^2=9 \]
\[ x^2-6x+9=-9+9 \]
\[ (x-3)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Solución: \(x=3\) (raíz doble).
Ejercicio 5
Resolver \(x^2+8x+16=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2+8x=-16 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{8}{2}\right)^2=16 \]
\[ x^2+8x+16=-16+16 \]
\[ (x+4)^2=0 \]
Paso 3: Resolvemos:
\[ x+4=0 \Rightarrow x=-4 \]
Solución: \(x=-4\) (raíz doble).
Ejercicio 6
Resolver \(x^2-4x+3=0\)
Paso 1: Movemos el término constante:
\[ x^2-4x=-3 \]
Paso 2: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2-4x+4=-3+4 \]
\[ (x-2)^2=1 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x-2=\pm 1 \]
\[ x=2\pm 1 \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=1 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=1\).
Ejercicios con \(a\neq 1\)
Cuando \(a\neq 1\), primero divide toda la ecuación por \(a\). Luego completa el cuadrado usando el coeficiente lineal resultante.
Ejercicio 7
Resolver \(2x^2+8x+6=0\)
Paso 1: Dividimos por 2:
\[ x^2+4x+3=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2+4x=-3 \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x+4=-3+4 \]
\[ (x+2)^2=1 \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+2=\pm 1 \]
\[ x=-1 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-3\).
Ejercicio 8
Resolver \(3x^2-5x-2=0\)
Paso 1: Dividimos por 3:
\[ x^2-\frac{5}{3}x-\frac{2}{3}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2-\frac{5}{3}x=\frac{2}{3} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-5/3}{2}\right)^2=\left(-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{25}{36} \]
\[ x^2-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} = \frac{2}{3}+\frac{25}{36} \]
\[ \left(x-\frac{5}{6}\right)^2=\frac{49}{36} \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x-\frac{5}{6}=\pm \frac{7}{6} \]
\[ x=\frac{5}{6}\pm \frac{7}{6} \]
\[ x=2 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{1}{3} \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-\frac{1}{3}\).
Ejercicio 9
Resolver \(4x^2+4x-8=0\)
Paso 1: Dividimos por 4:
\[ x^2+x-2=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2+x=2 \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \]
\[ x^2+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4} \]
\[ \left(x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{9}{4} \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+\frac{1}{2}=\pm \frac{3}{2} \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resolver \(5x^2-7x+2=0\)
Paso 1: Dividimos por 5:
\[ x^2-\frac{7}{5}x+\frac{2}{5}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2-\frac{7}{5}x=-\frac{2}{5} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-7/5}{2}\right)^2=\left(-\frac{7}{10}\right)^2=\frac{49}{100} \]
\[ x^2-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100} = -\frac{2}{5}+\frac{49}{100} \]
\[ \left(x-\frac{7}{10}\right)^2=\frac{9}{100} \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x-\frac{7}{10}=\pm \frac{3}{10} \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{2}{5} \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=\frac{2}{5}\).
Ejercicio 11
Resolver \(6x^2+2x-4=0\)
Paso 1: Dividimos por 6:
\[ x^2+\frac{1}{3}x-\frac{2}{3}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2+\frac{1}{3}x=\frac{2}{3} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{1/3}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{6}\right)^2=\frac{1}{36} \]
\[ x^2+\frac{1}{3}x+\frac{1}{36} = \frac{2}{3}+\frac{1}{36} \]
\[ \left(x+\frac{1}{6}\right)^2=\frac{25}{36} \]
Paso 4: Resolvemos:
\[ x+\frac{1}{6}=\pm \frac{5}{6} \]
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{2}{3}\) y \(x=-1\).
Ejercicio 12
Resolver \(7x^2-9x+3=0\)
Paso 1: Dividimos por 7:
\[ x^2-\frac{9}{7}x+\frac{3}{7}=0 \]
Paso 2: Movemos el término constante:
\[ x^2-\frac{9}{7}x=-\frac{3}{7} \]
Paso 3: Completamos el cuadrado:
\[ \left(\frac{-9/7}{2}\right)^2=\left(-\frac{9}{14}\right)^2=\frac{81}{196} \]
\[ x^2-\frac{9}{7}x+\frac{81}{196} = -\frac{3}{7}+\frac{81}{196} \]
\[ \left(x-\frac{9}{14}\right)^2=-\frac{3}{196} \]
Paso 4: Analizamos el resultado:
El lado izquierdo es un cuadrado, por lo tanto no puede ser negativo en \(\mathbb{R}\).
Conclusión: la ecuación no tiene solución real.
Completar el cuadrado consiste en transformar una ecuación cuadrática en una forma como
\[ (x+k)^2=r. \]
Desde ahí, resolver se vuelve más directo: se toma raíz cuadrada y luego se despeja la incógnita.
Este método ayuda a comprender la estructura de una ecuación cuadrática y permite resolverla incluso cuando no se factoriza fácilmente. Además, muestra con claridad cuándo una ecuación tiene dos soluciones reales, una solución doble o ninguna solución real.