ecuacion cuadratica
7. Ecuaciones cuadráticas en formas no generales
Objetivo de aprendizaje
Resolver ecuaciones cuadráticas que no están escritas inicialmente en la forma general \(ax^2+bx+c=0\), reconociendo la estrategia más conveniente en cada caso y avanzando progresivamente hacia ejercicios con factores literales.
Muchas ecuaciones cuadráticas no aparecen escritas directamente como
\[ ax^2+bx+c=0. \]
Antes de resolverlas, a veces es necesario desarrollar productos, trasladar términos, factorizar o reconocer cuadrados perfectos.
La idea de esta guía es que identifiques la forma de la ecuación y decidas cuál es el mejor camino para resolverla.
- Observa cómo está escrita la ecuación.
- Decide si conviene:
- tomar raíz cuadrada,
- aplicar producto cero,
- desarrollar y llevar a forma general,
- factorizar.
- Si es necesario, reorganiza la ecuación hasta obtener una forma conocida.
- Resuelve y verifica las soluciones.
En esta página los ejercicios están organizados desde los más directos hacia otros que exigen más manipulación algebraica. Al final se incorpora una sección especial con factores literales, para preparar el paso desde lo numérico hacia expresiones con parámetros.
No todas las ecuaciones deben resolverse del mismo modo. Si ya tienes un producto igualado a cero, normalmente conviene usar la propiedad del producto cero. Si aparece un cuadrado igualado a un número, suele ser más rápido usar raíz cuadrada.
Nivel 1: ecuaciones directas y cuadrados perfectos
Ejercicio 1
Resolver \((x+3)^2=25\).
\[ x+3=\pm 5 \]
\[ x=2 \quad \text{ó} \quad x=-8 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-8\).
Ejercicio 2
Resolver \(4x^2=16\).
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 3
Resolver \(x^2-9=0\).
\[ x^2=9 \]
\[ x=\pm 3 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 4
Resolver \(2(x-1)^2=8\).
\[ (x-1)^2=4 \]
\[ x-1=\pm 2 \]
\[ x=3 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-1\).
Ejercicio 5
Resolver \((2x+1)^2=49\).
\[ 2x+1=\pm 7 \]
\[ x=3 \quad \text{ó} \quad x=-4 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-4\).
Ejercicio 6
Resolver \(x^2=16\).
\[ x=\pm 4 \]
Soluciones: \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 7
Resolver \((3x-2)^2=1\).
\[ 3x-2=\pm 1 \]
\[ 3x=3 \Rightarrow x=1 \]
\[ 3x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{3} \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=\frac{1}{3}\).
Ejercicio 8
Resolver \(2(x+4)^2=18\).
\[ (x+4)^2=9 \]
\[ x+4=\pm 3 \]
\[ x=-1 \quad \text{ó} \quad x=-7 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-7\).
Ejercicio 9
Resolver \(4x^2-16=0\).
\[ 4x^2=16 \]
\[ x^2=4 \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 10
Resolver \((2x+3)^2=36\).
\[ 2x+3=\pm 6 \]
\[ 2x=3 \Rightarrow x=\frac{3}{2} \]
\[ 2x=-9 \Rightarrow x=-\frac{9}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=-\frac{9}{2}\).
Ejercicio 11
Resolver \((x+2)^2=9\).
\[ x+2=\pm 3 \]
\[ x=1 \quad \text{ó} \quad x=-5 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-5\).
Ejercicio 12
Resolver \(3(x+2)^2=12\).
\[ (x+2)^2=4 \]
\[ x+2=\pm 2 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-4 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-4\).
Ejercicio 13
Resolver \((x-2)^2=5\).
\[ x-2=\pm \sqrt{5} \]
\[ x=2+\sqrt{5} \quad \text{ó} \quad x=2-\sqrt{5} \]
Soluciones: \(x=2+\sqrt{5}\) y \(x=2-\sqrt{5}\).
Ejercicio 14
Resolver \((2x-3)^2=16\).
\[ 2x-3=\pm 4 \]
\[ 2x=7 \Rightarrow x=\frac{7}{2} \]
\[ 2x=-1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{7}{2}\) y \(x=-\frac{1}{2}\).
Ejercicio 15
Resolver \((x+5)^2=12\).
\[ x+5=\pm \sqrt{12} \]
\[ x+5=\pm 2\sqrt{3} \]
\[ x=-5+2\sqrt{3} \quad \text{ó} \quad x=-5-2\sqrt{3} \]
Soluciones: \(x=-5+2\sqrt{3}\) y \(x=-5-2\sqrt{3}\).
Nivel 2: producto cero visible
Ejercicio 16
Resolver \((x-5)(x+1)=0\).
Aplicamos producto cero:
\[ x-5=0 \quad \text{ó} \quad x+1=0 \]
\[ x=5 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-1\).
Ejercicio 17
Resolver \(x(x-7)=0\).
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x-7=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=7 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=7\).
Ejercicio 18
Resolver \((x+6)(x-2)=0\).
\[ x+6=0 \quad \text{ó} \quad x-2=0 \]
\[ x=-6 \quad \text{ó} \quad x=2 \]
Soluciones: \(x=-6\) y \(x=2\).
Ejercicio 19
Resolver \((x-1)(x+5)=0\).
\[ x-1=0 \quad \text{ó} \quad x+5=0 \]
\[ x=1 \quad \text{ó} \quad x=-5 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=-5\).
Ejercicio 20
Resolver \(2x^2-8x=0\).
Factorizamos:
\[ 2x(x-4)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=4 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=4\).
Ejercicio 21
Resolver \((3x+1)(x-4)=0\).
\[ 3x+1=0 \quad \text{ó} \quad x-4=0 \]
\[ x=-\frac{1}{3} \quad \text{ó} \quad x=4 \]
Soluciones: \(x=-\frac{1}{3}\) y \(x=4\).
Ejercicio 22
Resolver \(5x(x-3)=0\).
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x-3=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=3 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=3\).
Ejercicio 23
Resolver \(4x(x+3)=0\).
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x+3=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-3 \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-3\).
Ejercicio 24
Resolver \((x-4)(x+6)=0\).
\[ x-4=0 \quad \text{ó} \quad x+6=0 \]
\[ x=4 \quad \text{ó} \quad x=-6 \]
Soluciones: \(x=4\) y \(x=-6\).
Nivel 3: llevar a forma general antes de resolver
Ejercicio 25
Resolver \(x(x+4)=12\).
Llevamos a forma general:
\[ x^2+4x-12=0 \]
Factorizamos:
\[ (x+6)(x-2)=0 \]
\[ x=-6 \quad \text{ó} \quad x=2 \]
Soluciones: \(x=-6\) y \(x=2\).
Ejercicio 26
Resolver \(x^2+6x=7\).
\[ x^2+6x-7=0 \]
\[ (x+7)(x-1)=0 \]
\[ x=-7 \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=-7\) y \(x=1\).
Ejercicio 27
Resolver \(3x(x-2)=6\).
\[ 3x^2-6x=6 \]
\[ 3x^2-6x-6=0 \]
Dividimos por 3:
\[ x^2-2x-2=0 \]
Aplicamos fórmula o completación:
\[ x=1\pm \sqrt{3} \]
Soluciones: \(x=1+\sqrt{3}\) y \(x=1-\sqrt{3}\).
Ejercicio 28
Resolver \(2x^2+3=5x\).
\[ 2x^2-5x+3=0 \]
\[ (2x-3)(x-1)=0 \]
\[ x=\frac{3}{2} \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=1\).
Ejercicio 29
Resolver \(5x^2=20x-15\).
\[ 5x^2-20x+15=0 \]
Dividimos por 5:
\[ x^2-4x+3=0 \]
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
\[ x=1 \quad \text{ó} \quad x=3 \]
Soluciones: \(x=1\) y \(x=3\).
Ejercicio 30
Resolver \(x^2-5x=14\).
\[ x^2-5x-14=0 \]
\[ (x-7)(x+2)=0 \]
\[ x=7 \quad \text{ó} \quad x=-2 \]
Soluciones: \(x=7\) y \(x=-2\).
Ejercicio 31
Resolver \(x^2-4=21\).
\[ x^2=25 \]
\[ x=\pm 5 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-5\).
Ejercicio 32
Resolver \(x(x+1)=2\).
\[ x^2+x-2=0 \]
\[ (x+2)(x-1)=0 \]
\[ x=-2 \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=-2\) y \(x=1\).
Ejercicio 33
Resolver \(x^2-8x=9\).
\[ x^2-8x-9=0 \]
\[ (x-9)(x+1)=0 \]
\[ x=9 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=9\) y \(x=-1\).
Ejercicio 34
Resolver \(2x^2-3x=5\).
\[ 2x^2-3x-5=0 \]
\[ (2x-5)(x+1)=0 \]
\[ x=\frac{5}{2} \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=\frac{5}{2}\) y \(x=-1\).
Nivel 4: ecuaciones cuadráticas ya en forma general
Ejercicio 35
Resolver \(x^2-4x-5=0\).
\[ (x-5)(x+1)=0 \]
\[ x=5 \quad \text{ó} \quad x=-1 \]
Soluciones: \(x=5\) y \(x=-1\).
Ejercicio 36
Resolver \(x^2+2x-3=0\).
\[ (x+3)(x-1)=0 \]
\[ x=-3 \quad \text{ó} \quad x=1 \]
Soluciones: \(x=-3\) y \(x=1\).
Ejercicio 37
Resolver \(x^2+3x+2=0\).
\[ (x+1)(x+2)=0 \]
\[ x=-1 \quad \text{ó} \quad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-1\) y \(x=-2\).
Ejercicio 38
Resolver \(x^2+7x+10=0\).
\[ (x+5)(x+2)=0 \]
\[ x=-5 \quad \text{ó} \quad x=-2 \]
Soluciones: \(x=-5\) y \(x=-2\).
Ejercicio 39
Resolver \(x^2-10x+25=0\).
\[ (x-5)^2=0 \]
\[ x=5 \]
Solución: \(x=5\) (raíz doble).
Ejercicio 40
Resolver \(4x^2-9=0\).
\[ 4x^2=9 \]
\[ x^2=\frac{9}{4} \]
\[ x=\pm \frac{3}{2} \]
Soluciones: \(x=\frac{3}{2}\) y \(x=-\frac{3}{2}\).
Nivel 5: transición progresiva hacia factores literales
En estos ejercicios, además de la incógnita \(x\), aparecen otras letras que representan números. La lógica algebraica es la misma: cambian los símbolos, pero se mantienen las propiedades y los métodos.
Cuando una letra aparece como coeficiente, conviene indicar la condición correspondiente. Por ejemplo, si se divide por \(m\), entonces debe asumirse \(m\neq 0\).
Ejercicio 41
Resolver \((x+a)^2=16\).
\[ x+a=\pm 4 \]
\[ x=-a+4 \quad \text{ó} \quad x=-a-4 \]
Soluciones: \(x=-a+4\) y \(x=-a-4\).
Ejercicio 42
Resolver \(mx^2=9m\), suponiendo \(m\neq 0\).
Como \(m\neq 0\), dividimos por \(m\):
\[ x^2=9 \]
\[ x=\pm 3 \]
Soluciones: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 43
Resolver \(x(x+b)=0\).
Aplicamos producto cero:
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x+b=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-b \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-b\).
Ejercicio 44
Resolver \((x-p)(x+q)=0\).
\[ x-p=0 \quad \text{ó} \quad x+q=0 \]
\[ x=p \quad \text{ó} \quad x=-q \]
Soluciones: \(x=p\) y \(x=-q\).
Ejercicio 45
Resolver \(x^2+sx=0\).
Factorizamos:
\[ x(x+s)=0 \]
\[ x=0 \quad \text{ó} \quad x=-s \]
Soluciones: \(x=0\) y \(x=-s\).
Ejercicio 46
Resolver \(x^2-(m+n)x+mn=0\).
Reconocemos la factorización:
\[ x^2-(m+n)x+mn=(x-m)(x-n) \]
\[ (x-m)(x-n)=0 \]
\[ x=m \quad \text{ó} \quad x=n \]
Soluciones: \(x=m\) y \(x=n\).
Ejercicio 47
Resolver \(x^2+(a+b)x+ab=0\).
Reconocemos la factorización:
\[ x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) \]
\[ (x+a)(x+b)=0 \]
\[ x=-a \quad \text{ó} \quad x=-b \]
Soluciones: \(x=-a\) y \(x=-b\).
Ejercicio 48
Resolver \(r^2x^2-k^2=0\), suponiendo \(r\neq 0\).
Es una diferencia de cuadrados:
\[ r^2x^2-k^2=(rx-k)(rx+k) \]
\[ (rx-k)(rx+k)=0 \]
\[ rx-k=0 \Rightarrow x=\frac{k}{r} \]
\[ rx+k=0 \Rightarrow x=-\frac{k}{r} \]
Soluciones: \(x=\frac{k}{r}\) y \(x=-\frac{k}{r}\).
Pasar desde ejercicios numéricos a ejercicios con factores literales no cambia la lógica del álgebra: cambian los símbolos, pero se mantienen las propiedades de producto cero, raíz cuadrada, factorización y traslado de términos.
Reconocer la forma de una ecuación antes de resolverla permite elegir un método adecuado y trabajar con mayor seguridad. Esa es una habilidad central en el estudio de las ecuaciones cuadráticas.