Logaritmos
5. Propiedad de la Potencia
Objetivo de aprendizaje
Aplicar la propiedad de la potencia en logaritmos para simplificar expresiones y reconocer el exponente como un factor que puede salir del logaritmo.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c\in\mathbb{R}\), entonces:
\[ \log_a\left(b^c\right)=c\log_a(b) \]
Cuando el argumento del logaritmo está elevado a una potencia, ese exponente puede pasar adelante multiplicando.
Esta propiedad es muy útil para simplificar expresiones y también para trabajar con raíces, ya que una raíz puede escribirse como una potencia fraccionaria.
Si el exponente está dentro del logaritmo, puede salir multiplicando.
\[ \log_a\left(b^c\right)\rightarrow c\log_a(b) \]
La propiedad de la potencia actúa sobre el argumento completo.
Por ejemplo:
\[ \log_a\left(x^3\right)=3\log_a(x) \]
pero no se puede inventar una potencia si el exponente no está realmente en el argumento.
Ejemplo 1: potencia entera
Simplifiquemos:
\[ \log_2\left(8^2\right) \]
Aplicamos la propiedad de la potencia:
\[ \log_2\left(8^2\right)=2\log_2(8) \]
Como:
\[ \log_2(8)=3 \]
entonces:
\[ \log_2\left(8^2\right)=2\cdot 3=6 \]
Ejemplo 2: potencia con variable
Simplifiquemos:
\[ \log_a\left(x^5\right) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a\left(x^5\right)=5\log_a(x) \]
Esta expresión es válida cuando \(x>0\).
Ejemplo 3: caso con raíz
Recordemos que una raíz puede escribirse como potencia:
\[ \sqrt[3]{x}=x^{1/3} \]
Entonces:
\[ \log_a\left(\sqrt[3]{x}\right)=\log_a\left(x^{1/3}\right) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_a\left(x^{1/3}\right)=\frac{1}{3}\log_a(x) \]
Como: \[ \sqrt[c]{b}=b^{1/c} \]
se obtiene: \[ \log_a\left(\sqrt[c]{b}\right)=\log_a\left(b^{1/c}\right)=\frac{1}{c}\log_a(b) \]
Ejercicio 1
Aplica la propiedad de la potencia y calcula:
\(\log_2(4^3)\)
\(\log_3(9^2)\)
\(\log_5(25^2)\)
\[ \log_2(4^3)=3\log_2(4)=3\cdot 2=6 \]
\[ \log_3(9^2)=2\log_3(9)=2\cdot 2=4 \]
\[ \log_5(25^2)=2\log_5(25)=2\cdot 2=4 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando la propiedad de la potencia:
\(\log_a(m^7)\)
\(\log_4(x^3)\)
\(\log_b(y^n)\)
\[ \log_a(m^7)=7\log_a(m) \]
\[ \log_4(x^3)=3\log_4(x) \]
\[ \log_b(y^n)=n\log_b(y) \]
Ejercicio 3
Escribe cada raíz como potencia y luego aplica la propiedad:
\(\log_a(\sqrt{x})\)
\(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
\(\log_b(\sqrt[4]{m})\)
\[ \log_a(\sqrt{x})=\log_a(x^{1/2})=\frac{1}{2}\log_a(x) \]
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
\[ \log_b(\sqrt[4]{m})=\log_b(m^{1/4})=\frac{1}{4}\log_b(m) \]
La propiedad de la potencia permite sacar exponentes del argumento y convertirlos en factores. Esto simplifica mucho el trabajo con potencias y raíces dentro de los logaritmos.