Logaritmos
6. Logaritmo de una Raíz
Objetivo de aprendizaje
Relacionar el logaritmo de una raíz con la propiedad de la potencia, reescribiendo raíces como potencias de exponente fraccionario para simplificar expresiones logarítmicas.
Una raíz puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario:
\[ \sqrt[c]{b}=b^{1/c} \]
Por eso, el logaritmo de una raíz se resuelve aplicando la propiedad de la potencia.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(b>0\) y \(c\in\mathbb{N}\), entonces:
\[ \log_a\left(\sqrt[c]{b}\right)=\log_a\left(b^{1/c}\right)=\frac{1}{c}\log_a(b) \]
Primero se transforma la raíz en potencia:
\[ \sqrt[c]{b}=b^{1/c} \]
Luego se aplica la propiedad:
\[ \log_a\left(b^{1/c}\right)=\frac{1}{c}\log_a(b) \]
Así, el índice de la raíz pasa a ser el denominador de una fracción que multiplica al logaritmo.
Aunque aparezca una raíz, el argumento del logaritmo debe seguir siendo positivo.
En este contexto trabajaremos con expresiones donde:
- \(a>0\)
- \(a\neq 1\)
- \(b>0\)
Ejemplo 1: raíz cuadrada
Simplifiquemos:
\[ \log_3(\sqrt{9}) \]
Escribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt{9}=9^{1/2} \]
Entonces:
\[ \log_3(\sqrt{9})=\log_3(9^{1/2})=\frac{1}{2}\log_3(9) \]
Como:
\[ \log_3(9)=2 \]
se obtiene:
\[ \log_3(\sqrt{9})=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
Ejemplo 2: raíz cúbica
Simplifiquemos:
\[ \log_2(\sqrt[3]{8}) \]
Reescribimos:
\[ \sqrt[3]{8}=8^{1/3} \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8) \]
Como:
\[ \log_2(8)=3 \]
entonces:
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
Ejemplo 3: expresión literal
Simplifiquemos:
\[ \log_a(\sqrt[5]{x}) \]
Escribimos la raíz como potencia:
\[ \sqrt[5]{x}=x^{1/5} \]
Luego:
\[ \log_a(\sqrt[5]{x})=\log_a(x^{1/5})=\frac{1}{5}\log_a(x) \]
Esta expresión es válida para \(x>0\).
\[ \log_a(\sqrt{b})=\frac{1}{2}\log_a(b) \]
\[ \log_a(\sqrt[3]{b})=\frac{1}{3}\log_a(b) \]
\[ \log_a(\sqrt[4]{b})=\frac{1}{4}\log_a(b) \]
Ejercicio 1
Escribe cada raíz como potencia y luego simplifica:
\(\log_5(\sqrt{25})\)
\(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
\(\log_4(\sqrt{16})\)
\[ \log_5(\sqrt{25})=\log_5(25^{1/2})=\frac{1}{2}\log_5(25)=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
\[ \log_4(\sqrt{16})=\log_4(16^{1/2})=\frac{1}{2}\log_4(16)=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
Ejercicio 2
Reescribe usando un coeficiente delante del logaritmo:
\(\log_a(\sqrt{x})\)
\(\log_b(\sqrt[3]{m})\)
\(\log_7(\sqrt[4]{y})\)
\[ \log_a(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\log_a(x) \]
\[ \log_b(\sqrt[3]{m})=\frac{1}{3}\log_b(m) \]
\[ \log_7(\sqrt[4]{y})=\frac{1}{4}\log_7(y) \]
Ejercicio 3
Completa:
\(\log_a(\sqrt[6]{x})=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_3(\sqrt[2]{9})=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_b(\sqrt[n]{m})=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\[ \log_a(\sqrt[6]{x})=\frac{1}{6}\log_a(x) \]
\[ \log_3(\sqrt[2]{9})=\frac{1}{2}\log_3(9)=\frac{1}{2}\cdot 2=1 \]
\[ \log_b(\sqrt[n]{m})=\frac{1}{n}\log_b(m) \]
El logaritmo de una raíz se resuelve transformando la raíz en potencia. Así, el índice de la raíz pasa a ser un divisor del logaritmo.