Logaritmos
8. Bases Potencia y Bases Raíz
Objetivo de aprendizaje
Aplicar propiedades de logaritmos cuando la base está escrita como potencia o como raíz de otra base conocida.
A veces la base de un logaritmo no aparece de forma simple, sino como una potencia o como una raíz.
En esos casos, conviene expresar todo en función de una misma base para reconocer el exponente buscado.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b\neq 0\), entonces:
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{b} \]
Esto ocurre porque buscamos el exponente \(x\) tal que:
\[ (a^b)^x=a \]
Entonces:
\[ a^{bx}=a^1 \quad \Rightarrow \quad bx=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{b} \]
Como: \[ \sqrt[b]{a}=a^{1/b} \]
se obtiene:
\[ \log_{\sqrt[b]{a}}(a)=b \]
En efecto, si buscamos \(x\) tal que:
\[ \left(a^{1/b}\right)^x=a \]
entonces:
\[ a^{x/b}=a^1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{b}=1 \quad \Rightarrow \quad x=b \]
En ambos casos se trabaja con la misma base \(a\), pero escrita de manera distinta.
La estrategia consiste en transformar la expresión para comparar exponentes y resolver la igualdad.
No se debe confundir:
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{b} \]
con la expresión incorrecta:
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{a} \]
El denominador correcto es el exponente \(b\), no la base \(a\).
Ejemplo 1: base potencia
Calculemos:
\[ \log_{2^3}(2) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_{2^3}(2)=\frac{1}{3} \]
Verificación:
\[ (2^3)^{1/3}=2 \]
Ejemplo 2: base raíz
Calculemos:
\[ \log_{\sqrt{5}}(5) \]
Como \(\sqrt{5}=5^{1/2}\), se tiene:
\[ \log_{5^{1/2}}(5)=2 \]
Verificación:
\[ \left(5^{1/2}\right)^2=5 \]
Ejemplo 3: otra base raíz
Calculemos:
\[ \log_{\sqrt[3]{7}}(7) \]
Como:
\[ \sqrt[3]{7}=7^{1/3} \]
resulta:
\[ \log_{7^{1/3}}(7)=3 \]
Ejercicio 1
Calcula:
\(\log_{3^2}(3)\)
\(\log_{5^4}(5)\)
\(\log_{10^3}(10)\)
\[ \log_{3^2}(3)=\frac{1}{2} \]
\[ \log_{5^4}(5)=\frac{1}{4} \]
\[ \log_{10^3}(10)=\frac{1}{3} \]
Ejercicio 2
Calcula:
\(\log_{\sqrt{2}}(2)\)
\(\log_{\sqrt[4]{3}}(3)\)
\(\log_{\sqrt[5]{11}}(11)\)
\[ \log_{\sqrt{2}}(2)=2 \]
\[ \log_{\sqrt[4]{3}}(3)=4 \]
\[ \log_{\sqrt[5]{11}}(11)=5 \]
Ejercicio 3
Completa:
\(\log_{a^b}(a)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_{\sqrt[b]{a}}(a)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\(\log_{a^{1/7}}(a)=\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)
\[ \log_{a^b}(a)=\frac{1}{b} \]
\[ \log_{\sqrt[b]{a}}(a)=b \]
\[ \log_{a^{1/7}}(a)=7 \]
Cuando la base aparece como potencia o como raíz, conviene reescribirla en función de una misma base para comparar exponentes y reconocer rápidamente el valor del logaritmo.