Logaritmos
9. Potencias en la Base y en el Argumento
Objetivo de aprendizaje
Aplicar propiedades de logaritmos cuando tanto la base como el argumento aparecen escritos como potencias, simplificando expresiones al comparar exponentes.
Cuando la base y el argumento están expresados como potencias, conviene reescribir todo usando una misma base o aplicar cambio de base de forma ordenada.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b\neq 0\), entonces:
\[ \log_{a^b}(a^c)=\frac{c}{b} \]
En efecto, si:
\[ \log_{a^b}(a^c)=x \]
entonces:
\[ (a^b)^x=a^c \]
y por propiedades de potencias:
\[ a^{bx}=a^c \]
Por lo tanto:
\[ bx=c \quad \Rightarrow \quad x=\frac{c}{b} \]
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), \(c>0\), \(d\in\mathbb{R}\) y \(b\neq 0\), entonces:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{d}{b}\log_a(c) \]
Esta propiedad puede obtenerse usando cambio de base:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{\log_a(c^d)}{\log_a(a^b)} \]
Luego:
\[ \log_a(c^d)=d\log_a(c) \qquad \text{y} \qquad \log_a(a^b)=b \]
Entonces:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{d\log_a(c)}{b}=\frac{d}{b}\log_a(c) \]
No se debe confundir:
\[ \log_{a^b}(c^d)=\frac{d}{b}\log_a(c) \]
con una expresión incorrecta como:
\[ \frac{d}{c}\log_a(c) \]
El denominador correcto es \(b\), porque proviene del exponente de la base \(a^b\).
Estas fórmulas son útiles cuando aparecen logaritmos más complejos y queremos simplificarlos rápidamente sin desarrollar demasiado.
También ayudan a reconocer patrones y a conectar cambio de base, potencia y cancelación.
Ejemplo 1: base y argumento con la misma base
Calculemos:
\[ \log_{2^3}(2^6) \]
Aplicamos la propiedad:
\[ \log_{2^3}(2^6)=\frac{6}{3}=2 \]
Verificación:
\[ (2^3)^2=2^6 \]
Ejemplo 2: otro caso directo
Calculemos:
\[ \log_{5^2}(5^7) \]
Usamos la propiedad:
\[ \log_{5^2}(5^7)=\frac{7}{2} \]
Ejemplo 3: base y argumento distintos
Simplifiquemos:
\[ \log_{2^3}(8^2) \]
Como \(8=2^3\), se tiene:
\[ 8^2=(2^3)^2=2^6 \]
Entonces:
\[ \log_{2^3}(8^2)=\log_{2^3}(2^6)=\frac{6}{3}=2 \]
Ejemplo 4: uso de la fórmula general
Simplifiquemos:
\[ \log_{3^2}(7^4) \]
Aplicamos:
\[ \log_{3^2}(7^4)=\frac{4}{2}\log_3(7) \]
Por lo tanto:
\[ \log_{3^2}(7^4)=2\log_3(7) \]
Ejercicio 1
Calcula:
\(\log_{3^2}(3^8)\)
\(\log_{10^4}(10^2)\)
\(\log_{7^3}(7^6)\)
\[ \log_{3^2}(3^8)=\frac{8}{2}=4 \]
\[ \log_{10^4}(10^2)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \]
\[ \log_{7^3}(7^6)=\frac{6}{3}=2 \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\(\log_{a^b}(a^c)\)
\(\log_{m^2}(m^5)\)
\(\log_{x^7}(x^3)\)
\[ \log_{a^b}(a^c)=\frac{c}{b} \]
\[ \log_{m^2}(m^5)=\frac{5}{2} \]
\[ \log_{x^7}(x^3)=\frac{3}{7} \]
Ejercicio 3
Aplica la fórmula general:
\(\log_{2^2}(5^3)\)
\(\log_{a^4}(c^2)\)
\(\log_{7^5}(m^10)\)
\[ \log_{2^2}(5^3)=\frac{3}{2}\log_2(5) \]
\[ \log_{a^4}(c^2)=\frac{2}{4}\log_a(c)=\frac{1}{2}\log_a(c) \]
\[ \log_{7^5}(m^{10})=\frac{10}{5}\log_7(m)=2\log_7(m) \]
Cuando la base y el argumento aparecen como potencias, se pueden comparar exponentes o aplicar cambio de base para simplificar la expresión. Esto permite resolver logaritmos complejos de forma más rápida y ordenada.