Logaritmos
10. Cancelación entre Potencia y Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Reconocer y aplicar la relación inversa entre la potenciación y el logaritmo para simplificar expresiones de forma directa y correcta.
La potenciación y el logaritmo son operaciones inversas cuando trabajan con la misma base.
Por eso, en ciertas expresiones se produce una cancelación directa.
Si \(a>0\), \(a\neq 1\), entonces:
\[ \log_a(a^b)=b \]
Esto ocurre porque el logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente hay que elevar la base \(a\) para obtener \(a^b\)?
La respuesta es justamente \(b\).
Si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(b>0\), entonces:
\[ a^{\log_a(b)}=b \]
En este caso, el exponente \(\log_a(b)\) indica exactamente cuánto hay que elevar la base \(a\) para obtener \(b\).
La definición de logaritmo dice:
\[ \log_a(c)=x \iff a^x=c \]
Entonces, si dentro del logaritmo aparece una potencia de base \(a\), o si un exponente es un logaritmo en base \(a\), ambas operaciones se deshacen entre sí.
La cancelación solo funciona cuando la base es la misma.
Por ejemplo:
\[ \log_2(2^5)=5 \]
pero no se puede cancelar directamente en:
\[ \log_2(3^5) \]
porque la base del logaritmo es \(2\) y la base de la potencia es \(3\).
Ejemplo 1: cancelación directa en un logaritmo
Simplifiquemos:
\[ \log_3(3^4) \]
Como la base del logaritmo y la base de la potencia son iguales, se cancela:
\[ \log_3(3^4)=4 \]
Ejemplo 2: cancelación en una potencia
Simplifiquemos:
\[ 5^{\log_5(7)} \]
Como la base es la misma, se cancela:
\[ 5^{\log_5(7)}=7 \]
Ejemplo 3: con una expresión algebraica
Simplifiquemos:
\[ a^{\log_a(x)} \]
Aplicando la cancelación:
\[ a^{\log_a(x)}=x \]
Esta igualdad es válida si \(a>0\), \(a\neq 1\) y \(x>0\).
Ejemplo 4: cuando no hay cancelación directa
Observemos:
\[ \log_2(8^2) \]
Aquí no se puede cancelar directamente, porque la base del logaritmo es \(2\) y la potencia está en base \(8\).
Sin embargo, como \(8=2^3\), se puede reescribir:
\[ \log_2(8^2)=\log_2\left((2^3)^2\right)=\log_2(2^6)=6 \]
Ejercicio 1
Simplifica aplicando cancelación directa:
\(\log_2(2^7)\)
\(\log_5(5^{-1})\)
\(\log_7(7^{3/2})\)
\[ \log_2(2^7)=7 \]
\[ \log_5(5^{-1})=-1 \]
\[ \log_7(7^{3/2})=\frac{3}{2} \]
Ejercicio 2
Simplifica:
\(2^{\log_2(9)}\)
\(10^{\log(4)}\)
\(a^{\log_a(m)}\)
\[ 2^{\log_2(9)}=9 \]
\[ 10^{\log(4)}=4 \]
\[ a^{\log_a(m)}=m \]
Ejercicio 3
Decide si hay cancelación directa. Si la hay, simplifica.
\(\log_3(3^x)\)
\(\log_4(2^x)\)
\(7^{\log_7(y)}\)
\[ \log_3(3^x)=x \]
En \(\log_4(2^x)\) no hay cancelación directa, porque las bases son distintas.
\[ 7^{\log_7(y)}=y \]
Cuando la base del logaritmo y la base de la potencia coinciden, ambas operaciones se anulan entre sí. Reconocer esta cancelación permite simplificar muchas expresiones de manera inmediata.