Logaritmos
13. Interpretación Gráfica del Logaritmo
Objetivo de aprendizaje
Interpretar gráficamente la función logarítmica, reconociendo su dominio, algunos puntos clave y su relación con la función exponencial.
El logaritmo responde a la pregunta: ¿a qué exponente debo elevar la base para obtener un número?
Por eso, la gráfica de una función logarítmica se relaciona directamente con la función exponencial.
En esta página observaremos principalmente la función:
\[ y=\log_{10}(x) \]
También la compararemos con:
\[ y=10^x \]
- La función logarítmica solo está definida para \(x>0\).
- Pasa por el punto \((1,0)\), porque \(\log_{10}(1)=0\).
- Pasa por \((10,1)\), porque \(\log_{10}(10)=1\).
- Pasa por \((100,2)\), porque \(\log_{10}(100)=2\).
- Crece, pero lo hace lentamente.
Ejemplo 1: gráfica de \(y=\log_{10}(x)\)
En la siguiente gráfica se muestran algunos puntos clave de la función logarítmica decimal.
Observa que la curva está solo a la derecha del eje \(y\), porque no existe \(\log_{10}(x)\) para \(x\leq 0\).
Ejemplo 2: lectura de puntos importantes
De la gráfica anterior se puede leer:
\[ \log_{10}(1)=0,\qquad \log_{10}(10)=1,\qquad \log_{10}(100)=2 \]
Esto muestra que cuando el número se multiplica por 10, el valor del logaritmo aumenta en 1 unidad.
La función logarítmica crece, pero muy lentamente.
Por ejemplo, para pasar de \(y=1\) a \(y=2\), el valor de \(x\) debe pasar de \(10\) a \(100\).
Para pasar de \(y=2\) a \(y=3\), \(x\) debe pasar de \(100\) a \(1000\).
Ejemplo 3: comparación con la exponencial
Ahora comparemos la función logarítmica con la función exponencial:
La función exponencial y la función logarítmica son inversas entre sí.
Una transforma exponentes en números y la otra transforma números en exponentes.
Si: \[ y=10^x \] entonces su inversa es: \[ y=\log_{10}(x) \]
Por eso, ambas funciones expresan la misma relación, pero desde puntos de vista distintos.
En la función logarítmica:
- no se puede reemplazar \(x=0\),
- no se puede reemplazar \(x<0\),
- la gráfica no corta el eje \(y\).
Ejercicio 1
Observando la función \(y=\log_{10}(x)\), completa:
\(\log_{10}(1)=\_\_\_\_\)
\(\log_{10}(10)=\_\_\_\_\)
\(\log_{10}(100)=\_\_\_\_\)
\[ \log_{10}(1)=0 \]
\[ \log_{10}(10)=1 \]
\[ \log_{10}(100)=2 \]
Ejercicio 2
Responde:
¿Para qué valores de \(x\) existe \(y=\log_{10}(x)\)?
¿La función logarítmica crece o decrece?
¿Pasa por el punto \((1,0)\)?
La función existe solo para: \[ x>0 \]
La función logarítmica crece.
Sí, pasa por: \[ (1,0) \] porque: \[ \log_{10}(1)=0 \]
Ejercicio 3
Explica con tus palabras:
¿Por qué la función \(y=\log_{10}(x)\) crece lentamente?
¿Qué relación tiene con \(y=10^x\)?
La función crece lentamente porque para aumentar poco el valor del logaritmo, el número \(x\) debe aumentar mucho.
Se relaciona con \(y=10^x\) porque ambas funciones son inversas: una trabaja con potencias y la otra con logaritmos.
La gráfica del logaritmo ayuda a entender que esta función transforma números en exponentes. Su crecimiento lento y su relación con la exponencial permiten interpretar mejor el sentido de los logaritmos.