Logaritmos
14. Ejercicios Integrados de Logaritmos
Objetivo de aprendizaje
Aplicar de manera integrada la definición, propiedades, cambio de base, cancelaciones y restricciones de los logaritmos en ejercicios de distinto nivel de complejidad.
- Revisa primero si el logaritmo existe.
- Identifica si conviene usar definición, propiedad, cambio de base o cancelación.
- Escribe cada paso con orden.
- Verifica si el resultado obtenido tiene sentido.
Recuerda estas ideas clave:
- \(a>0\), \(a\neq 1\) y el argumento debe ser positivo.
- El producto se transforma en suma.
- El cociente se transforma en resta.
- La potencia sale multiplicando.
- La suma y la resta dentro del logaritmo no tienen propiedad directa.
Ejercicio 1: casos fundamentales
Calcula:
\(\log_7(1)\)
\(\log_4(4)\)
\(\log_9\left(\frac{1}{9}\right)\)
\[ \log_7(1)=0 \] porque \(7^0=1\).
\[ \log_4(4)=1 \] porque \(4^1=4\).
\[ \log_9\left(\frac{1}{9}\right)=-1 \] porque \(9^{-1}=\frac{1}{9}\).
Ejercicio 2: propiedad del producto
Simplifica y calcula:
\(\log_2(4\cdot 8)\)
\(\log_3(3\cdot 27)\)
\[ \log_2(4\cdot 8)=\log_2(4)+\log_2(8)=2+3=5 \]
\[ \log_3(3\cdot 27)=\log_3(3)+\log_3(27)=1+3=4 \]
Ejercicio 3: propiedad del cociente
Simplifica y calcula:
\(\log_5\left(\frac{125}{5}\right)\)
\(\log_2\left(\frac{32}{4}\right)\)
\[ \log_5\left(\frac{125}{5}\right)=\log_5(125)-\log_5(5)=3-1=2 \]
\[ \log_2\left(\frac{32}{4}\right)=\log_2(32)-\log_2(4)=5-2=3 \]
Ejercicio 4: propiedad de la potencia
Simplifica:
\(\log_3(9^2)\)
\(\log_a(x^5)\)
\[ \log_3(9^2)=2\log_3(9)=2\cdot 2=4 \]
\[ \log_a(x^5)=5\log_a(x) \]
Ejercicio 5: logaritmo de una raíz
Reescribe y simplifica:
\(\log_2(\sqrt[3]{8})\)
\(\log_b(\sqrt{m})\)
\[ \log_2(\sqrt[3]{8})=\log_2(8^{1/3})=\frac{1}{3}\log_2(8)=\frac{1}{3}\cdot 3=1 \]
\[ \log_b(\sqrt{m})=\log_b(m^{1/2})=\frac{1}{2}\log_b(m) \]
Ejercicio 6: cambio de base
Reescribe usando logaritmo decimal:
\(\log_7(3)\)
\(\log_4(11)\)
\[ \log_7(3)=\frac{\log(3)}{\log(7)} \]
\[ \log_4(11)=\frac{\log(11)}{\log(4)} \]
Ejercicio 7: bases potencia y bases raíz
Calcula:
\(\log_{2^4}(2)\)
\(\log_{\sqrt[3]{5}}(5)\)
\[ \log_{2^4}(2)=\frac{1}{4} \]
\[ \log_{\sqrt[3]{5}}(5)=3 \]
Ejercicio 8: potencias en base y argumento
Simplifica:
\(\log_{3^2}(3^8)\)
\(\log_{a^4}(c^2)\)
\[ \log_{3^2}(3^8)=\frac{8}{2}=4 \]
\[ \log_{a^4}(c^2)=\frac{2}{4}\log_a(c)=\frac{1}{2}\log_a(c) \]
Ejercicio 9: cancelación
Simplifica:
\(\log_5(5^7)\)
\(3^{\log_3(11)}\)
\[ \log_5(5^7)=7 \]
\[ 3^{\log_3(11)}=11 \]
Ejercicio 10: restricciones
Indica cuáles expresiones existen en \(\mathbb{R}\):
\(\log_2(16)\)
\(\log_4(-1)\)
\(\log_{-3}(9)\)
\(\log_1(5)\)
\(\log_2(16)\) sí existe.
\(\log_4(-1)\) no existe, porque el argumento es negativo.
\(\log_{-3}(9)\) no existe en el estudio usual de logaritmos reales, porque la base es negativa.
\(\log_1(5)\) no existe, porque la base no puede ser \(1\).
Ejercicio 11: verdadero o falso
Indica si cada afirmación es verdadera o falsa:
\(\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a(x+y)=\log_a(x)+\log_a(y)\)
\(\log_a\left(\frac{x}{y}\right)=\log_a(x)-\log_a(y)\)
\(\log_a(x^n)=n\log_a(x)\)
La primera afirmación es verdadera.
La segunda afirmación es falsa.
La tercera afirmación es verdadera.
La cuarta afirmación es verdadera.
Ejercicio 12: desarrollo mixto
Simplifica al máximo:
\[ \log_2\left(\frac{8^2\cdot 4}{2}\right) \]
Primero reescribimos todo en base 2:
\[ 8^2=(2^3)^2=2^6,\qquad 4=2^2 \]
Entonces:
\[ \log_2\left(\frac{8^2\cdot 4}{2}\right)=\log_2\left(\frac{2^6\cdot 2^2}{2}\right) \]
\[ =\log_2\left(2^{6+2-1}\right)=\log_2(2^7) \]
\[ =7 \]
Ejercicio 13: problema de aplicación
Usa la fórmula de cantidad de dígitos para determinar cuántos dígitos tiene el número \(54321\).
Aplicamos:
\[ \lfloor \log(54321)\rfloor+1 \]
Como:
\[ \log(54321)\approx 4,73 \]
se obtiene:
\[ \lfloor 4,73\rfloor+1=4+1=5 \]
Entonces, \(54321\) tiene 5 dígitos.
Resolver ejercicios integrados permite conectar todas las ideas de la unidad: definición, propiedades, restricciones, cambio de base, cancelaciones y aplicaciones. Esa conexión es la mejor señal de comprensión del tema.