Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
3. Tasa y factor multiplicativo
Objetivos de aprendizaje
Distinguir entre tasa porcentual y factor multiplicativo, comprendiendo cuál se utiliza en los cálculos de crecimiento y decrecimiento.
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, podemos describir ese cambio de dos maneras:
- usando la tasa (el porcentaje),
- o usando el factor multiplicativo.
La tasa es el porcentaje de cambio.
Por ejemplo:
\[ 10\% = 0{,}10 \]
Normalmente se representa en porcentaje, pero puede representarse en forma decimal.
El factor es el número por el que se multiplica la cantidad.
Crecimiento:
\[ 1 + \frac{r}{100} \]
Decrecimiento:
\[ 1 - \frac{r}{100} \]
El factor se obtiene a partir de la tasa.
Por ejemplo, si la tasa es \(10\%\):
\[ 10\% = 0{,}10 \quad \Rightarrow \quad 1 + 0{,}10 = 1{,}10 \]
En los cálculos de crecimiento o decrecimiento porcentual, no se usa la tasa directamente.
Se utiliza el factor multiplicativo.
Confundir tasa con factor.
Por ejemplo, usar \(10\%\) en lugar de \(1{,}10\) en una multiplicación produce resultados incorrectos.
Ejemplo 1: crecimiento
Una cantidad vale \(1000\) y aumenta un \(10\%\).
Usando tasa:
\[ 1000 \cdot 0{,}10 = 100 \]
\[ 1000 + 100 = 1100 \]
Usando factor:
\[ 1000 \cdot 1{,}10 = 1100 \]
Conclusión: ambos métodos dan el mismo resultado, pero el uso del factor es más directo.
Ejemplo 2: decrecimiento
Una cantidad vale \(2000\) y disminuye un \(20\%\).
Usando tasa:
\[ 2000 \cdot 0{,}20 = 400 \]
\[ 2000 - 400 = 1600 \]
Usando factor:
\[ 2000 \cdot 0{,}80 = 1600 \]
Conclusión: el factor permite calcular directamente el nuevo valor.
Interpretación del factor
El factor permite identificar rápidamente si hay crecimiento o decrecimiento:
- Si el factor es mayor que \(1\), hay crecimiento.
- Si el factor es menor que \(1\), hay decrecimiento.
Ejemplo 3: interpretar el factor
Considera los siguientes factores:
a) \(1{,}12\)
b) \(0{,}95\)
a) \(1{,}12 > 1\), por lo tanto representa crecimiento del \(12\%\).
b) \(0{,}95 < 1\), por lo tanto representa una disminución del \(5\%\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Convierte las siguientes tasas a factores:
a) \(8\%\)
b) \(25\%\)
a)
\[ 1 + 0{,}08 = 1{,}08 \]
b)
\[ 1 + 0{,}25 = 1{,}25 \]
Ejercicio 2
Convierte las siguientes tasas a factores de disminución:
a) \(10\%\)
b) \(30\%\)
a)
\[ 1 - 0{,}10 = 0{,}90 \]
b)
\[ 1 - 0{,}30 = 0{,}70 \]
Ejercicio 3
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) \(1{,}05\)
b) \(0{,}92\)
a) crecimiento
b) decrecimiento
Ejercicio 4
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(1{,}20\)?
\[ 1{,}20 = 1 + 0{,}20 \]
Corresponde a un aumento del \(20\%\).
Ejercicio 5
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(0{,}85\)?
\[ 0{,}85 = 1 - 0{,}15 \]
Corresponde a una disminución del \(15\%\).
Ejercicio 6
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(2000\) aumenta un \(5\%\).
\[ 2000 \cdot 1{,}05 = 2100 \]
Ejercicio 7
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(20\%\).
\[ 1500 \cdot 0{,}80 = 1200 \]
Ejercicio 8
Un estudiante usa \(10\%\) directamente en una multiplicación en lugar de \(1{,}10\).
Explica por qué está equivocado.
Porque \(10\%\) representa solo el cambio, no el valor total.
El cálculo correcto se hace con el factor \(1{,}10\).
Ejercicio 9
Completa:
a) \(12\%\) → factor ______
b) \(0{,}90\) → tasa ______
a) \(1{,}12\)
b) disminución del \(10\%\)
Ejercicio 10
Explica con tus palabras la diferencia entre tasa y factor.
La tasa es el porcentaje de cambio, mientras que el factor es el número que se usa para multiplicar y obtener el nuevo valor.
El factor multiplicativo permite calcular directamente el nuevo valor y será fundamental para estudiar cambios en varios períodos.