Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
3. Tasa y factor multiplicativo
Objetivos de aprendizaje
- Distinguir entre tasa porcentual y factor multiplicativo, comprendiendo cuál se utiliza para calcular directamente el nuevo valor en situaciones de crecimiento y decrecimiento.
Dos formas de describir un cambio
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, podemos describir ese cambio de dos maneras:
- usando la tasa, que corresponde al porcentaje de cambio;
- o usando el factor multiplicativo, que permite calcular directamente el nuevo valor.
Tasa porcentual
La tasa es el porcentaje de cambio.
Por ejemplo:
\[ 10\% = 0{,}10 \]
Normalmente se representa en porcentaje, pero también puede representarse en forma decimal.
Factor multiplicativo
El factor multiplicativo es el número por el que se multiplica la cantidad inicial para obtener directamente el nuevo valor.
Crecimiento:
\[ 1 + \frac{r}{100} \]
Decrecimiento:
\[ 1 - \frac{r}{100} \]
Relación entre tasa y factor
El factor se obtiene a partir de la tasa.
Por ejemplo, si la tasa de crecimiento es \(10\%\):
\[ 10\% = 0{,}10 \]
Entonces el factor de crecimiento es:
\[ 1 + 0{,}10 = 1{,}10 \]
Idea clave
La tasa indica cuánto cambia una cantidad, mientras que el factor multiplicativo permite calcular directamente el nuevo valor.
Por eso, si se quiere obtener el valor final en un solo paso, se multiplica por el factor.
Error frecuente
Confundir tasa con factor puede producir resultados incorrectos.
Por ejemplo, si una cantidad aumenta un \(10\%\), multiplicar por \(0{,}10\) calcula solo el aumento, no el nuevo valor.
Para calcular directamente el nuevo valor, se debe multiplicar por \(1{,}10\).
Ejemplo 1: crecimiento
Una cantidad vale \(1000\) y aumenta un \(10\%\).
Usando tasa:
Primero calculamos el aumento:
\[ 1000 \cdot 0{,}10 = 100 \]
Luego sumamos al valor inicial:
\[ 1000 + 100 = 1100 \]
Usando factor:
Como el aumento es del \(10\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Entonces:
\[ 1000 \cdot 1{,}10 = 1100 \]
Conclusión: ambos métodos dan el mismo resultado, pero el uso del factor es más directo.
Ejemplo 2: decrecimiento
Una cantidad vale \(2000\) y disminuye un \(20\%\).
Usando tasa:
Primero calculamos la disminución:
\[ 2000 \cdot 0{,}20 = 400 \]
Luego restamos al valor inicial:
\[ 2000 - 400 = 1600 \]
Usando factor:
Como la disminución es del \(20\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]
Entonces:
\[ 2000 \cdot 0{,}80 = 1600 \]
Conclusión: el factor permite calcular directamente el nuevo valor.
Interpretación del factor
¿Qué significa el valor del factor?
El factor permite identificar rápidamente si hay crecimiento o decrecimiento:
- Si el factor es mayor que \(1\), hay crecimiento.
- Si el factor es menor que \(1\), hay decrecimiento.
- Si el factor es igual a \(1\), la cantidad no cambia.
Ejemplo 3: interpretar el factor
Considera los siguientes factores:
a) \(1{,}12\)
b) \(0{,}95\)
a) Como \(1{,}12 > 1\), representa crecimiento.
\[ 1{,}12 = 1 + 0{,}12 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento del \(12\%\).
b) Como \(0{,}95 < 1\), representa decrecimiento.
\[ 0{,}95 = 1 - 0{,}05 \]
Por lo tanto, corresponde a una disminución del \(5\%\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Convierte las siguientes tasas a factores de crecimiento:
a) \(8\%\)
b) \(25\%\)
Para un crecimiento, el factor se calcula sumando la tasa decimal a \(1\).
a) Como \(8\%=0{,}08\):
\[ 1 + 0{,}08 = 1{,}08 \]
b) Como \(25\%=0{,}25\):
\[ 1 + 0{,}25 = 1{,}25 \]
Respuesta: los factores son \(1{,}08\) y \(1{,}25\).
Ejercicio 2
Convierte las siguientes tasas a factores de disminución:
a) \(10\%\)
b) \(30\%\)
Para una disminución, el factor se calcula restando la tasa decimal a \(1\).
a) Como \(10\%=0{,}10\):
\[ 1 - 0{,}10 = 0{,}90 \]
b) Como \(30\%=0{,}30\):
\[ 1 - 0{,}30 = 0{,}70 \]
Respuesta: los factores son \(0{,}90\) y \(0{,}70\).
Ejercicio 3
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento:
a) \(1{,}05\)
b) \(0{,}92\)
a) Como \(1{,}05>1\), corresponde a crecimiento.
b) Como \(0{,}92<1\), corresponde a decrecimiento.
Ejercicio 4
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(1{,}20\)?
Como el factor es mayor que \(1\), representa crecimiento.
Escribimos:
\[ 1{,}20 = 1 + 0{,}20 \]
El número \(0{,}20\) equivale a:
\[ 0{,}20=20\% \]
Respuesta: representa un aumento del \(20\%\).
Ejercicio 5
¿Qué tasa porcentual representa el factor \(0{,}85\)?
Como el factor es menor que \(1\), representa decrecimiento.
Escribimos:
\[ 0{,}85 = 1 - 0{,}15 \]
El número \(0{,}15\) equivale a:
\[ 0{,}15=15\% \]
Respuesta: representa una disminución del \(15\%\).
Ejercicio 6
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(2000\) aumenta un \(5\%\).
Como es un aumento del \(5\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Multiplicamos la cantidad inicial por el factor:
\[ 2000 \cdot 1{,}05 = 2100 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(2100\).
Ejercicio 7
Calcula usando el factor:
Una cantidad de \(1500\) disminuye un \(20\%\).
Como es una disminución del \(20\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}20=0{,}80 \]
Multiplicamos la cantidad inicial por el factor:
\[ 1500 \cdot 0{,}80 = 1200 \]
Respuesta: el nuevo valor es \(1200\).
Ejercicio 8
Un estudiante usa \(10\%\) directamente en una multiplicación en lugar de \(1{,}10\) para calcular un aumento.
Explica por qué está equivocado.
Está equivocado porque \(10\%=0{,}10\) representa solo la tasa de cambio.
Si multiplica una cantidad por \(0{,}10\), obtiene solo el \(10\%\) de esa cantidad, no el nuevo valor.
Para calcular directamente el nuevo valor después de un aumento del \(10\%\), debe usar el factor:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Respuesta: el factor correcto para un aumento del \(10\%\) es \(1{,}10\).
Ejercicio 9
Completa:
a) \(12\%\) de aumento → factor ______
b) \(0{,}90\) → tasa ______
a) Como es aumento:
\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]
b) Como \(0{,}90<1\), representa disminución:
\[ 0{,}90=1-0{,}10 \]
\[ 0{,}10=10\% \]
Respuesta: a) \(1{,}12\). b) Disminución del \(10\%\).
Ejercicio 10
Explica con tus palabras la diferencia entre tasa y factor.
La tasa es el porcentaje de cambio. Por ejemplo, un aumento del \(15\%\) tiene tasa \(15\%=0{,}15\).
El factor es el número que se usa para multiplicar la cantidad inicial y obtener directamente el nuevo valor.
Por ejemplo, para un aumento del \(15\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}15=1{,}15 \]
Respuesta: la tasa describe el cambio, mientras que el factor permite calcular el nuevo valor.
Para cerrar
El factor multiplicativo permite calcular directamente el nuevo valor y será fundamental para estudiar cambios en varios períodos.