Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
1. Porcentaje y cambio porcentual simple
Objetivos de aprendizaje
Comprender qué es un porcentaje, representarlo de distintas formas y aplicarlo en cambios porcentuales simples en contextos cotidianos.
Un porcentaje es una forma de expresar una cantidad como una parte de 100.
Por ejemplo, \(25\%\) significa 25 de cada 100, es decir:
\[ 25\%=\frac{25}{100}=0{,}25 \]
Un porcentaje puede representarse de tres formas equivalentes:
| Porcentaje | Fracción | Decimal |
|---|---|---|
| \(5\%\) | \(\frac{5}{100}\) | \(0{,}05\) |
| \(10\%\) | \(\frac{10}{100}\) | \(0{,}10\) |
| \(25\%\) | \(\frac{25}{100}\) | \(0{,}25\) |
| \(80\%\) | \(\frac{80}{100}\) | \(0{,}80\) |
Trabajar con porcentajes no significa solo “poner el símbolo \(\%\)”.
Muchas veces conviene transformar el porcentaje a decimal para poder calcular con más facilidad.
Cambio porcentual simple
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, ese cambio se calcula sobre el valor inicial.
Si la cantidad aumenta, hablamos de crecimiento. Si disminuye, hablamos de decrecimiento.
Si una cantidad aumenta en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene sumando ese porcentaje al valor inicial.
Si una cantidad disminuye en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene restando ese porcentaje al valor inicial.
No se debe sumar o restar el número del porcentaje directamente.
Por ejemplo, aumentar \(500\) en \(10\%\) no es hacer \(500+10\), sino calcular el \(10\%\) de \(500\).
Ejemplo 1: calcular un porcentaje de una cantidad
Calcula el \(20\%\) de \(300\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 20\%=0{,}20 \]
Luego multiplicamos:
\[ 300\cdot 0{,}20=60 \]
Respuesta: el \(20\%\) de \(300\) es \(60\).
Ejemplo 2: aumento porcentual simple
Un cuaderno cuesta \( \$4000 \) y su precio aumenta un \(15\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 4000\cdot 0{,}15=600 \]
Ahora sumamos al valor inicial:
\[ 4000+600=4600 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$4600 \).
Ejemplo 3: disminución porcentual simple
Una polera cuesta \( \$20\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\).
Calculamos el descuento:
\[ 20\,000\cdot 0{,}10=2000 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 20\,000-2000=18\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$18\,000 \).
Los porcentajes se usan en descuentos, reajustes de precios, resultados de encuestas, impuestos, intereses, crecimiento de poblaciones y muchas otras situaciones de la vida cotidiana.
Ejercicios
Ejercicio 1
Expresa \(30\%\) como fracción y como número decimal.
\[ 30\%=\frac{30}{100}=0{,}30 \]
Ejercicio 2
Expresa \(7\%\) como fracción y como número decimal.
\[ 7\%=\frac{7}{100}=0{,}07 \]
Ejercicio 3
Calcula el \(25\%\) de \(200\).
\[ 25\%=0{,}25 \]
\[ 200\cdot 0{,}25=50 \]
Ejercicio 4
Calcula el \(12\%\) de \(500\).
\[ 12\%=0{,}12 \]
\[ 500\cdot 0{,}12=60 \]
Ejercicio 5
Un lápiz cuesta \( \$800 \) y su precio aumenta un \(25\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 800\cdot 0{,}25=200 \]
Sumamos al valor inicial:
\[ 800+200=1000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$1000 \).
Ejercicio 6
Una mochila cuesta \( \$12\,000 \) y tiene un descuento del \(20\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 12\,000\cdot 0{,}20=2400 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 12\,000-2400=9600 \]
Respuesta: el precio final es \( \$9600 \).
Ejercicio 7
Un estudiante dice que el \(10\%\) de \(300\) es \(30\).
Verifica si está en lo correcto.
\[ 10\%=0{,}10 \]
\[ 300\cdot 0{,}10=30 \]
Sí, está en lo correcto.
Ejercicio 8
Un estudiante dice que aumentar \(500\) en \(20\%\) es hacer \(500+20=520\).
Explica por qué ese procedimiento es incorrecto.
Es incorrecto porque \(20\%\) no significa sumar 20 unidades, sino calcular el \(20\%\) de \(500\).
\[ 500\cdot 0{,}20=100 \]
Entonces el nuevo valor es:
\[ 500+100=600 \]
Ejercicio 9
Completa:
a) \(40\%=\) ______ en decimal
b) \(0{,}08=\) ______ en porcentaje
a)
\[ 40\%=0{,}40 \]
b)
\[ 0{,}08=8\% \]
Ejercicio 10
Una entrada al cine cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(10\%\).
Luego, en otra ocasión, tiene un descuento del \(10\%\).
Calcula el nuevo precio en cada caso.
Aumento del \(10\%\):
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
\[ 5000+500=5500 \]
Descuento del \(10\%\):
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
\[ 5000-500=4500 \]
Comprender qué representa un porcentaje y cómo se calcula un cambio porcentual simple es la base para estudiar después crecimiento, decrecimiento y cambios repetidos en varios períodos.