Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
1. Porcentaje y cambio porcentual simple
Objetivos de aprendizaje
- Comprender qué es un porcentaje, representarlo de distintas formas y aplicarlo en cambios porcentuales simples en contextos cotidianos.
¿Qué es un porcentaje?
Un porcentaje es una forma de expresar una cantidad como una parte de 100.
Por ejemplo, \(25\%\) significa 25 de cada 100, es decir:
\[ 25\%=\frac{25}{100}=0{,}25 \]
Porcentaje, fracción y decimal
Un porcentaje puede representarse de tres formas equivalentes:
| Porcentaje | Fracción | Decimal |
|---|---|---|
| \(5\%\) | \(\frac{5}{100}\) | \(0{,}05\) |
| \(10\%\) | \(\frac{10}{100}\) | \(0{,}10\) |
| \(25\%\) | \(\frac{25}{100}\) | \(0{,}25\) |
| \(80\%\) | \(\frac{80}{100}\) | \(0{,}80\) |
Idea clave
Trabajar con porcentajes no significa solo “poner el símbolo \(\%\)”.
Muchas veces conviene transformar el porcentaje a decimal para poder calcular con más facilidad.
Cambio porcentual simple
¿Qué significa cambiar una cantidad en un porcentaje?
Cuando una cantidad cambia en un porcentaje, ese cambio se calcula sobre el valor inicial.
Si la cantidad aumenta, hablamos de crecimiento. Si disminuye, hablamos de decrecimiento.
Reglas básicas
Si una cantidad aumenta en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene sumando ese porcentaje al valor inicial.
\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}+\text{aumento} \]
Si una cantidad disminuye en \(r\%\), el nuevo valor se obtiene restando ese porcentaje al valor inicial.
\[ \text{Valor final}=\text{Valor inicial}-\text{descuento} \]
Error frecuente
No se debe sumar o restar el número del porcentaje directamente.
Por ejemplo, aumentar \(500\) en \(10\%\) no es hacer \(500+10\), sino calcular el \(10\%\) de \(500\).
Ejemplo 1: calcular un porcentaje de una cantidad
Calcula el \(20\%\) de \(300\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 20\%=0{,}20 \]
Luego multiplicamos:
\[ 300\cdot 0{,}20=60 \]
Respuesta: el \(20\%\) de \(300\) es \(60\).
Ejemplo 2: aumento porcentual simple
Un cuaderno cuesta \( \$4000 \) y su precio aumenta un \(15\%\).
Calculamos el aumento:
\[ 4000\cdot 0{,}15=600 \]
Ahora sumamos al valor inicial:
\[ 4000+600=4600 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$4600 \).
Ejemplo 3: disminución porcentual simple
Una polera cuesta \( \$20\,000 \) y tiene un descuento del \(10\%\).
Calculamos el descuento:
\[ 20\,000\cdot 0{,}10=2000 \]
Restamos al valor inicial:
\[ 20\,000-2000=18\,000 \]
Respuesta: el precio final es \( \$18\,000 \).
¿Dónde aparecen los porcentajes?
Los porcentajes se usan en descuentos, reajustes de precios, resultados de encuestas, impuestos, intereses, crecimiento de poblaciones y muchas otras situaciones de la vida cotidiana.
Ejercicios
Ejercicio 1
Expresa \(30\%\) como fracción y como número decimal.
Como \(30\%\) significa 30 de cada 100, se escribe:
\[ 30\%=\frac{30}{100} \]
Luego, como número decimal:
\[ \frac{30}{100}=0{,}30 \]
Respuesta: \(30\%=\frac{30}{100}=0{,}30\).
Ejercicio 2
Expresa \(7\%\) como fracción y como número decimal.
Como \(7\%\) significa 7 de cada 100, se escribe:
\[ 7\%=\frac{7}{100} \]
Luego, como número decimal:
\[ \frac{7}{100}=0{,}07 \]
Respuesta: \(7\%=\frac{7}{100}=0{,}07\).
Ejercicio 3
Calcula el \(25\%\) de \(200\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 25\%=0{,}25 \]
Luego calculamos el porcentaje de la cantidad:
\[ 200\cdot 0{,}25=50 \]
Respuesta: el \(25\%\) de \(200\) es \(50\).
Ejercicio 4
Calcula el \(12\%\) de \(500\).
Primero transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 12\%=0{,}12 \]
Luego multiplicamos por la cantidad inicial:
\[ 500\cdot 0{,}12=60 \]
Respuesta: el \(12\%\) de \(500\) es \(60\).
Ejercicio 5
Un lápiz cuesta \( \$800 \) y su precio aumenta un \(25\%\). Calcula el nuevo precio.
Calculamos el aumento:
\[ 800\cdot 0{,}25=200 \]
Como es un aumento, sumamos al valor inicial:
\[ 800+200=1000 \]
Respuesta: el nuevo precio es \( \$1000 \).
Ejercicio 6
Una mochila cuesta \( \$12\,000 \) y tiene un descuento del \(20\%\). Calcula el precio final.
Calculamos el descuento:
\[ 12\,000\cdot 0{,}20=2400 \]
Como es un descuento, restamos al valor inicial:
\[ 12\,000-2400=9600 \]
Respuesta: el precio final es \( \$9600 \).
Ejercicio 7
Un estudiante dice que el \(10\%\) de \(300\) es \(30\).
Verifica si está en lo correcto.
Transformamos el porcentaje a decimal:
\[ 10\%=0{,}10 \]
Calculamos el \(10\%\) de \(300\):
\[ 300\cdot 0{,}10=30 \]
Respuesta: sí, está en lo correcto.
Ejercicio 8
Un estudiante dice que aumentar \(500\) en \(20\%\) es hacer \(500+20=520\).
Explica por qué ese procedimiento es incorrecto.
El procedimiento es incorrecto porque \(20\%\) no significa sumar 20 unidades, sino calcular el \(20\%\) del valor inicial.
Calculamos el aumento correcto:
\[ 500\cdot 0{,}20=100 \]
Entonces el nuevo valor es:
\[ 500+100=600 \]
Respuesta: el valor correcto después del aumento es \(600\), no \(520\).
Ejercicio 9
Completa:
a) \(40\%=\) ______ en decimal
b) \(0{,}08=\) ______ en porcentaje
a) Para pasar de porcentaje a decimal, dividimos por 100:
\[ 40\%=0{,}40 \]
b) Para pasar de decimal a porcentaje, multiplicamos por 100:
\[ 0{,}08=8\% \]
Respuesta: a) \(0{,}40\). b) \(8\%\).
Ejercicio 10
Una entrada al cine cuesta \( \$5000 \) y aumenta un \(10\%\).
Luego, en otra ocasión, tiene un descuento del \(10\%\).
Calcula el nuevo precio en cada caso.
Aumento del \(10\%\):
Calculamos el aumento:
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
Sumamos al precio inicial:
\[ 5000+500=5500 \]
Con aumento, el nuevo precio es \( \$5500 \).
Descuento del \(10\%\):
Calculamos el descuento:
\[ 5000\cdot 0{,}10=500 \]
Restamos al precio inicial:
\[ 5000-500=4500 \]
Respuesta: con aumento el precio es \( \$5500 \), y con descuento el precio es \( \$4500 \).
Para cerrar
Comprender qué representa un porcentaje y cómo se calcula un cambio porcentual simple es la base para estudiar después crecimiento, decrecimiento y cambios repetidos en varios períodos.