Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
4. Crecimiento y decrecimiento porcentual constante en varios períodos
Objetivos de aprendizaje
- Comprender cómo evoluciona una cantidad cuando el mismo cambio porcentual se repite en varios períodos, identificando el patrón de crecimiento o decrecimiento constante.
Del cambio único al cambio repetido
En las páginas anteriores estudiamos cambios porcentuales en un solo período y aprendimos a usar la tasa y el factor multiplicativo.
Ahora estudiaremos qué ocurre cuando ese mismo cambio se repite varias veces.
Idea clave
Si en cada período se repite el mismo porcentaje, entonces en cada paso se vuelve a multiplicar por el mismo factor.
Eso produce una evolución constante en términos porcentuales, aunque los aumentos o disminuciones no sean iguales en cantidad.
Regla del cambio repetido
Si una cantidad crece un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1+\frac{r}{100} \]
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) en cada período, en cada paso se multiplica por:
\[ 1-\frac{r}{100} \]
Error frecuente
No se debe pensar que, porque el porcentaje es el mismo, la cantidad que se suma o se resta también es la misma.
En realidad, el porcentaje se calcula cada vez sobre un valor nuevo.
Ejemplo 1: crecimiento constante en varios períodos
Una inversión inicial de \( \$1000 \) crece un \(10\%\) mensual durante 3 meses.
El factor es:
\[ 1+\frac{10}{100}=1{,}10 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Mes 1: }1000\cdot 1{,}10=1100 \]
\[ \text{Mes 2: }1100\cdot 1{,}10=1210 \]
\[ \text{Mes 3: }1210\cdot 1{,}10=1331 \]
Conclusión: la inversión crece en cada período, pero el aumento no es siempre igual en cantidad.
Respuesta: después de 3 meses, la inversión es de \( \$1331 \).
Ejemplo 2: decrecimiento constante en varios períodos
El valor de una máquina es \( \$5000 \) y disminuye un \(20\%\) cada año durante 3 años.
El factor es:
\[ 1-\frac{20}{100}=0{,}80 \]
Calculamos paso a paso:
\[ \text{Año 1: }5000\cdot 0{,}80=4000 \]
\[ \text{Año 2: }4000\cdot 0{,}80=3200 \]
\[ \text{Año 3: }3200\cdot 0{,}80=2560 \]
Conclusión: la cantidad disminuye cada período, pero no restando siempre la misma cantidad.
Respuesta: después de 3 años, el valor es \( \$2560 \).
¿Qué patrón aparece?
Cuando el cambio porcentual se repite, los valores forman una secuencia en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por el mismo factor.
Ese patrón será la base para construir tablas, gráficos y fórmulas en la siguiente página.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \( \$2000 \) crece un \(5\%\) por período durante 3 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2 y 3.
Como hay un crecimiento del \(5\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}05=1{,}05 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=2000\cdot 1{,}05=2100 \]
\[ V_2=2100\cdot 1{,}05=2205 \]
\[ V_3=2205\cdot 1{,}05=2315{,}25 \]
Respuesta: los valores son \( \$2100 \), \( \$2205 \) y \( \$2315{,}25 \).
Ejercicio 2
Una cantidad de \(800\) disminuye un \(10\%\) por período durante 4 períodos.
Calcula los valores correspondientes a los períodos 1, 2, 3 y 4.
Como hay una disminución del \(10\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}10=0{,}90 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=800\cdot 0{,}90=720 \]
\[ V_2=720\cdot 0{,}90=648 \]
\[ V_3=648\cdot 0{,}90=583{,}2 \]
\[ V_4=583{,}2\cdot 0{,}90=524{,}88 \]
Respuesta: los valores son \(720\), \(648\), \(583{,}2\) y \(524{,}88\).
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) individuos crece un \(8\%\) anual.
Calcula la población después de 2 años.
Como hay un crecimiento del \(8\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}08=1{,}08 \]
Después del primer año:
\[ V_1=1500\cdot 1{,}08=1620 \]
Después del segundo año:
\[ V_2=1620\cdot 1{,}08=1749{,}6 \]
Respuesta: después de 2 años, la población es aproximadamente \(1750\) individuos.
Ejercicio 4
El valor de un aparato es \( \$12\,000 \) y pierde un \(15\%\) anual.
Calcula su valor después de 2 años.
Como hay una disminución del \(15\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]
Después del primer año:
\[ V_1=12\,000\cdot 0{,}85=10\,200 \]
Después del segundo año:
\[ V_2=10\,200\cdot 0{,}85=8670 \]
Respuesta: después de 2 años, el valor es \( \$8670 \).
Ejercicio 5
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(1000\) que crece un \(12\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
Como hay un crecimiento del \(12\%\), el factor es:
\[ 1+0{,}12=1{,}12 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}12=1120 \]
\[ V_2=1120\cdot 1{,}12=1254{,}4 \]
\[ V_3=1254{,}4\cdot 1{,}12=1404{,}928 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1120\) |
| 2 | \(1254{,}4\) |
| 3 | \(1404{,}928\) |
Respuesta: los valores son \(1120\), \(1254{,}4\) y \(1404{,}928\).
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(3000\) que disminuye un \(5\%\) por período.
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(3000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
Como hay una disminución del \(5\%\), el factor es:
\[ 1-0{,}05=0{,}95 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=3000\cdot 0{,}95=2850 \]
\[ V_2=2850\cdot 0{,}95=2707{,}5 \]
\[ V_3=2707{,}5\cdot 0{,}95=2572{,}125 \]
| Período | Valor |
|---|---|
| 0 | \(3000\) |
| 1 | \(2850\) |
| 2 | \(2707{,}5\) |
| 3 | \(2572{,}125\) |
Respuesta: los valores son \(2850\), \(2707{,}5\) y \(2572{,}125\).
Ejercicio 7
Explica por qué una cantidad que crece un \(10\%\) durante 2 períodos no aumenta lo mismo que una cantidad que crece un \(20\%\) en un solo período.
En un crecimiento del \(10\%\) durante 2 períodos, el segundo aumento no se calcula sobre la cantidad inicial, sino sobre el valor que ya aumentó.
El factor para cada período es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Después de 2 períodos, el efecto total es:
\[ 1{,}10\cdot 1{,}10=(1{,}10)^2=1{,}21 \]
Esto equivale a un aumento total del \(21\%\), no del \(20\%\).
Respuesta: no es lo mismo, porque en el cambio repetido cada nuevo porcentaje se calcula sobre un valor actualizado.
Ejercicio 8
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}03\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(1{,}03>1\), corresponde a crecimiento.
Escribimos el factor como:
\[ 1{,}03=1+0{,}03 \]
Luego:
\[ 0{,}03=3\% \]
Respuesta: corresponde a un crecimiento del \(3\%\) por período.
Ejercicio 9
Una cantidad se multiplica cada período por \(0{,}97\).
¿Corresponde a crecimiento o decrecimiento? ¿De qué porcentaje?
Como \(0{,}97<1\), corresponde a decrecimiento.
Escribimos el factor como:
\[ 0{,}97=1-0{,}03 \]
Luego:
\[ 0{,}03=3\% \]
Respuesta: corresponde a una disminución del \(3\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice: “Si una cantidad crece un \(10\%\) en cada período, entonces siempre aumenta lo mismo”.
Explica por qué esa afirmación es incorrecta.
La afirmación es incorrecta porque el \(10\%\) se calcula cada vez sobre un valor distinto.
Por ejemplo, si una cantidad inicial es \(1000\):
\[ \text{Primer aumento: }1000\cdot 0{,}10=100 \]
El nuevo valor es:
\[ 1000+100=1100 \]
El segundo aumento se calcula sobre \(1100\), no sobre \(1000\):
\[ \text{Segundo aumento: }1100\cdot 0{,}10=110 \]
Respuesta: aunque el porcentaje sea el mismo, la cantidad que aumenta cambia porque cambia el valor de referencia.
Para cerrar
Cuando un cambio porcentual se repite, el proceso deja de ser un cambio aislado y aparece un patrón multiplicativo que permite construir tablas, gráficos y fórmulas.