Crecimiento y Decrecimiento Porcentual
5. Tabla, gráfico y fórmula general
Objetivos de aprendizaje
Representar el crecimiento y decrecimiento porcentual constante mediante tablas y gráficos, y relacionar esas representaciones con una fórmula general.
Cuando una cantidad cambia en el mismo porcentaje en cada período, esa situación puede representarse de varias maneras.
Por ejemplo, se puede describir con una tabla, con un gráfico o con una fórmula.
La tabla permite observar los valores período a período, el gráfico muestra la tendencia y la fórmula permite calcular directamente cualquier valor.
Tabla de evolución
Una inversión de \(1000\) pesos crece un \(15\%\) cada mes.
| Mes | Valor | Cálculo |
|---|---|---|
| 0 | 1000 | Valor inicial |
| 1 | 1150 | \(1000 \cdot 1{,}15\) |
| 2 | 1322,5 | \(1150 \cdot 1{,}15\) |
| 3 | 1520,88 | \(1322,5 \cdot 1{,}15\) |
| 4 | 1749,01 | \(1520,88 \cdot 1{,}15\) |
| 5 | 2011,36 | \(1749,01 \cdot 1{,}15\) |
| 6 | 2313,06 | \(2011,36 \cdot 1{,}15\) |
| 7 | 2660,02 | \(2313,06 \cdot 1{,}15\) |
| 8 | 3059,02 | \(2660,02 \cdot 1{,}15\) |
El aumento no es siempre el mismo. Cada vez se calcula sobre un valor mayor.
Por eso el crecimiento se hace cada vez más evidente con el paso del tiempo.
Representación gráfica
Una forma clara de visualizar el crecimiento porcentual constante es mediante un gráfico de líneas.
En el eje horizontal se representa el tiempo y en el eje vertical el valor de la cantidad.
Ejemplo gráfico: inversión de \(1000\) con crecimiento del \(15\%\) mensual
La evolución de la inversión durante 8 meses es la siguiente:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 1000 |
| 1 | 1150 |
| 2 | 1322,5 |
| 3 | 1520,88 |
| 4 | 1749,01 |
| 5 | 2011,36 |
| 6 | 2313,06 |
| 7 | 2660,02 |
| 8 | 3059,02 |
En el gráfico se observa una tendencia ascendente cada vez más marcada.
Cada mes la inversión aumenta, pero no en una cantidad fija, porque el \(15\%\) se calcula siempre sobre el valor acumulado hasta ese momento.
No se debe pensar que el crecimiento es sumar siempre la misma cantidad. Eso correspondería a un crecimiento lineal, no a uno porcentual constante.
Fórmula general
El factor multiplicativo es el número que aparece elevado a una potencia en la fórmula general.
Si una cantidad inicial es \(V_0\) y cambia en \(r\%\) cada período, entonces:
Crecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \]
Decrecimiento:
\[ V_n = V_0\left(1-\frac{r}{100}\right)^n \]
Ejemplo 1: crecimiento con fórmula general
Una inversión de \(2000\) pesos crece un \(10\%\) anual durante 3 años.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es \(1{,}10\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_3 = 2000\left(1+\frac{10}{100}\right)^3 = 2000(1{,}10)^3 \]
\[ V_3 = 2000 \cdot 1{,}331 = 2662 \]
Respuesta: el valor final es \(2662\).
Ejemplo 2: decrecimiento con fórmula general
Un auto vale \(10\,000\,000\) y pierde un \(20\%\) cada año durante 2 años.
La tasa es \(20\%\), por lo tanto el factor es \(0{,}80\).
Aplicamos la fórmula:
\[ V_2 = 10\,000\,000\left(1-\frac{20}{100}\right)^2 = 10\,000\,000(0{,}80)^2 \]
\[ V_2 = 10\,000\,000 \cdot 0{,}64 = 6\,400\,000 \]
Respuesta: el valor final es \(6\,400\,000\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión de \(1000\) crece un \(5\%\) anual durante 2 años. Calcula el valor final.
\[ V_2 = 1000\left(1+\frac{5}{100}\right)^2 = 1000(1{,}05)^2 = 1102,5 \]
Ejercicio 2
Una cantidad de \(500\) disminuye un \(10\%\) durante 3 períodos. Calcula el valor final.
\[ V_3 = 500\left(1-\frac{10}{100}\right)^3 = 500(0{,}90)^3 = 364,5 \]
Ejercicio 3
Completa la tabla para un crecimiento del \(8\%\) partiendo en \(1000\) durante 3 períodos.
El factor es \(1{,}08\).
\[ 1000 \to 1080 \to 1166{,}4 \to 1259{,}71 \]
Ejercicio 4
Una cantidad se multiplica cada período por \(1{,}12\). ¿Qué porcentaje representa?
\[ 1{,}12 = 1 + 0{,}12 \]
Representa un aumento del \(12\%\).
Ejercicio 5
Una población de \(2000\) crece un \(3\%\) durante 4 años. Calcula el valor final.
\[ V_4 = 2000\left(1+\frac{3}{100}\right)^4 = 2000(1{,}03)^4 \approx 2251 \]
Ejercicio 6
Un valor disminuye un \(15\%\) durante 2 períodos desde \(800\). Calcula el valor final.
\[ V_2 = 800\left(1-\frac{15}{100}\right)^2 = 800(0{,}85)^2 = 578 \]
Ejercicio 7
Compara: aumentar un \(10\%\) durante 2 períodos vs aumentar un \(20\%\) una sola vez desde 1000.
\[ 1000(1{,}10)^2 = 1210 \]
\[ 1000(1{,}20) = 1200 \]
No son iguales.
Ejercicio 8
Explica por qué el crecimiento porcentual no es lineal.
Porque el aumento se calcula sobre un valor que cambia en cada período.
Ejercicio 9
Si una cantidad se multiplica por \(0{,}95\) cada período, ¿qué ocurre?
\[ 0{,}95 = 1 - 0{,}05 \]
Disminuye un \(5\%\) cada período.
Ejercicio 10
Calcula el valor final de \(1500\) que crece un \(4\%\) durante 3 períodos.
\[ 1500\left(1+\frac{4}{100}\right)^3 = 1500(1{,}04)^3 \approx 1687 \]
Ejercicio 11: completar la tabla y graficar
El valor de una máquina es de \(5000\) pesos y cambia un \(10\%\) cada mes.
Completa la tabla para los primeros 5 meses y luego representa los datos en un gráfico de líneas.
Indica si corresponde a crecimiento o decrecimiento.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 5000 |
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | |
| 5 |
Como la máquina disminuye un \(10\%\) cada mes, corresponde a un decrecimiento.
El factor es:
\[ 0{,}90 \]
Calculamos sucesivamente:
\[ 5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ 4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ 4050\cdot 0{,}90=3645 \]
\[ 3645\cdot 0{,}90=3280{,}5 \]
\[ 3280{,}5\cdot 0{,}90=2952{,}45 \]
La tabla completa queda:
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | 5000 |
| 1 | 4500 |
| 2 | 4050 |
| 3 | 3645 |
| 4 | 3280,5 |
| 5 | 2952,45 |
El gráfico de líneas correspondiente es:
En el gráfico se observa una tendencia descendente.
La cantidad disminuye cada mes, pero no restando siempre lo mismo, sino multiplicándose sucesivamente por \(0{,}90\).
Cuando un mismo porcentaje se repite, la situación puede representarse mediante una tabla, un gráfico y una fórmula general. Cada representación aporta una forma distinta de comprender el mismo fenómeno.