Libro del Crecimiento y el Decrecimiento Porcentual
6. Forma recursiva del cambio porcentual constante
Objetivos de aprendizaje
- Comprender la forma recursiva del crecimiento y decrecimiento porcentual constante, relacionándola con tablas, factores multiplicativos y la evolución período a período.
Otra forma de describir el mismo proceso
En la página anterior vimos que una situación de crecimiento o decrecimiento porcentual constante puede representarse con una tabla, un gráfico y una fórmula general.
Ahora la describiremos de otra manera: calculando cada valor a partir del valor anterior.
Idea clave
En una relación recursiva, cada nuevo valor se obtiene usando el valor anterior.
En los cambios porcentuales constantes, eso se hace multiplicando siempre por el mismo factor.
Forma recursiva del crecimiento
Si una cantidad crece un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1+\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
Forma recursiva del decrecimiento
Si una cantidad disminuye un \(r\%\) por período, entonces:
\[ V_{n+1}=V_n\left(1-\frac{r}{100}\right) \]
donde \(V_0\) representa el valor inicial.
Error frecuente
No se debe confundir una relación recursiva con sumar o restar siempre la misma cantidad.
En el crecimiento o decrecimiento porcentual constante, cada nuevo valor se obtiene multiplicando por un factor, no sumando una cantidad fija.
Ejemplo 1: crecimiento recursivo
Una inversión inicial de \( \$1000 \) crece un \(15\%\) mensual.
La tasa es \(15\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1+\frac{15}{100}=1{,}15 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}15 \]
La condición inicial es:
\[ V_0=1000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}15=1150 \]
\[ V_2=1150\cdot 1{,}15=1322{,}5 \]
\[ V_3=1322{,}5\cdot 1{,}15=1520{,}875\approx 1520{,}88 \]
Respuesta: los primeros valores son \( \$1150 \), \( \$1322{,}5 \) y aproximadamente \( \$1520{,}88 \).
Ejemplo 2: decrecimiento recursivo
El valor de una máquina es \( \$5000 \) y disminuye un \(10\%\) mensual.
La tasa es \(10\%\), por lo tanto el factor es:
\[ 1-\frac{10}{100}=0{,}90 \]
La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}90 \]
La condición inicial es:
\[ V_0=5000 \]
Calculamos los primeros valores:
\[ V_1=5000\cdot 0{,}90=4500 \]
\[ V_2=4500\cdot 0{,}90=4050 \]
\[ V_3=4050\cdot 0{,}90=3645 \]
Respuesta: los primeros valores son \( \$4500 \), \( \$4050 \) y \( \$3645 \).
Relación entre tabla, fórmula y recursión
La tabla muestra los valores paso a paso.
La fórmula general permite calcular directamente un valor lejano.
La relación recursiva, en cambio, permite construir la secuencia período a período.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una inversión inicial de \( \$2000 \) crece un \(5\%\) mensual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a) Como es crecimiento, el factor se obtiene sumando la tasa decimal a \(1\):
\[ 1+\frac{5}{100}=1+0{,}05=1{,}05 \]
b) La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05 \]
c) La condición inicial corresponde al valor inicial:
\[ V_0=2000 \]
Respuesta: factor \(1{,}05\), relación \(V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}05\) y condición inicial \(V_0=2000\).
Ejercicio 2
Una máquina vale \( \$8000 \) y disminuye un \(12\%\) anual.
a) Determina el factor.
b) Escribe la relación recursiva.
c) Indica la condición inicial.
a) Como es decrecimiento, el factor se obtiene restando la tasa decimal a \(1\):
\[ 1-\frac{12}{100}=1-0{,}12=0{,}88 \]
b) La relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}88 \]
c) La condición inicial corresponde al valor inicial:
\[ V_0=8000 \]
Respuesta: factor \(0{,}88\), relación \(V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}88\) y condición inicial \(V_0=8000\).
Ejercicio 3
Una población inicial de \(1500\) bacterias crece un \(20\%\) por período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}20=1{,}20 \]
Entonces la relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}20 \]
Con \(V_0=1500\), calculamos:
\[ V_1=1500\cdot 1{,}20=1800 \]
\[ V_2=1800\cdot 1{,}20=2160 \]
\[ V_3=2160\cdot 1{,}20=2592 \]
Respuesta: \(V_1=1800\), \(V_2=2160\) y \(V_3=2592\).
Ejercicio 4
Un artículo cuesta \( \$6000 \) y pierde un \(15\%\) de su valor cada período.
Calcula \(V_1\), \(V_2\) y \(V_3\) usando la forma recursiva.
Como es decrecimiento, el factor es:
\[ 1-0{,}15=0{,}85 \]
Entonces la relación recursiva es:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}85 \]
Con \(V_0=6000\), calculamos:
\[ V_1=6000\cdot 0{,}85=5100 \]
\[ V_2=5100\cdot 0{,}85=4335 \]
\[ V_3=4335\cdot 0{,}85=3684{,}75 \]
Respuesta: \(V_1=5100\), \(V_2=4335\) y \(V_3=3684{,}75\).
Ejercicio 5
Completa la tabla para una inversión de \( \$1000 \) que crece un \(10\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
| 4 | _____ |
Como es crecimiento, el factor es:
\[ 1+0{,}10=1{,}10 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=1000\cdot 1{,}10=1100 \]
\[ V_2=1100\cdot 1{,}10=1210 \]
\[ V_3=1210\cdot 1{,}10=1331 \]
\[ V_4=1331\cdot 1{,}10=1464{,}1 \]
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(1000\) |
| 1 | \(1100\) |
| 2 | \(1210\) |
| 3 | \(1331\) |
| 4 | \(1464{,}1\) |
Respuesta: los valores son \(1100\), \(1210\), \(1331\) y \(1464{,}1\).
Ejercicio 6
Completa la tabla para una cantidad inicial de \(4000\) que disminuye un \(5\%\) mensual.
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(4000\) |
| 1 | _____ |
| 2 | _____ |
| 3 | _____ |
| 4 | _____ |
Como es decrecimiento, el factor es:
\[ 1-0{,}05=0{,}95 \]
Calculamos período a período:
\[ V_1=4000\cdot 0{,}95=3800 \]
\[ V_2=3800\cdot 0{,}95=3610 \]
\[ V_3=3610\cdot 0{,}95=3429{,}5 \]
\[ V_4=3429{,}5\cdot 0{,}95=3258{,}025\approx 3258{,}03 \]
| Mes | Valor |
|---|---|
| 0 | \(4000\) |
| 1 | \(3800\) |
| 2 | \(3610\) |
| 3 | \(3429{,}5\) |
| 4 | \(3258{,}03\) |
Respuesta: los valores son \(3800\), \(3610\), \(3429{,}5\) y aproximadamente \(3258{,}03\).
Ejercicio 7
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}08,\qquad V_0=500 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(1{,}08>1\), representa crecimiento.
Además:
\[ 1{,}08=1+0{,}08 \]
Por lo tanto, corresponde a un crecimiento del \(8\%\) por período.
Calculamos los valores:
\[ V_1=500\cdot 1{,}08=540 \]
\[ V_2=540\cdot 1{,}08=583{,}2 \]
Respuesta: representa crecimiento; \(V_1=540\) y \(V_2=583{,}2\).
Ejercicio 8
Una relación recursiva está dada por:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 0{,}93,\qquad V_0=2000 \]
Indica si representa crecimiento o decrecimiento y calcula \(V_1\) y \(V_2\).
Como \(0{,}93<1\), representa decrecimiento.
Además:
\[ 0{,}93=1-0{,}07 \]
Por lo tanto, corresponde a una disminución del \(7\%\) por período.
Calculamos los valores:
\[ V_1=2000\cdot 0{,}93=1860 \]
\[ V_2=1860\cdot 0{,}93=1729{,}8 \]
Respuesta: representa decrecimiento; \(V_1=1860\) y \(V_2=1729{,}8\).
Ejercicio 9
Explica con tus palabras qué significa la relación:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}12 \]
La relación significa que en cada período el nuevo valor se obtiene multiplicando el valor anterior por \(1{,}12\).
Como \(1{,}12>1\), representa crecimiento.
Además:
\[ 1{,}12=1+0{,}12 \]
Respuesta: corresponde a un crecimiento del \(12\%\) por período.
Ejercicio 10
Un estudiante dice que la relación
\[ V_{n+1}=V_n+200 \]
representa un crecimiento porcentual constante.
Explica si está en lo correcto o no.
No está en lo correcto.
La expresión \(V_{n+1}=V_n+200\) representa sumar siempre la misma cantidad, es decir, un crecimiento lineal.
En cambio, el crecimiento porcentual constante se modela multiplicando por un mismo factor en cada período.
Por ejemplo, un crecimiento del \(10\%\) se escribiría como:
\[ V_{n+1}=V_n\cdot 1{,}10 \]
Respuesta: no corresponde a crecimiento porcentual constante, porque suma una cantidad fija en lugar de multiplicar por un factor.
Para cerrar
La forma recursiva permite describir paso a paso un cambio porcentual constante. En lugar de calcular directamente un valor lejano, muestra cómo se construye cada valor a partir del anterior.