Funcion cuadratica
2. Evaluación de la función cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Evaluar una función cuadrática mediante sustitución directa e interpretar el valor obtenido como la imagen de un número dado.
Evaluar una función consiste en reemplazar la variable \(x\) por un valor específico y calcular el resultado.
Ese resultado corresponde a la imagen de ese valor bajo la función.
Si tenemos una función cuadrática de la forma
\[ f(x)=ax^2+bx+c \]
y queremos evaluar en un número, por ejemplo \(x=2\), simplemente reemplazamos \(x\) por 2:
\[ f(2)=a(2)^2+b(2)+c \]
Luego se realizan las operaciones respetando el orden correspondiente.
- Sustituye el valor de \(x\) en cada lugar donde aparezca la variable.
- Usa paréntesis al reemplazar, especialmente si el valor es negativo.
- Eleva primero la potencia.
- Después multiplica y finalmente suma o resta.
Si el valor que reemplaza a \(x\) es negativo, debe escribirse entre paréntesis.
Por ejemplo, no es lo mismo escribir \(-2^2\) que \(( -2 )^2\).
\[ -2^2=-4 \qquad\text{pero}\qquad (-2)^2=4 \]
Desarrollo conceptual
Cuando escribimos \(f(3)\), estamos preguntando: ¿qué valor toma la función cuando \(x=3\)?
Ese número se llama imagen de 3.
Por ejemplo, si al evaluar obtenemos \(f(3)=10\), entonces decimos que la imagen de 3 es 10.
Ejemplos
Ejemplo 1: evaluar en un número positivo
Evalúa la función \(f(x)=2x^2-3x+1\) en \(x=3\).
Sustituimos \(x\) por 3:
\[ f(3)=2(3)^2-3(3)+1 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(3)=2(9)-9+1 \]
Multiplicamos y reducimos:
\[ f(3)=18-9+1 \]
\[ f(3)=10 \]
Por lo tanto, la imagen de 3 es 10.
Ejemplo 2: evaluar en un número negativo
Evalúa la función \(f(x)=-x^2+4x-5\) en \(x=-2\).
Sustituimos \(x\) por \(-2\):
\[ f(-2)=-( -2 )^2+4(-2)-5 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(-2)=-4-8-5 \]
Reducimos:
\[ f(-2)=-17 \]
Por lo tanto, la imagen de \(-2\) es \(-17\).
Ejemplo 3: evaluar cuando \(x=0\)
Evalúa la función \(f(x)=3x^2+2x-4\) en \(x=0\).
Sustituimos:
\[ f(0)=3(0)^2+2(0)-4 \]
Calculamos:
\[ f(0)=0+0-4 \]
\[ f(0)=-4 \]
Entonces, la imagen de 0 es \(-4\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Evalúa la función \(f(x)=3x^2-2x+1\) en \(x=2\).
Sustituimos \(x\) por 2:
\[ f(2)=3(2)^2-2(2)+1 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(2)=3(4)-4+1 \]
Multiplicamos:
\[ f(2)=12-4+1 \]
Reducimos:
\[ f(2)=9 \]
Por lo tanto, la imagen de 2 es 9.
Ejercicio 2
Evalúa la función \(f(x)=-x^2+5x-4\) en \(x=1\).
Sustituimos \(x\) por 1:
\[ f(1)=-(1)^2+5(1)-4 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(1)=-1+5-4 \]
Reducimos:
\[ f(1)=0 \]
Por lo tanto, la imagen de 1 es 0.
Ejercicio 3
Evalúa la función \(f(x)=4x^2-4x+1\) en \(x=0\).
Sustituimos \(x\) por 0:
\[ f(0)=4(0)^2-4(0)+1 \]
Calculamos:
\[ f(0)=0-0+1 \]
\[ f(0)=1 \]
Entonces, la imagen de 0 es 1.
Ejercicio 4
Evalúa la función \(f(x)=2x^2-3x+7\) en \(x=-1\).
Sustituimos \(x\) por \(-1\):
\[ f(-1)=2(-1)^2-3(-1)+7 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(-1)=2(1)+3+7 \]
Reducimos:
\[ f(-1)=2+3+7=12 \]
Por lo tanto, la imagen de \(-1\) es 12.
Ejercicio 5
Evalúa la función \(f(x)=5-x+2x^2\) en \(x=2\).
Aunque la función no esté escrita en el orden usual, igual se puede evaluar directamente.
Sustituimos \(x\) por 2:
\[ f(2)=5-2+2(2)^2 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(2)=5-2+2(4) \]
Multiplicamos:
\[ f(2)=5-2+8 \]
Reducimos:
\[ f(2)=11 \]
Entonces, la imagen de 2 es 11.
Ejercicio 6
Evalúa la función \(f(x)=1+4x-x^2\) en \(x=-3\).
Sustituimos \(x\) por \(-3\):
\[ f(-3)=1+4(-3)-(-3)^2 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(-3)=1-12-9 \]
Reducimos:
\[ f(-3)=-20 \]
Por lo tanto, la imagen de \(-3\) es \(-20\).
Ejercicio 7
Evalúa la función \(f(x)=x^2-6x+4\) en \(x=3\).
Sustituimos \(x\) por 3:
\[ f(3)=(3)^2-6(3)+4 \]
Calculamos la potencia:
\[ f(3)=9-18+4 \]
Reducimos:
\[ f(3)=-5 \]
Entonces, la imagen de 3 es \(-5\).