Funcion cuadratica
4. Gráfica de la función cuadrática mediante tabla de valores
Gráfica de la función cuadrática mediante tabla de valores
Objetivo de aprendizaje
Construir la gráfica de una función cuadrática a partir de una tabla de valores y reconocer su forma característica como una parábola.
Una forma simple de graficar una función cuadrática es elegir algunos valores de \(x\), calcular sus imágenes \(f(x)\) y ubicar los puntos obtenidos en el plano cartesiano.
Después, esos puntos se unen con una curva suave. Esa curva recibe el nombre de parábola.
- Elegir varios valores de \(x\).
- Evaluar la función para cada uno de ellos.
- Construir una tabla de valores.
- Ubicar los puntos \((x,f(x))\) en el plano cartesiano.
- Unir los puntos con una curva suave.
En muchas funciones cuadráticas, los valores quedan organizados de manera simétrica. Eso ayuda a comprobar si la tabla y el gráfico tienen sentido.
No se deben unir los puntos con segmentos rectos como si fuera una poligonal. La gráfica de una función cuadrática es una curva suave.
Ejemplo 1
Grafiquemos la función:
\[ f(x)=x^2 \]
Elegimos algunos valores de \(x\): \(-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 4 |
| -1 | 1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
Los puntos obtenidos son:
\[ (-2,4),\;(-1,1),\;(0,0),\;(1,1),\;(2,4) \]
Al ubicarlos en el plano y unirlos con una curva suave, se obtiene una parábola que se abre hacia arriba.
Ejemplo 2
Grafiquemos ahora la función:
\[ f(x)=x^2-2x \]
Elegimos los valores \(x=-1,0,1,2,3\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 3 |
| 0 | 0 |
| 1 | -1 |
| 2 | 0 |
| 3 | 3 |
Los puntos son:
\[ (-1,3),\;(0,0),\;(1,-1),\;(2,0),\;(3,3) \]
Se observa una simetría en torno al centro de la parábola.
Ejercicios
Ejercicio 1
Construye una tabla de valores y grafica la función:
\[ f(x)=x^2+1 \]
Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 5 |
| -1 | 2 |
| 0 | 1 |
| 1 | 2 |
| 2 | 5 |
Los puntos son \((-2,5)\), \((-1,2)\), \((0,1)\), \((1,2)\) y \((2,5)\).
Al graficarlos se obtiene una parábola que se abre hacia arriba y está desplazada una unidad hacia arriba respecto de \(y=x^2\).
Ejercicio 2
Construye una tabla de valores y grafica la función:
\[ f(x)=x^2-4 \]
Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 0 |
| -1 | -3 |
| 0 | -4 |
| 1 | -3 |
| 2 | 0 |
Los puntos son \((-2,0)\), \((-1,-3)\), \((0,-4)\), \((1,-3)\) y \((2,0)\).
La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba y está desplazada 4 unidades hacia abajo.
Ejercicio 3
Construye una tabla de valores y grafica la función:
\[ f(x)=-x^2 \]
Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | -4 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | -1 |
| 2 | -4 |
Los puntos son \((-2,-4)\), \((-1,-1)\), \((0,0)\), \((1,-1)\) y \((2,-4)\).
Al unirlos con una curva suave se obtiene una parábola que se abre hacia abajo.
Ejercicio 4
Completa una tabla de valores y realiza el gráfico de la función:
\[ f(x)=x^2+2x \]
Tomemos \(x=-3,-2,-1,0,1\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -3 | 3 |
| -2 | 0 |
| -1 | -1 |
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
Los puntos son \((-3,3)\), \((-2,0)\), \((-1,-1)\), \((0,0)\) y \((1,3)\).
La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba.
Ejercicio 5
Construye una tabla de valores y grafica la función:
\[ f(x)=2x^2 \]
Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 8 |
| -1 | 2 |
| 0 | 0 |
| 1 | 2 |
| 2 | 8 |
Los puntos son \((-2,8)\), \((-1,2)\), \((0,0)\), \((1,2)\) y \((2,8)\).
La parábola se abre hacia arriba y es más estrecha que la de \(y=x^2\).
Ejercicio 6
Construye una tabla de valores y grafica la función:
\[ f(x)=1-x^2 \]
Tomemos \(x=-2,-1,0,1,2\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | -3 |
| -1 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 2 | -3 |
Los puntos son \((-2,-3)\), \((-1,0)\), \((0,1)\), \((1,0)\) y \((2,-3)\).
Se obtiene una parábola que se abre hacia abajo y cuyo punto más alto es \((0,1)\).
Ejercicio 7
Completa una tabla de valores y realiza el gráfico de la función:
\[ f(x)=x^2-2x-3 \]
Tomemos \(x=-1,0,1,2,3\).
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -1 | 0 |
| 0 | -3 |
| 1 | -4 |
| 2 | -3 |
| 3 | 0 |
Los puntos son \((-1,0)\), \((0,-3)\), \((1,-4)\), \((2,-3)\) y \((3,0)\).
La gráfica es una parábola que se abre hacia arriba. Además, se observa simetría respecto de \(x=1\).