5. Concavidad y corte con el eje "y"

Objetivo de aprendizaje

Interpretar cómo el coeficiente \(a\) determina la concavidad de la parábola y cómo el coeficiente \(c\) indica el punto donde la función cuadrática corta el eje \(y\).

🤓 Dos coeficientes muy importantes

En una función cuadrática de la forma

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

los coeficientes \(a\) y \(c\) entregan información inmediata sobre la gráfica:

  • el coeficiente \(a\) indica si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo;
  • el coeficiente \(c\) indica el punto donde la función corta el eje \(y\).
📐 Idea clave

Concavidad:

  • si \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba;
  • si \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Corte con el eje \(y\):

Para encontrarlo, evaluamos en \(x=0\):

\[ f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c \]

Por lo tanto, el corte con el eje \(y\) siempre es el punto:

\[ (0,c) \]

💡 Lectura rápida de la función

Sin hacer una tabla completa, a veces ya se pueden reconocer dos aspectos de la gráfica:

  • la apertura, mirando el signo de \(a\);
  • el corte con el eje \(y\), mirando el valor de \(c\).
⚠️ Error común

No hay que confundir el coeficiente \(c\) con una raíz o con el vértice.

El coeficiente \(c\) solo indica el valor de la función cuando \(x=0\), es decir, el corte con el eje \(y\).

Desarrollo conceptual

🤓 ¿Por qué el corte con el eje \(y\) es \((0,c)\)?

Todo punto del eje \(y\) tiene coordenada \(x=0\).

Entonces, si queremos saber dónde la gráfica cruza ese eje, basta con reemplazar \(x\) por 0:

\[ f(0)=a(0)^2+b(0)+c=c \]

Por eso, el corte con el eje \(y\) es siempre \((0,c)\).

Ejemplo 1: concavidad hacia arriba

Consideremos la función:

\[ f(x)=x^2+2x+3 \]

Aquí:

  • \(a=1\)
  • \(c=3\)

Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.

Además, como \(c=3\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,3) \]

Ejemplo 2: concavidad hacia abajo

Consideremos la función:

\[ f(x)=-x^2+4x+1 \]

Aquí:

  • \(a=-1\)
  • \(c=1\)

Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.

Además, como \(c=1\), el corte con el eje \(y\) es:

\[ (0,1) \]

Ejemplo 3: comparar solo cambiando \(a\)

Comparemos estas funciones:

\[ f(x)=x^2+2 \qquad\text{y}\qquad g(x)=-x^2+2 \]

En ambas funciones, \(c=2\), así que ambas cortan el eje \(y\) en el mismo punto:

\[ (0,2) \]

Pero como en la primera \(a>0\), se abre hacia arriba, y como en la segunda \(a<0\), se abre hacia abajo.

Ejercicios

Ejercicio 1

Indica si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y señala el corte con el eje \(y\):

\[ f(x)=2x^2-3x+5 \]

Ejercicio 2

Indica si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo y señala el corte con el eje \(y\):

\[ f(x)=-3x^2+x-4 \]

Ejercicio 3

Indica la concavidad y el corte con el eje \(y\) de la función:

\[ f(x)=7+4x-x^2 \]

Ejercicio 4

Indica la concavidad y el corte con el eje \(y\) de la función:

\[ f(x)=x^2-6x \]

Ejercicio 5

Observa la función y describe la concavidad y el corte con el eje \(y\):

\[ f(x)=1-x^2 \]

Ejercicio 6

Dos funciones cuadráticas son:

\[ f(x)=x^2-3 \qquad\text{y}\qquad g(x)=-x^2-3 \]

Indica en qué se parecen y en qué se diferencian respecto a la concavidad y al corte con el eje \(y\).

Ejercicio 7

Construye una función cuadrática que cumpla estas condiciones:

  • se abra hacia abajo;
  • corte el eje \(y\) en \((0,4)\).

Da un ejemplo y justifica.