Funcion cuadratica: Vértice de la parábola

6. Vértice de la parábola

Objetivo de aprendizaje

Determinar el vértice de una función cuadrática usando la expresión algebraica y comprender su ubicación en la gráfica de la parábola.

🤓 ¿Qué es el vértice?

El vértice es un punto muy importante de la parábola. Es el punto central de la curva y corresponde al lugar donde la parábola cambia de dirección.

En una función cuadrática, el vértice tiene coordenadas \((x_v,y_v)\).

📐 Cómo encontrar el vértice

Si la función cuadrática está dada por

\[ f(x)=ax^2+bx+c \]

entonces la coordenada \(x\) del vértice se calcula con:

\[ x_v=\frac{-b}{2a} \]

Luego, para encontrar la coordenada \(y\), se reemplaza ese valor en la función:

\[ y_v=f\left(\frac{-b}{2a}\right) \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ \left(\frac{-b}{2a},\,f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right) \]

💡 Idea clave

Para hallar el vértice, primero se encuentra su coordenada horizontal y luego su coordenada vertical.

Es decir:

calcular \(x_v=\dfrac{-b}{2a}\);
evaluar la función en ese valor para hallar \(y_v\).

⚠️ Error común

Un error frecuente es calcular solo \(x_v=\dfrac{-b}{2a}\) y pensar que ese número ya es el vértice completo.

Recuerda que el vértice es un punto, por lo tanto debe escribirse con dos coordenadas:

\[ (x_v,y_v) \]

Desarrollo conceptual

🤓 Interpretación geométrica

El vértice está en el “centro” de la parábola. Si la parábola se abre hacia arriba, el vértice queda en la parte más baja. Si se abre hacia abajo, queda en la parte más alta.

En esta página nos concentraremos en encontrar el vértice y ubicarlo en la gráfica. Más adelante veremos su relación con máximos, mínimos y eje de simetría.

Ejemplo 1

Encuentremos el vértice de la función:

\[ f(x)=x^2-4x+3 \]

Aquí:

\(a=1\)
\(b=-4\)
\(c=3\)

Calculamos la coordenada \(x\) del vértice:

\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]

Ahora calculamos la coordenada \(y\):

\[ y_v=f(2)=2^2-4(2)+3 \]

\[ y_v=4-8+3=-1 \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ (2,-1) \]

Ejemplo 2

Encuentremos el vértice de la función:

\[ f(x)=-2x^2+4x-1 \]

Aquí:

\(a=-2\)
\(b=4\)
\(c=-1\)

Calculamos la coordenada \(x\):

\[ x_v=\frac{-4}{2(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \]

Ahora calculamos la coordenada \(y\):

\[ y_v=f(1)=-2(1)^2+4(1)-1 \]

\[ y_v=-2+4-1=1 \]

Entonces, el vértice es:

\[ (1,1) \]

Ejemplo 3

Ahora observemos una función escrita en otro orden:

\[ f(x)=5+2x-x^2 \]

Reordenando mentalmente:

\[ f(x)=-x^2+2x+5 \]

Entonces:

\(a=-1\)
\(b=2\)

Calculamos:

\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=\frac{-2}{-2}=1 \]

Luego:

\[ y_v=f(1)=5+2(1)-1^2 \]

\[ y_v=5+2-1=6 \]

Por lo tanto, el vértice es:

\[ (1,6) \]