Funcion cuadratica
8. Máximo o mínimo de una función cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Interpretar el vértice de una parábola como un punto máximo o mínimo y distinguir entre el punto extremo y el valor máximo o mínimo de la función.
En una función cuadrática, el vértice representa el punto más alto o el punto más bajo de la parábola.
- Si la parábola se abre hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo.
- Si la parábola se abre hacia abajo, el vértice corresponde a un máximo.
Si \(f(x)=ax^2+bx+c\), entonces:
- si \(a>0\), la función tiene mínimo;
- si \(a<0\), la función tiene máximo.
Ese extremo ocurre en el vértice:
\[ x_v=\frac{-b}{2a} \qquad\text{y}\qquad y_v=f\left(\frac{-b}{2a}\right) \]
No es lo mismo hablar del punto máximo o mínimo que del valor máximo o mínimo.
- El punto máximo o mínimo es el vértice completo: \((x_v,y_v)\).
- El valor máximo o mínimo es solo la coordenada \(y\) del vértice.
Si una parábola tiene vértice en \((2,-1)\), no se debe decir simplemente que “el mínimo es 2”.
En ese caso:
- el punto mínimo es \((2,-1)\);
- el valor mínimo es \(-1\).
Desarrollo conceptual
La concavidad indica hacia dónde se abre la parábola. Eso permite decidir de inmediato si el vértice será un máximo o un mínimo:
- si la parábola se abre hacia arriba, el vértice queda en la parte más baja;
- si la parábola se abre hacia abajo, el vértice queda en la parte más alta.
Por eso, el signo de \(a\) permite anticipar el tipo de extremo antes incluso de graficar.
Ejemplo 1
Analicemos la función:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
Ya sabemos encontrar el vértice:
\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]
\[ y_v=f(2)=2^2-4(2)+3=4-8+3=-1 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (2,-1) \]
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Por lo tanto:
- el punto mínimo es \((2,-1)\);
- el valor mínimo es \(-1\).
Ejemplo 2
Analicemos ahora la función:
\[ f(x)=-2x^2+4x-1 \]
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-4}{2(-2)}=\frac{-4}{-4}=1 \]
\[ y_v=f(1)=-2(1)^2+4(1)-1=-2+4-1=1 \]
Entonces, el vértice es:
\[ (1,1) \]
Como \(a=-2<0\), la parábola se abre hacia abajo.
Por lo tanto:
- el punto máximo es \((1,1)\);
- el valor máximo es \(1\).
Ejemplo 3
Consideremos una función escrita en otro orden:
\[ f(x)=5+2x-x^2 \]
Reordenando mentalmente:
\[ f(x)=-x^2+2x+5 \]
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=\frac{-2}{-2}=1 \]
\[ y_v=f(1)=5+2(1)-1^2=5+2-1=6 \]
El vértice es:
\[ (1,6) \]
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.
Entonces:
- el punto máximo es \((1,6)\);
- el valor máximo es \(6\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Determina si la función tiene máximo o mínimo y calcula ese extremo:
\[ f(x)=x^2+6x+8 \]
Primero identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=6\)
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba. Por lo tanto, tiene mínimo.
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=-3 \]
\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1 \]
Entonces:
- el punto mínimo es \((-3,-1)\);
- el valor mínimo es \(-1\).
Ejercicio 2
Determina si la función tiene máximo o mínimo y calcula ese extremo:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
Identificamos:
- \(a=-1\)
- \(b=2\)
Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo. Entonces tiene máximo.
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]
\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]
Entonces:
- el punto máximo es \((1,4)\);
- el valor máximo es \(4\).
Ejercicio 3
Encuentra el máximo o mínimo de la función:
\[ f(x)=2x^2-8x+5 \]
Identificamos:
- \(a=2\)
- \(b=-8\)
Como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba. Entonces tiene mínimo.
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=\frac{8}{4}=2 \]
\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5=8-16+5=-3 \]
Por lo tanto:
- el punto mínimo es \((2,-3)\);
- el valor mínimo es \(-3\).
Ejercicio 4
Encuentra el máximo o mínimo de la función:
\[ f(x)=-3x^2+12x-7 \]
Identificamos:
- \(a=-3\)
- \(b=12\)
Como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo. Entonces tiene máximo.
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-12}{2(-3)}=\frac{-12}{-6}=2 \]
\[ y_v=f(2)=-3(2)^2+12(2)-7=-12+24-7=5 \]
Por lo tanto:
- el punto máximo es \((2,5)\);
- el valor máximo es \(5\).
Ejercicio 5
La función está escrita en otro orden. Encuentra su máximo o mínimo:
\[ f(x)=6-4x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-4x+6 \]
Entonces:
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
Como \(a>0\), la función tiene mínimo.
Calculamos el vértice:
\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=2 \]
\[ y_v=f(2)=6-4(2)+2^2=6-8+4=2 \]
Por lo tanto:
- el punto mínimo es \((2,2)\);
- el valor mínimo es \(2\).
Ejercicio 6
Explica qué significa, en la gráfica, que una función cuadrática tenga máximo igual a 3.
Que una función cuadrática tenga máximo igual a 3 significa que la parábola se abre hacia abajo y que su punto más alto tiene coordenada \(y=3\).
Eso quiere decir que el vértice está en algún punto \((x,3)\).
Por ejemplo, una función que cumple eso es:
\[ f(x)=-x^2+3 \]
En ese caso, el vértice es \((0,3)\) y el valor máximo es 3.
Ejercicio 7
Construye una función cuadrática que tenga mínimo en el punto \((1,-2)\). Da un ejemplo y justifica.
Queremos una parábola que se abra hacia arriba y cuyo vértice sea \((1,-2)\).
Un ejemplo sencillo es:
\[ f(x)=(x-1)^2-2 \]
Desarrollando:
\[ f(x)=x^2-2x+1-2 \]
\[ f(x)=x^2-2x-1 \]
Verificamos:
- \(a=1>0\), por eso la parábola tiene mínimo;
- su vértice es \((1,-2)\).
Entonces:
- el punto mínimo es \((1,-2)\);
- el valor mínimo es \(-2\).