Funcion cuadratica
15. Análisis completo de una función cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Integrar el estudio de una función cuadrática determinando su concavidad, corte con el eje \(y\), vértice, eje de simetría, máximo o mínimo, recorrido, ceros y signo.
Hacer un análisis completo de una función cuadrática consiste en reunir, en una sola revisión, las principales características de su gráfica y de su expresión algebraica.
De ese modo, no solo sabemos calcular valores, sino también interpretar cómo se comporta la parábola.
Si la función es \(f(x)=ax^2+bx+c\), conviene revisar:
- )=ax^2+bx+c\), conviene revisar:
- concavidad;
- corte con el eje \(y\);
- vértice;
- eje de simetría;
- máximo o mínimo;
- recorrido;
- ceros de la función;
- signo de la función.
- Identifica \(a\), \(b\) y \(c\).
- Usa \(a\) para decidir la concavidad.
- Usa \(c\) para hallar el corte con el eje \(y\).
- Calcula el vértice con \(x_v=\dfrac{-b}{2a}\) y \(y_v=f(x_v)\).
- Con el vértice, decide si hay máximo o mínimo y determina el recorrido.
- Resuelve \(f(x)=0\) para encontrar los ceros.
- Con los ceros y la concavidad, estudia el signo.
En un análisis completo no basta con dar resultados sueltos. Cada conclusión debe estar bien interpretada.
Por ejemplo, no basta con escribir \(x=2\): hay que aclarar si ese valor corresponde al eje de simetría, a una raíz o a la coordenada \(x\) del vértice.
Ejemplo 1: análisis completo de una función que se abre hacia arriba
Analicemos la función:
\[ f(x)=x^2-4x+3 \]
1. Coeficientes
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
- \(c=3\)
2. Concavidad
Como \(a=1>0\), la parábola se abre hacia arriba.
3. Corte con el eje \(y\)
\[ f(0)=3 \]
Entonces, corta el eje \(y\) en:
\[ (0,3) \]
4. Vértice
\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=\frac{4}{2}=2 \]
\[ y_v=f(2)=2^2-4(2)+3=4-8+3=-1 \]
El vértice es:
\[ (2,-1) \]
5. Eje de simetría
\[ x=2 \]
6. Máximo o mínimo
Como la parábola se abre hacia arriba, el vértice representa un mínimo.
Entonces:
- punto mínimo: \((2,-1)\)
- valor mínimo: \(-1\)
7. Recorrido
\[ [-1,\infty) \]
8. Ceros
\[ x^2-4x+3=0 \]
\[ (x-1)(x-3)=0 \]
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=3 \]
9. Signo
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,1)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)<0\) en \((1,3)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=1\) y \(x=3\)
Ejemplo 2: análisis completo de una función que se abre hacia abajo
Analicemos la función:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
1. Coeficientes
- \(a=-1\)
- \(b=2\)
- \(c=3\)
2. Concavidad
Como \(a=-1<0\), la parábola se abre hacia abajo.
3. Corte con el eje \(y\)
\[ f(0)=3 \]
Entonces, corta el eje \(y\) en:
\[ (0,3) \]
4. Vértice
\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]
\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]
El vértice es:
\[ (1,4) \]
5. Eje de simetría
\[ x=1 \]
6. Máximo o mínimo
Como la parábola se abre hacia abajo, el vértice representa un máximo.
Entonces:
- punto máximo: \((1,4)\)
- valor máximo: \(4\)
7. Recorrido
\[ (-\infty,4] \]
8. Ceros
\[ -x^2+2x+3=0 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
9. Signo
- \(f(x)>0\) en \((-1,3)\)
- \(f(x)<0\) en \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\)
Ejemplo 3: función sin ceros reales
Analicemos la función:
\[ f(x)=x^2+2x+3 \]
1. Coeficientes
- \(a=1\)
- \(b=2\)
- \(c=3\)
2. Concavidad
Como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.
3. Corte con el eje \(y\)
\[ f(0)=3 \]
Entonces, corta el eje \(y\) en \((0,3)\).
4. Vértice
\[ x_v=\frac{-2}{2(1)}=-1 \]
\[ y_v=f(-1)=(-1)^2+2(-1)+3=1-2+3=2 \]
El vértice es \((-1,2)\).
5. Eje de simetría
\[ x=-1 \]
6. Máximo o mínimo
Tiene mínimo en \((-1,2)\) y valor mínimo \(2\).
7. Recorrido
\[ [2,\infty) \]
8. Ceros
La ecuación \(x^2+2x+3=0\) no tiene soluciones reales.
9. Signo
Como no tiene ceros reales y su mínimo es positivo, se cumple que:
\[ f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R} \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Realiza el análisis completo de la función:
\[ f(x)=x^2+6x+8 \]
Coeficientes: \(a=1\), \(b=6\), \(c=8\).
Concavidad: como \(a>0\), la parábola se abre hacia arriba.
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=8 \Rightarrow (0,8) \]
Vértice:
\[ x_v=\frac{-6}{2(1)}=-3 \]
\[ y_v=f(-3)=(-3)^2+6(-3)+8=9-18+8=-1 \]
\[ V=(-3,-1) \]
Eje de simetría:
\[ x=-3 \]
Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((-3,-1)\), y su valor mínimo es \(-1\).
Recorrido:
\[ [-1,\infty) \]
Ceros:
\[ x^2+6x+8=0 \]
\[ (x+2)(x+4)=0 \]
\[ x=-2 \qquad \text{y} \qquad x=-4 \]
Signo:
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,-4)\cup(-2,\infty)\)
- \(f(x)<0\) en \((-4,-2)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=-4\) y \(x=-2\)
Ejercicio 2
Realiza el análisis completo de la función:
\[ f(x)=-x^2+2x+3 \]
Coeficientes: \(a=-1\), \(b=2\), \(c=3\).
Concavidad: como \(a<0\), la parábola se abre hacia abajo.
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=3 \Rightarrow (0,3) \]
Vértice:
\[ x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1 \]
\[ y_v=f(1)=-(1)^2+2(1)+3=-1+2+3=4 \]
\[ V=(1,4) \]
Eje de simetría:
\[ x=1 \]
Máximo o mínimo: tiene máximo en \((1,4)\), y su valor máximo es \(4\).
Recorrido:
\[ (-\infty,4] \]
Ceros:
\[ -x^2+2x+3=0 \]
\[ x^2-2x-3=0 \]
\[ (x-3)(x+1)=0 \]
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Signo:
- \(f(x)>0\) en \((-1,3)\)
- \(f(x)<0\) en \((-\infty,-1)\cup(3,\infty)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=-1\) y \(x=3\)
Ejercicio 3
Realiza el análisis completo de la función:
\[ f(x)=2x^2-8x+5 \]
Coeficientes: \(a=2\), \(b=-8\), \(c=5\).
Concavidad: como \(a>0\), se abre hacia arriba.
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=5 \Rightarrow (0,5) \]
Vértice:
\[ x_v=\frac{-(-8)}{2(2)}=2 \]
\[ y_v=f(2)=2(2)^2-8(2)+5=8-16+5=-3 \]
\[ V=(2,-3) \]
Eje de simetría:
\[ x=2 \]
Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((2,-3)\), con valor mínimo \(-3\).
Recorrido:
\[ [-3,\infty) \]
Ceros:
\[ 2x^2-8x+5=0 \]
\[ x=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{4+\sqrt{6}}{2} \]
Signo:
- \(f(x)>0\) fuera de sus ceros
- \(f(x)<0\) entre sus dos ceros
Ejercicio 4
Realiza el análisis completo de la función:
\[ f(x)=6-4x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-4x+6 \]
Coeficientes: \(a=1\), \(b=-4\), \(c=6\).
Concavidad: se abre hacia arriba.
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=6 \Rightarrow (0,6) \]
Vértice:
\[ x_v=\frac{-(-4)}{2(1)}=2 \]
\[ y_v=f(2)=6-4(2)+2^2=6-8+4=2 \]
\[ V=(2,2) \]
Eje de simetría:
\[ x=2 \]
Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((2,2)\), con valor mínimo \(2\).
Recorrido:
\[ [2,\infty) \]
Ceros: no tiene ceros reales.
Signo:
\[ f(x)>0 \quad \text{para todo } x\in\mathbb{R} \]
Ejercicio 5
Realiza el análisis completo de la función:
\[ f(x)=x^2-2x+1 \]
Coeficientes: \(a=1\), \(b=-2\), \(c=1\).
Concavidad: se abre hacia arriba.
Corte con el eje \(y\):
\[ f(0)=1 \Rightarrow (0,1) \]
Vértice:
\[ x_v=\frac{-(-2)}{2(1)}=1 \]
\[ y_v=f(1)=1^2-2(1)+1=0 \]
\[ V=(1,0) \]
Eje de simetría:
\[ x=1 \]
Máximo o mínimo: tiene mínimo en \((1,0)\), con valor mínimo \(0\).
Recorrido:
\[ [0,\infty) \]
Ceros:
\[ (x-1)^2=0 \Rightarrow x=1 \]
Tiene un cero doble.
Signo:
- \(f(x)>0\) en \((-\infty,1)\cup(1,\infty)\)
- \(f(x)=0\) en \(x=1\)
- no tiene intervalos donde sea negativa
Ejercicio 6
Una función cuadrática tiene estas características:
- se abre hacia abajo;
- corta el eje \(y\) en \((0,4)\);
- su vértice es \((1,5)\).
Construye un ejemplo de función que cumpla estas condiciones y realiza su análisis principal.
Un ejemplo es:
\[ f(x)=-x^2+2x+4 \]
Verificamos:
- \(a=-1<0\), por eso se abre hacia abajo;
- \(f(0)=4\), así que corta el eje \(y\) en \((0,4)\);
- \(x_v=\dfrac{-2}{2(-1)}=1\) y \(f(1)=-1+2+4=5\), entonces su vértice es \((1,5)\).
Entonces:
- eje de simetría: \(x=1\)
- máximo: \(5\)
- recorrido: \((-\infty,5]\)
Ejercicio 7
Explica por qué en un análisis completo de una función cuadrática no basta con hallar solo el vértice.
Hallar solo el vértice no entrega toda la información sobre la función.
El vértice permite conocer el punto extremo y ayuda a obtener el recorrido, pero todavía faltan otras características importantes, por ejemplo:
- la concavidad;
- el corte con el eje \(y\);
- los ceros de la función;
- el signo;
- el eje de simetría.
Por eso, un análisis completo requiere estudiar varios aspectos de la parábola y no solamente uno de ellos.