Funcion cuadratica
10. Ceros de una función cuadrática por factor común y casos inmediatos
Ceros de una función cuadrática por factor común y casos inmediatos
Objetivo de aprendizaje
Determinar los ceros de funciones cuadráticas que se resuelven mediante casos inmediatos o factorización por factor común, interpretándolos como intersecciones con el eje \(x\).
En esta página veremos funciones cuadráticas cuyos ceros se pueden encontrar de manera directa o sacando factor común.
Trabajaremos principalmente con expresiones como:
\[ ax^2=0 \qquad \text{y} \qquad ax^2+bx=0 \]
Los ceros de una función cuadrática se obtienen resolviendo:
\[ f(x)=0 \]
Si la expresión tiene factor común, conviene factorizar antes de resolver.
Luego se aplica la propiedad del producto nulo:
\[ A\cdot B=0 \qquad \Longrightarrow \qquad A=0 \text{ o } B=0 \]
- Caso 1: \(ax^2=0\)
- Caso 2: \(ax^2+bx=0\)
- Caso 3: expresiones donde el factor común no está escrito en primer lugar, pero se puede reconocer.
Cuando una expresión se factoriza, no se debe repartir el 0 entre los términos por separado sin justificar.
Lo correcto es escribir el producto factorizado y luego aplicar producto nulo.
Recuerdo breve
\[ ax^2+bx=x(ax+b) \]
\[ kx(ax+b)=kax^2+bkx \]
Si un producto vale 0, al menos uno de sus factores vale 0:
\[ A\cdot B=0 \qquad \Longrightarrow \qquad A=0 \text{ o } B=0 \]
Ejemplo 1: caso inmediato \(ax^2=0\)
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=3x^2 \]
Planteamos:
\[ 3x^2=0 \]
Como \(3\neq 0\), dividimos por 3:
\[ x^2=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \]
La función tiene un cero doble en \(x=0\).
En la gráfica, la parábola toca al eje \(x\) en el punto \((0,0)\).
Ejemplo 2: factor común simple
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=2x^2-8x \]
Planteamos:
\[ 2x^2-8x=0 \]
Sacamos factor común:
\[ 2x(x-4)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2x=0 \qquad \text{o} \qquad x-4=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=4 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(0\) y \(4\).
Ejemplo 3: factor común en una expresión desordenada
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=6x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2+6x \]
Sacamos factor común:
\[ x(x+6)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x+6=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-6 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(0\) y \(-6\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=5x^2 \]
Planteamos:
\[ 5x^2=0 \]
Como \(5\neq 0\), dividimos por 5:
\[ x^2=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \]
La función tiene un cero doble en \(x=0\).
Ejercicio 2
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-7x \]
Planteamos:
\[ x^2-7x=0 \]
Sacamos factor común:
\[ x(x-7)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x-7=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=7 \]
Por lo tanto, los ceros son \(0\) y \(7\).
Ejercicio 3
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=4x^2+12x \]
Planteamos:
\[ 4x^2+12x=0 \]
Sacamos factor común:
\[ 4x(x+3)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 4x=0 \qquad \text{o} \qquad x+3=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-3 \]
Por lo tanto, los ceros de la función son \(0\) y \(-3\).
Ejercicio 4
La función está escrita en otro orden. Encuentra sus ceros:
\[ f(x)=10x+2x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=2x^2+10x \]
Planteamos:
\[ 2x^2+10x=0 \]
Sacamos factor común:
\[ 2x(x+5)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2x=0 \qquad \text{o} \qquad x+5=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-5 \]
Por lo tanto, los ceros son \(0\) y \(-5\).
Ejercicio 5
La función está escrita en otro orden. Encuentra sus ceros:
\[ f(x)=-15x+3x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=3x^2-15x \]
Planteamos:
\[ 3x^2-15x=0 \]
Sacamos factor común:
\[ 3x(x-5)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 3x=0 \qquad \text{o} \qquad x-5=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=5 \]
Por lo tanto, los ceros son \(0\) y \(5\).
Ejercicio 6
Encuentra los ceros de la función e indica si la parábola corta o toca el eje \(x\):
\[ f(x)=8x^2 \]
Planteamos:
\[ 8x^2=0 \]
Como \(8\neq 0\), dividimos por 8:
\[ x^2=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \]
La función tiene un cero doble en \(x=0\).
Eso significa que la parábola toca al eje \(x\) en un solo punto:
\[ (0,0) \]
Ejercicio 7
Encuentra los ceros de la función e interpreta el resultado en la gráfica:
\[ f(x)=x^2+x \]
Planteamos:
\[ x^2+x=0 \]
Sacamos factor común:
\[ x(x+1)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x=0 \qquad \text{o} \qquad x+1=0 \]
Entonces:
\[ x=0 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
La parábola corta al eje \(x\) en dos puntos:
\[ (0,0) \qquad \text{y} \qquad (-1,0) \]