Funcion cuadratica
11. Ceros de una función cuadrática por productos notables
Objetivo de aprendizaje
Determinar los ceros de funciones cuadráticas que se resuelven mediante productos notables, interpretándolos como intersecciones con el eje \(x\) y distinguiendo entre un cero doble y dos ceros reales distintos.
En esta página veremos funciones cuadráticas cuyos ceros se pueden encontrar reconociendo una factorización especial.
Trabajaremos principalmente con dos casos:
- cuadrado perfecto;
- diferencia de cuadrados.
Los ceros de una función se obtienen resolviendo:
\[ f(x)=0 \]
Si la expresión corresponde a un producto notable, conviene factorizarla usando la identidad adecuada y luego aplicar producto nulo.
- Si aparece un cuadrado perfecto, suele aparecer una raíz repetida.
- Si aparece una diferencia de cuadrados, suelen aparecer dos raíces opuestas o dos raíces distintas.
No toda expresión con tres términos es un cuadrado perfecto.
Para que lo sea, el primer y el último término deben ser cuadrados perfectos y el término del medio debe coincidir con \(\pm 2ab\).
Recuerdo breve
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
\[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \]
\[ (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \]
Cuadrado perfecto
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Diferencia de cuadrados
\[ x^2-25=(x-5)(x+5) \]
\[ 4x^2-9=(2x-3)(2x+3) \]
Si un producto vale 0, al menos uno de sus factores debe valer 0:
\[ A\cdot B=0 \qquad \Longrightarrow \qquad A=0 \text{ o } B=0 \]
Ejemplo 1: cuadrado perfecto
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-6x+9 \]
Planteamos:
\[ x^2-6x+9=0 \]
Reconocemos un cuadrado perfecto:
\[ x^2-6x+9=(x-3)^2 \]
Entonces:
\[ (x-3)^2=0 \]
\[ x-3=0 \]
\[ x=3 \]
La función tiene un cero doble en \(x=3\).
En la gráfica, la parábola toca al eje \(x\) en el punto \((3,0)\).
Ejemplo 2: diferencia de cuadrados
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-25 \]
Planteamos:
\[ x^2-25=0 \]
Reconocemos una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-25=x^2-5^2=(x-5)(x+5) \]
Entonces:
\[ (x-5)(x+5)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x-5=0 \qquad \text{o} \qquad x+5=0 \]
Entonces:
\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=-5 \]
Por lo tanto, los ceros son \(-5\) y \(5\).
Ejemplo 3: diferencia de cuadrados con coeficiente
Encuentremos los ceros de la función:
\[ f(x)=4x^2-9 \]
Planteamos:
\[ 4x^2-9=0 \]
Reconocemos una diferencia de cuadrados:
\[ 4x^2-9=(2x)^2-3^2=(2x-3)(2x+3) \]
Entonces:
\[ (2x-3)(2x+3)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2x-3=0 \qquad \text{o} \qquad 2x+3=0 \]
Entonces:
\[ x=\frac{3}{2} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{3}{2} \]
Por lo tanto, los ceros son \(-\dfrac{3}{2}\) y \(\dfrac{3}{2}\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-8x+16 \]
Planteamos:
\[ x^2-8x+16=0 \]
Reconocemos un cuadrado perfecto:
\[ x^2-8x+16=(x-4)^2 \]
Entonces:
\[ (x-4)^2=0 \]
\[ x-4=0 \]
\[ x=4 \]
La función tiene un cero doble en \(x=4\).
Ejercicio 2
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-49 \]
Planteamos:
\[ x^2-49=0 \]
Reconocemos una diferencia de cuadrados:
\[ x^2-49=x^2-7^2=(x-7)(x+7) \]
Entonces:
\[ (x-7)(x+7)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ x-7=0 \qquad \text{o} \qquad x+7=0 \]
Entonces:
\[ x=7 \qquad \text{y} \qquad x=-7 \]
Por lo tanto, los ceros son \(-7\) y \(7\).
Ejercicio 3
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=9x^2-24x+16 \]
Planteamos:
\[ 9x^2-24x+16=0 \]
Reconocemos un cuadrado perfecto:
\[ 9x^2-24x+16=(3x-4)^2 \]
Entonces:
\[ (3x-4)^2=0 \]
\[ 3x-4=0 \]
\[ x=\frac{4}{3} \]
La función tiene un cero doble en \(x=\dfrac{4}{3}\).
Ejercicio 4
Encuentra los ceros de la función:
\[ f(x)=25x^2-1 \]
Planteamos:
\[ 25x^2-1=0 \]
Reconocemos una diferencia de cuadrados:
\[ 25x^2-1=(5x)^2-1^2=(5x-1)(5x+1) \]
Entonces:
\[ (5x-1)(5x+1)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 5x-1=0 \qquad \text{o} \qquad 5x+1=0 \]
Entonces:
\[ x=\frac{1}{5} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{1}{5} \]
Por lo tanto, los ceros son \(-\dfrac{1}{5}\) y \(\dfrac{1}{5}\).
Ejercicio 5
La función está escrita en otro orden. Encuentra sus ceros:
\[ f(x)=36-12x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-12x+36 \]
Reconocemos un cuadrado perfecto:
\[ x^2-12x+36=(x-6)^2 \]
Entonces:
\[ (x-6)^2=0 \]
\[ x=6 \]
La función tiene un cero doble en \(x=6\).
Ejercicio 6
La función está escrita en otro orden. Encuentra sus ceros:
\[ f(x)=4-9x^2 \]
Planteamos:
\[ 4-9x^2=0 \]
Escribimos como diferencia de cuadrados:
\[ 4-9x^2=2^2-(3x)^2=(2-3x)(2+3x) \]
Entonces:
\[ (2-3x)(2+3x)=0 \]
Aplicamos producto nulo:
\[ 2-3x=0 \qquad \text{o} \qquad 2+3x=0 \]
Entonces:
\[ x=\frac{2}{3} \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{2}{3} \]
Por lo tanto, los ceros son \(-\dfrac{2}{3}\) y \(\dfrac{2}{3}\).
Ejercicio 7
Encuentra los ceros de la función e indica si la parábola corta o toca el eje \(x\):
\[ f(x)=x^2+10x+25 \]
Planteamos:
\[ x^2+10x+25=0 \]
Reconocemos un cuadrado perfecto:
\[ x^2+10x+25=(x+5)^2 \]
Entonces:
\[ (x+5)^2=0 \]
\[ x+5=0 \]
\[ x=-5 \]
Como la raíz está repetida, la función tiene un cero doble.
Eso significa que la parábola toca al eje \(x\) en un solo punto:
\[ (-5,0) \]