Funcion cuadratica
19. Profundización: Técnicas adicionales para trabajar funciones cuadráticas
Profundización: técnicas extra para encontrar los ceros
Objetivo de aprendizaje
Profundizar en el cálculo de los ceros de una función cuadrática utilizando técnicas adicionales, como la completación de cuadrados y el cambio de variable.
Ya hemos visto varias maneras de encontrar los ceros de una función cuadrática. Sin embargo, en algunos casos conviene usar otras estrategias que permiten reorganizar la expresión de forma más conveniente.
En esta página trabajaremos dos técnicas adicionales:
- completación de cuadrados;
- cambio de variable.
Los ceros de una función cuadrática siempre se obtienen resolviendo:
\[ f(x)=0 \]
Lo que cambia es la técnica que usamos para transformar esa ecuación en una forma más fácil de resolver.
- Completación de cuadrados: cuando se quiere reorganizar la ecuación para obtener un cuadrado perfecto.
- Cambio de variable: cuando aparece repetida una misma expresión, por ejemplo \(x+2\), \(x-3\) o \(2x+1\).
Estas técnicas son una profundización. No siempre serán la forma más rápida, pero ayudan mucho a desarrollar visión algebraica.
Además, permiten decidir si una ecuación tiene o no soluciones reales sin depender siempre de la fórmula cuadrática.
Técnica 1: completación de cuadrados
La idea es transformar una ecuación cuadrática en una expresión del tipo:
\[ (x+a)^2=k \]
Luego se resuelve extrayendo raíz cuadrada.
Si tenemos:
\[ x^2+bx+c=0 \]
entonces se puede reescribir como:
\[ x^2+bx=-c \]
Luego se agrega a ambos lados:
\[ \left(\frac{b}{2}\right)^2 \]
para formar un cuadrado perfecto.
Ejemplo 1: completación de cuadrados con dos soluciones reales
Resolvamos:
\[ x^2-6x+5=0 \]
Llevamos el término independiente al otro lado:
\[ x^2-6x=-5 \]
Completamos cuadrado agregando 9, porque:
\[ \left(\frac{-6}{2}\right)^2=9 \]
\[ x^2-6x+9=-5+9 \]
\[ (x-3)^2=4 \]
Ahora extraemos raíz cuadrada:
\[ x-3=\pm 2 \]
Entonces:
\[ x=5 \qquad \text{y} \qquad x=1 \]
Por lo tanto, los ceros son \(1\) y \(5\).
Ejemplo 2: completación de cuadrados sin soluciones reales
Resolvamos:
\[ x^2+4x+8=0 \]
Llevamos el 8 al otro lado:
\[ x^2+4x=-8 \]
Completamos cuadrado agregando 4, porque:
\[ \left(\frac{4}{2}\right)^2=4 \]
\[ x^2+4x+4=-8+4 \]
\[ (x+2)^2=-4 \]
Pero un cuadrado no puede ser negativo en los números reales.
Por lo tanto, la ecuación no tiene soluciones reales.
Técnica 2: cambio de variable
Cuando una misma expresión se repite varias veces, conviene reemplazarla por una sola letra.
Por ejemplo, si aparece repetidamente \(x+2\), podemos hacer:
\[ u=x+2 \]
Así la ecuación se vuelve más simple de resolver.
Si una ecuación puede escribirse como:
\[ (x+a)^2+b(x+a)+c=0 \]
hacemos el cambio:
\[ u=x+a \]
Entonces queda:
\[ u^2+bu+c=0 \]
Se resuelve en \(u\) y luego se vuelve a la variable \(x\).
Ejemplo 3: cambio de variable simple
Resolvamos:
\[ (x+2)^2+(x+2)-2=0 \]
Como la expresión \(x+2\) se repite, hacemos:
\[ u=x+2 \]
Entonces la ecuación queda:
\[ u^2+u-2=0 \]
Factorizamos:
\[ (u+2)(u-1)=0 \]
Entonces:
\[ u=-2 \qquad \text{ó} \qquad u=1 \]
Volvemos a \(x\):
Si \(u=-2\), entonces:
\[ x+2=-2 \Rightarrow x=-4 \]
Si \(u=1\), entonces:
\[ x+2=1 \Rightarrow x=-1 \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x=-4 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Ejemplo 4: cambio de variable con una expresión lineal distinta
Resolvamos:
\[ (2x+1)^2-(2x+1)-6=0 \]
Como se repite la expresión \(2x+1\), hacemos:
\[ u=2x+1 \]
Entonces queda:
\[ u^2-u-6=0 \]
Factorizamos:
\[ (u-3)(u+2)=0 \]
Entonces:
\[ u=3 \qquad \text{ó} \qquad u=-2 \]
Volvemos a \(x\):
Si \(u=3\):
\[ 2x+1=3 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1 \]
Si \(u=-2\):
\[ 2x+1=-2 \Rightarrow 2x=-3 \Rightarrow x=-\frac{3}{2} \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x=1 \qquad \text{y} \qquad x=-\frac{3}{2} \]
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve por completación de cuadrados:
\[ x^2-8x+12=0 \]
Llevamos el 12 al otro lado:
\[ x^2-8x=-12 \]
Completamos cuadrado agregando 16:
\[ x^2-8x+16=-12+16 \]
\[ (x-4)^2=4 \]
Extraemos raíz:
\[ x-4=\pm 2 \]
Entonces:
\[ x=6 \qquad \text{y} \qquad x=2 \]
Ejercicio 2
Resuelve por completación de cuadrados:
\[ x^2+6x+13=0 \]
Llevamos el 13 al otro lado:
\[ x^2+6x=-13 \]
Completamos cuadrado agregando 9:
\[ x^2+6x+9=-13+9 \]
\[ (x+3)^2=-4 \]
Como un cuadrado no puede ser negativo en \(\mathbb{R}\), la ecuación no tiene soluciones reales.
Ejercicio 3
Resuelve por completación de cuadrados:
\[ x^2-2x-8=0 \]
Llevamos el \(-8\) al otro lado:
\[ x^2-2x=8 \]
Completamos cuadrado agregando 1:
\[ x^2-2x+1=8+1 \]
\[ (x-1)^2=9 \]
Extraemos raíz:
\[ x-1=\pm 3 \]
Entonces:
\[ x=4 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Ejercicio 4
Resuelve usando cambio de variable:
\[ (x-3)^2+4(x-3)=0 \]
Hacemos:
\[ u=x-3 \]
Entonces queda:
\[ u^2+4u=0 \]
Factorizamos:
\[ u(u+4)=0 \]
Entonces:
\[ u=0 \qquad \text{ó} \qquad u=-4 \]
Volvemos a \(x\):
Si \(u=0\):
\[ x-3=0 \Rightarrow x=3 \]
Si \(u=-4\):
\[ x-3=-4 \Rightarrow x=-1 \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Ejercicio 5
Resuelve usando cambio de variable:
\[ (x+1)^2-3(x+1)-4=0 \]
Hacemos:
\[ u=x+1 \]
Entonces la ecuación queda:
\[ u^2-3u-4=0 \]
Factorizamos:
\[ (u-4)(u+1)=0 \]
Entonces:
\[ u=4 \qquad \text{ó} \qquad u=-1 \]
Volvemos a \(x\):
Si \(u=4\):
\[ x+1=4 \Rightarrow x=3 \]
Si \(u=-1\):
\[ x+1=-1 \Rightarrow x=-2 \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x=3 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Ejercicio 6
Resuelve usando cambio de variable:
\[ (2x-1)^2+5(2x-1)=0 \]
Hacemos:
\[ u=2x-1 \]
Entonces queda:
\[ u^2+5u=0 \]
Factorizamos:
\[ u(u+5)=0 \]
Entonces:
\[ u=0 \qquad \text{ó} \qquad u=-5 \]
Volvemos a \(x\):
Si \(u=0\):
\[ 2x-1=0 \Rightarrow 2x=1 \Rightarrow x=\frac12 \]
Si \(u=-5\):
\[ 2x-1=-5 \Rightarrow 2x=-4 \Rightarrow x=-2 \]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[ x=\frac12 \qquad \text{y} \qquad x=-2 \]
Ejercicio 7
Indica qué técnica conviene usar y luego resuelve:
\[ x^2+10x+21=0 \]
Aquí conviene usar completación de cuadrados, porque la ecuación está en forma general simple.
\[ x^2+10x=-21 \]
Completamos cuadrado agregando 25:
\[ x^2+10x+25=-21+25 \]
\[ (x+5)^2=4 \]
Extraemos raíz:
\[ x+5=\pm 2 \]
Entonces:
\[ x=-3 \qquad \text{y} \qquad x=-7 \]