Funcion cuadratica
13. Ceros de una función cuadrática por fórmula cuadrática
Objetivo de aprendizaje
Determinar los ceros de una función cuadrática usando la fórmula cuadrática, comprender de dónde proviene esta fórmula y relacionar sus resultados con la gráfica de la parábola.
La fórmula cuadrática es un método general para resolver ecuaciones de segundo grado de la forma
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq 0 \]
Es especialmente útil cuando la factorización no resulta evidente o cuando las soluciones no son enteras.
Si
\[ ax^2+bx+c=0,\qquad a\neq 0 \]
entonces sus soluciones están dadas por:
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
La expresión
\[ \Delta=b^2-4ac \]
se llama discriminante.
- Si \(\Delta>0\), hay dos soluciones reales distintas.
- Si \(\Delta=0\), hay una solución real doble.
- Si \(\Delta<0\), no hay soluciones reales.
Al reemplazar en la fórmula, es muy importante usar paréntesis en \(a\), \(b\) y \(c\), sobre todo cuando alguno es negativo.
Por ejemplo, si \(b=-8\), entonces:
\[ -b=-(-8)=8 \]
Ese signo cambia correctamente solo si se respetan los paréntesis.
Desarrollo conceptual
La fórmula cuadrática se obtiene a partir de la ecuación general
\[ ax^2+bx+c=0 \]
aplicando una técnica llamada completación de cuadrados.
Partimos de:
\[ ax^2+bx+c=0 \]
Dividimos todo por \(a\):
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \]
Llevamos el término constante al otro lado:
\[ x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a} \]
Completamos cuadrado agregando \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\) a ambos lados:
\[ x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2 \]
Entonces:
\[ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2} \]
Aplicamos raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
Finalmente, despejamos \(x\):
\[ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]
- Escribe la ecuación en la forma \(ax^2+bx+c=0\).
- Identifica correctamente \(a\), \(b\) y \(c\).
- Calcula el discriminante \(\Delta=b^2-4ac\).
- Reemplaza en la fórmula cuadrática.
- Simplifica el resultado.
- Interpreta si hay dos ceros, un cero doble o ningún cero real.
Ejemplo 1: dos soluciones reales distintas
Hallemos los ceros de la función:
\[ f(x)=2x^2-8x+5 \]
Planteamos:
\[ 2x^2-8x+5=0 \]
Identificamos:
- \(a=2\)
- \(b=-8\)
- \(c=5\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4(2)(5) \]
\[ \Delta=64-40=24 \]
Como \(\Delta>0\), habrá dos soluciones reales distintas.
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{24}}{2(2)} \]
\[ x=\frac{8\pm\sqrt{24}}{4} \]
\[ x=\frac{8\pm 2\sqrt{6}}{4} \]
\[ x=\frac{4\pm \sqrt{6}}{2} \]
Por lo tanto, los ceros de la función son:
\[ x=\frac{4-\sqrt{6}}{2} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{4+\sqrt{6}}{2} \]
Ejemplo 2: una solución real doble
Hallemos los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2-4x+4 \]
Planteamos:
\[ x^2-4x+4=0 \]
Aquí:
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
- \(c=4\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-4)^2-4(1)(4)=16-16=0 \]
Como \(\Delta=0\), habrá una solución real doble.
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{0}}{2(1)} \]
\[ x=\frac{4}{2}=2 \]
Por lo tanto, la función tiene un cero doble en:
\[ x=2 \]
Ejemplo 3: sin soluciones reales
Hallemos los ceros de la función:
\[ f(x)=x^2+2x+3 \]
Planteamos:
\[ x^2+2x+3=0 \]
Aquí:
- \(a=1\)
- \(b=2\)
- \(c=3\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=2^2-4(1)(3)=4-12=-8 \]
Como \(\Delta<0\), la ecuación no tiene soluciones reales.
Por lo tanto, la función no tiene ceros reales.
En la gráfica, esto se ve porque la parábola no corta al eje \(x\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Halla los ceros de la función usando fórmula cuadrática:
\[ f(x)=x^2-6x+2 \]
Planteamos:
\[ x^2-6x+2=0 \]
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=-6\)
- \(c=2\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-6)^2-4(1)(2)=36-8=28 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-6)\pm\sqrt{28}}{2(1)} \]
\[ x=\frac{6\pm 2\sqrt{7}}{2} \]
\[ x=3\pm \sqrt{7} \]
Por lo tanto, los ceros son:
\[ x=3-\sqrt{7} \qquad \text{y} \qquad x=3+\sqrt{7} \]
Ejercicio 2
Halla los ceros de la función usando fórmula cuadrática:
\[ f(x)=3x^2+2x-1 \]
Planteamos:
\[ 3x^2+2x-1=0 \]
Identificamos:
- \(a=3\)
- \(b=2\)
- \(c=-1\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=2^2-4(3)(-1)=4+12=16 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2(3)} \]
\[ x=\frac{-2\pm 4}{6} \]
Entonces:
\[ x=\frac{2}{6}=\frac13 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{-6}{6}=-1 \]
Por lo tanto, los ceros son:
\[ x=\frac13 \qquad \text{y} \qquad x=-1 \]
Ejercicio 3
Halla los ceros de la función usando fórmula cuadrática:
\[ f(x)=2x^2+4x+1 \]
Planteamos:
\[ 2x^2+4x+1=0 \]
Identificamos:
- \(a=2\)
- \(b=4\)
- \(c=1\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=4^2-4(2)(1)=16-8=8 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-4\pm\sqrt{8}}{4} \]
\[ x=\frac{-4\pm 2\sqrt{2}}{4} \]
\[ x=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{2} \]
Por lo tanto, los ceros son:
\[ x=\frac{-2-\sqrt{2}}{2} \qquad \text{y} \qquad x=\frac{-2+\sqrt{2}}{2} \]
Ejercicio 4
Determina cuántas soluciones reales tiene la ecuación y luego resuélvela:
\[ x^2-8x+16=0 \]
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=-8\)
- \(c=16\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-8)^2-4(1)(16)=64-64=0 \]
Como \(\Delta=0\), la ecuación tiene una solución real doble.
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-8)\pm\sqrt{0}}{2(1)} \]
\[ x=\frac{8}{2}=4 \]
Por lo tanto, la solución es:
\[ x=4 \]
Se trata de un cero doble.
Ejercicio 5
Determina si la ecuación tiene soluciones reales:
\[ x^2+4x+8=0 \]
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=4\)
- \(c=8\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=4^2-4(1)(8)=16-32=-16 \]
Como \(\Delta<0\), la ecuación no tiene soluciones reales.
Por lo tanto, la función no tiene ceros reales.
Ejercicio 6
La función está escrita en otro orden. Halla sus ceros usando fórmula cuadrática:
\[ f(x)=5-4x+x^2 \]
Reordenamos mentalmente:
\[ f(x)=x^2-4x+5 \]
Planteamos:
\[ x^2-4x+5=0 \]
Identificamos:
- \(a=1\)
- \(b=-4\)
- \(c=5\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-4)^2-4(1)(5)=16-20=-4 \]
Como \(\Delta<0\), no tiene soluciones reales.
Por lo tanto, la función no tiene ceros reales.
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación y luego interpreta el resultado en la gráfica:
\[ 2x^2-5x-3=0 \]
Identificamos:
- \(a=2\)
- \(b=-5\)
- \(c=-3\)
Calculamos el discriminante:
\[ \Delta=(-5)^2-4(2)(-3)=25+24=49 \]
Como \(\Delta>0\), habrá dos soluciones reales distintas.
Aplicamos la fórmula:
\[ x=\frac{-(-5)\pm\sqrt{49}}{2(2)} \]
\[ x=\frac{5\pm 7}{4} \]
Entonces:
\[ x=\frac{12}{4}=3 \qquad \text{y} \qquad x=\frac{-2}{4}=-\frac12 \]
Por lo tanto, la parábola corta al eje \(x\) en los puntos:
\[ \left(-\frac12,0\right) \qquad \text{y} \qquad (3,0) \]