Estadistica
6. prepara la prueba nivel 1
Modelo binomial: ejercicios directos
Objetivos
- Identificar situaciones que se modelan con una distribución binomial.
- Aplicar la fórmula \(P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\).
- Calcular probabilidades de éxitos exactos, al menos y a lo más.
- Interpretar correctamente el significado de \(n\), \(p\), \(k\) y \(X\).
¿Cuándo se usa el modelo binomial?
Se usa cuando un experimento cumple estas condiciones:
- hay un número fijo de ensayos \(n\),
- cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso,
- la probabilidad de éxito es constante y vale \(p\),
- los ensayos se consideran independientes.
Fórmula del modelo binomial
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces la probabilidad de obtener exactamente \(k\) éxitos es:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
donde \(\binom{n}{k}\) representa el número de formas de elegir \(k\) éxitos entre \(n\) ensayos.
Estrategia general
- Identifica el experimento, el éxito y el fracaso.
- Determina \(n\), \(p\) y el valor pedido de \(k\).
- Escribe la fórmula binomial correspondiente.
- Reemplaza los datos con cuidado.
- Si piden “al menos” o “a lo más”, suma las probabilidades necesarias o usa el complemento.
Ejemplo resuelto
Se lanza una moneda equilibrada \(4\) veces. Hallar la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras.
Aquí:
- \(n=4\)
- \(p=0,5\)
- \(k=3\)
Aplicamos la fórmula:
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0,5)^3(0,5)^1 \]
\[ P(X=3)=4\cdot(0,5)^4=4\cdot 0,0625=0,25 \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente \(3\) caras es \(0,25\).
Ejercicios
Ejercicio 1
Se lanza una moneda equilibrada \(6\) veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(4\) caras?
Sea \(X\) el número de caras obtenidas. Entonces \(X\sim B(6,0,5)\).
\[ P(X=4)=\binom{6}{4}(0,5)^4(0,5)^2 \]
\[ P(X=4)=15(0,5)^6=15\cdot \frac{1}{64}=\frac{15}{64} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=4)=\frac{15}{64}\approx 0,234375\).
Ejercicio 2
Se lanza un dado \(8\) veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente \(2\) seises?
Sea \(X\) el número de seises. Entonces \(X\sim B(8,\tfrac{1}{6})\).
\[ P(X=2)=\binom{8}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^6 \]
\[ P(X=2)=28\cdot \frac{1}{36}\cdot \frac{15625}{46656} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=2)\approx 0,260476\).
Ejercicio 3
En una fábrica, la probabilidad de que una ampolleta salga defectuosa es \(0,03\). Si se revisan \(10\) ampolletas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(1\) sea defectuosa?
Sea \(X\) el número de ampolletas defectuosas. Entonces \(X\sim B(10,0,03)\).
\[ P(X=1)=\binom{10}{1}(0,03)^1(0,97)^9 \]
\[ P(X=1)=10\cdot 0,03\cdot (0,97)^9 \]
\[ P(X=1)\approx 0,228044 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=1)\approx 0,228044\).
Ejercicio 4
Un estudiante responde al azar \(5\) preguntas de alternativa con \(4\) opciones cada una, de las cuales solo una es correcta. ¿Cuál es la probabilidad de acertar exactamente \(2\)?
La probabilidad de acertar una pregunta es \(p=\tfrac{1}{4}\). Entonces \(X\sim B(5,\tfrac{1}{4})\).
\[ P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^3 \]
\[ P(X=2)=10\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{27}{64}=\frac{270}{1024} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=2)=\frac{135}{512}\approx 0,263672\).
Ejercicio 5
La probabilidad de que una persona llegue atrasada al trabajo en un día cualquiera es \(0,2\). En \(7\) días laborales, ¿cuál es la probabilidad de que llegue atrasada exactamente \(3\) días?
Sea \(X\) el número de días con atraso. Entonces \(X\sim B(7,0,2)\).
\[ P(X=3)=\binom{7}{3}(0,2)^3(0,8)^4 \]
\[ P(X=3)=35\cdot 0,008\cdot 0,4096 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=3)\approx 0,114688\).
Ejercicio 6
Un arquero tiene probabilidad \(0,75\) de atajar un penal. Si enfrenta \(4\) penales, ¿cuál es la probabilidad de atajar exactamente \(3\)?
Sea \(X\) el número de penales atajados. Entonces \(X\sim B(4,0,75)\).
\[ P(X=3)=\binom{4}{3}(0,75)^3(0,25)^1 \]
\[ P(X=3)=4\cdot 0,421875\cdot 0,25 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=3)=0,421875\).
Ejercicio 7
La probabilidad de que un cliente compre un producto ofrecido es \(0,4\). Si se atiende a \(6\) clientes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(2\) compren?
Sea \(X\) el número de clientes que compran. Entonces \(X\sim B(6,0,4)\).
\[ P(X=2)=\binom{6}{2}(0,4)^2(0,6)^4 \]
\[ P(X=2)=15\cdot 0,16\cdot 0,1296 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=2)=0,31104\).
Ejercicio 8
En una prueba de verdadero o falso, cada pregunta tiene probabilidad \(0,5\) de ser acertada al azar. Si un estudiante contesta al azar \(10\) preguntas, ¿cuál es la probabilidad de acertar exactamente \(7\)?
Sea \(X\) el número de respuestas correctas. Entonces \(X\sim B(10,0,5)\).
\[ P(X=7)=\binom{10}{7}(0,5)^{10} \]
\[ P(X=7)=120\cdot \frac{1}{1024} \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=7)=\frac{15}{128}\approx 0,117188\).
Ejercicio 9
La probabilidad de que una semilla germine es \(0,8\). Si se plantan \(5\) semillas, ¿cuál es la probabilidad de que germinen exactamente \(4\)?
Sea \(X\) el número de semillas que germinan. Entonces \(X\sim B(5,0,8)\).
\[ P(X=4)=\binom{5}{4}(0,8)^4(0,2) \]
\[ P(X=4)=5\cdot 0,4096\cdot 0,2 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=4)=0,4096\).
Ejercicio 10
Un jugador de básquetbol encesta tiros libres con probabilidad \(0,7\). Si lanza \(9\) tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que enceste exactamente \(6\)?
Sea \(X\) el número de tiros encestados. Entonces \(X\sim B(9,0,7)\).
\[ P(X=6)=\binom{9}{6}(0,7)^6(0,3)^3 \]
\[ P(X=6)=84\cdot 0,117649\cdot 0,027 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=6)\approx 0,266828\).
Ejercicio 11
La probabilidad de que una llamada sea atendida antes de \(10\) segundos es \(0,65\). Si se observan \(12\) llamadas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(8\) sean atendidas antes de \(10\) segundos?
Sea \(X\) el número de llamadas atendidas antes de \(10\) segundos. Entonces \(X\sim B(12,0,65)\).
\[ P(X=8)=\binom{12}{8}(0,65)^8(0,35)^4 \]
\[ P(X=8)=495\cdot (0,65)^8\cdot (0,35)^4 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=8)\approx 0,237477\).
Ejercicio 12
En cierto curso, la probabilidad de que un estudiante apruebe un control es \(0,85\). Si se eligen \(6\) estudiantes al azar, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(5\) aprueben?
Sea \(X\) el número de estudiantes que aprueban. Entonces \(X\sim B(6,0,85)\).
\[ P(X=5)=\binom{6}{5}(0,85)^5(0,15) \]
\[ P(X=5)=6\cdot (0,85)^5\cdot 0,15 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=5)\approx 0,399326\).
Ejercicio 13
Un sistema informático detecta correctamente un acceso sospechoso con probabilidad \(0,9\). Si se producen \(8\) intentos sospechosos, ¿cuál es la probabilidad de detectar exactamente \(7\)?
Sea \(X\) el número de detecciones correctas. Entonces \(X\sim B(8,0,9)\).
\[ P(X=7)=\binom{8}{7}(0,9)^7(0,1) \]
\[ P(X=7)=8\cdot 0,4782969\cdot 0,1 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=7)\approx 0,382638\).
Ejercicio 14
La probabilidad de que una persona vote en una elección local es \(0,6\). Si se seleccionan \(10\) personas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente \(4\) hayan votado?
Sea \(X\) el número de personas que votaron. Entonces \(X\sim B(10,0,6)\).
\[ P(X=4)=\binom{10}{4}(0,6)^4(0,4)^6 \]
\[ P(X=4)=210\cdot 0,1296\cdot 0,004096 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=4)\approx 0,111477\).
Ejercicio 15
Un futbolista convierte un penal con probabilidad \(0,82\). Si patea \(5\) penales, ¿cuál es la probabilidad de convertir al menos \(4\)?
Sea \(X\) el número de penales convertidos. Entonces \(X\sim B(5,0,82)\).
“Al menos \(4\)” significa:
\[ P(X\ge 4)=P(X=4)+P(X=5) \]
\[ P(X=4)=\binom{5}{4}(0,82)^4(0,18)=5\cdot (0,82)^4\cdot 0,18 \]
\[ P(X=5)=(0,82)^5 \]
\[ P(X\ge 4)\approx 0,408542+0,370740 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\ge 4)\approx 0,779282\).
Ejercicio 16
La probabilidad de que un producto sea vendido en una tienda durante un día es \(0,25\). En \(8\) días independientes, ¿cuál es la probabilidad de que se venda exactamente \(3\) días?
Sea \(X\) el número de días en que se vende el producto. Entonces \(X\sim B(8,0,25)\).
\[ P(X=3)=\binom{8}{3}(0,25)^3(0,75)^5 \]
\[ P(X=3)=56\cdot 0,015625\cdot 0,2373046875 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=3)\approx 0,207642\).
Ejercicio 17
Se sabe que la probabilidad de que una persona prefiera transporte público es \(0,55\). Si se encuesta a \(9\) personas, ¿cuál es la probabilidad de que a lo más \(2\) prefieran transporte público?
Sea \(X\) el número de personas que prefieren transporte público. Entonces \(X\sim B(9,0,55)\).
“A lo más \(2\)” significa:
\[ P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \]
\[ P(X=0)=(0,45)^9\approx 0,000757 \]
\[ P(X=1)=\binom{9}{1}(0,55)(0,45)^8\approx 0,008332 \]
\[ P(X=2)=\binom{9}{2}(0,55)^2(0,45)^7\approx 0,040742 \]
\[ P(X\le 2)\approx 0,000757+0,008332+0,040742 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\le 2)\approx 0,049831\).
Ejercicio 18
La probabilidad de que un correo electrónico sea abierto por el destinatario es \(0,35\). Si se envían \(7\) correos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos \(1\) sea abierto?
Sea \(X\) el número de correos abiertos. Entonces \(X\sim B(7,0,35)\).
Usamos el complemento:
\[ P(X\ge 1)=1-P(X=0) \]
\[ P(X=0)=(0,65)^7 \]
\[ P(X\ge 1)=1-(0,65)^7 \]
\[ P(X\ge 1)\approx 1-0,049022 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\ge 1)\approx 0,950978\).
Ejercicio 19
Un jugador de videojuegos gana una partida con probabilidad \(0,48\). Si juega \(11\) partidas, ¿cuál es la probabilidad de que gane exactamente \(5\)?
Sea \(X\) el número de partidas ganadas. Entonces \(X\sim B(11,0,48)\).
\[ P(X=5)=\binom{11}{5}(0,48)^5(0,52)^6 \]
\[ P(X=5)=462\cdot (0,48)^5\cdot (0,52)^6 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X=5)\approx 0,235157\).
Ejercicio 20
La probabilidad de que una batería salga buena es \(0,92\). Si se eligen \(15\) baterías, ¿cuál es la probabilidad de que salgan al menos \(13\) buenas?
Sea \(X\) el número de baterías buenas. Entonces \(X\sim B(15,0,92)\).
“Al menos \(13\)” significa:
\[ P(X\ge 13)=P(X=13)+P(X=14)+P(X=15) \]
\[ P(X=13)=\binom{15}{13}(0,92)^{13}(0,08)^2 \]
\[ P(X=14)=\binom{15}{14}(0,92)^{14}(0,08) \]
\[ P(X=15)=(0,92)^{15} \]
\[ P(X\ge 13)\approx 0,256405+0,421966+0,286305 \]
Resultado: \(\displaystyle P(X\ge 13)\approx 0,964675\).