Libro de datos y modelos probabilisticos
7. Práctica guiada: modelo binomial nivel 2
Modelo binomial: ejercicios inversos
Objetivos
- Reconocer situaciones en que la fórmula binomial se usa en forma inversa.
- Determinar un dato faltante del modelo binomial a partir de una probabilidad conocida.
- Resolver ecuaciones sencillas asociadas a \(p\), \(n\) o a un caso particular.
- Relacionar el modelo binomial con procedimientos algebraicos.
¿Qué significa usar la fórmula en forma inversa?
En los ejercicios directos normalmente se conocen \(n\), \(p\) y \(k\), y se calcula una probabilidad.
En cambio, en los ejercicios inversos se conoce una probabilidad y se pide encontrar un dato faltante, usualmente la probabilidad de éxito \(p\).
Fórmula base
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
En estos ejercicios, esta fórmula se transforma en una ecuación que debemos resolver.
Estrategia general
- Identifica qué valor falta en el modelo.
- Escribe la probabilidad entregada usando la fórmula binomial.
- Reemplaza los datos conocidos.
- Resuelve la ecuación con orden.
- Comprueba si la solución encontrada tiene sentido como probabilidad, es decir, si está entre \(0\) y \(1\).
Atención con las soluciones
En algunos ejercicios inversos puede aparecer más de un valor posible para \(p\). Esto no es un error: ocurre porque distintas probabilidades de éxito pueden producir la misma probabilidad para un evento específico.
Si el enunciado entrega una condición adicional, como \(p<0{,}5\) o \(p>0{,}5\), se usa esa información para elegir la solución correcta.
Ejemplo resuelto
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0{,}2401\). Hallar \(p\).
Sabemos que si se obtienen los \(4\) éxitos, entonces:
\[ P(X=4)=p^4 \]
Como \(P(X=4)=0{,}2401\), se cumple:
\[ p^4=0{,}2401 \]
Observamos que:
\[ 0{,}7^4=0{,}2401 \]
Por lo tanto:
\[ p=0{,}7 \]
La probabilidad de éxito en cada ensayo es \(0{,}7\).
Ejercicios
Ejercicio 1
En un experimento binomial de \(4\) ensayos, la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0{,}2401\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Si se obtienen \(4\) éxitos en \(4\) ensayos, entonces:
\[ P(X=4)=p^4 \]
Por lo tanto:
\[ p^4=0{,}2401 \]
Observamos que:
\[ 0{,}7^4=0{,}2401 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}7\).
Ejercicio 2
En un experimento binomial de \(3\) ensayos, la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos es \(0{,}008\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Si se obtienen \(3\) éxitos en \(3\) ensayos:
\[ P(X=3)=p^3 \]
Entonces:
\[ p^3=0{,}008 \]
Como:
\[ 0{,}2^3=0{,}008 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}2\).
Ejercicio 3
En un experimento binomial de \(5\) ensayos, la probabilidad de no obtener ningún éxito es \(0{,}16807\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
No obtener ningún éxito significa \(X=0\). Entonces:
\[ P(X=0)=(1-p)^5 \]
Como \(P(X=0)=0{,}16807\), se cumple:
\[ (1-p)^5=0{,}16807 \]
Observamos que:
\[ 0{,}7^5=0{,}16807 \]
Entonces:
\[ 1-p=0{,}7 \]
\[ p=0{,}3 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}3\).
Ejercicio 4
Se sabe que en un modelo binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}5\). ¿Cuál o cuáles pueden ser los valores de \(p\)?
Usamos la fórmula:
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}p(1-p) \]
Como \(P(X=1)=0{,}5\), queda:
\[ 2p(1-p)=0{,}5 \]
\[ 2p-2p^2=0{,}5 \]
Multiplicamos por \(2\):
\[ 4p-4p^2=1 \]
Ordenamos:
\[ 4p^2-4p+1=0 \]
Factorizamos:
\[ (2p-1)^2=0 \]
Entonces:
\[ p=\frac{1}{2} \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}5\).
Ejercicio 5
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos es \(0{,}36\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Si se obtienen \(2\) éxitos en \(2\) ensayos:
\[ P(X=2)=p^2 \]
Entonces:
\[ p^2=0{,}36 \]
Al resolver:
\[ p=\sqrt{0{,}36}=0{,}6 \]
Se toma \(0{,}6\) porque \(p\) debe ser una probabilidad entre \(0\) y \(1\).
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}6\).
Ejercicio 6
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0{,}343\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si no se obtiene ningún éxito:
\[ P(X=0)=(1-p)^3 \]
Por lo tanto:
\[ (1-p)^3=0{,}343 \]
Como:
\[ 0{,}7^3=0{,}343 \]
Entonces:
\[ 1-p=0{,}7 \]
\[ p=0{,}3 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}3\).
Ejercicio 7
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos es \(0{,}729\). Determina la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Si se obtienen \(3\) éxitos en \(3\) ensayos:
\[ P(X=3)=p^3 \]
Entonces:
\[ p^3=0{,}729 \]
Como:
\[ 0{,}9^3=0{,}729 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}9\).
Ejercicio 8
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0{,}0625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si no se obtiene ningún éxito:
\[ P(X=0)=(1-p)^4 \]
Entonces:
\[ (1-p)^4=0{,}0625 \]
Como:
\[ 0{,}5^4=0{,}0625 \]
Se obtiene:
\[ 1-p=0{,}5 \]
\[ p=0{,}5 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}5\).
Ejercicio 9
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}48\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}p(1-p)=0{,}48 \]
\[ 2p(1-p)=0{,}48 \]
\[ 2p-2p^2=0{,}48 \]
Ordenamos:
\[ 2p^2-2p+0{,}48=0 \]
Multiplicamos por \(100\) y simplificamos:
\[ 25p^2-25p+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (5p-2)(5p-3)=0 \]
Entonces:
\[ p=\frac{2}{5}=0{,}4 \qquad \text{o} \qquad p=\frac{3}{5}=0{,}6 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}4\) o \(\displaystyle p=0{,}6\).
Ejercicio 10
En un experimento binomial con \(n=1\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}83\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si \(n=1\), solo hay un ensayo.
Por lo tanto:
\[ P(X=1)=p \]
Como \(P(X=1)=0{,}83\), se obtiene:
\[ p=0{,}83 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}83\).
Ejercicio 11
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos es \(0{,}432\). Si además se sabe que \(p<0{,}7\), determina la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Usamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}p^2(1-p) \]
Como \(P(X=2)=0{,}432\):
\[ 3p^2(1-p)=0{,}432 \]
Probamos con \(p=0{,}6\):
\[ 3(0{,}6)^2(1-0{,}6)=3\cdot 0{,}36\cdot 0{,}4 \]
\[ 3\cdot 0{,}36\cdot 0{,}4=0{,}432 \]
Además, \(0{,}6<0{,}7\), por lo que cumple la condición del enunciado.
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}6\).
Ejercicio 12
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}2916\). Si además se sabe que \(p<0{,}2\), determina \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}p(1-p)^3 \]
Como \(P(X=1)=0{,}2916\):
\[ 4p(1-p)^3=0{,}2916 \]
Probamos con \(p=0{,}1\):
\[ 4(0{,}1)(1-0{,}1)^3=4(0{,}1)(0{,}9)^3 \]
\[ 4(0{,}1)(0{,}729)=0{,}2916 \]
Además, \(0{,}1<0{,}2\), por lo que cumple la condición del enunciado.
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}1\).
Ejercicio 13
En un experimento binomial con \(n=5\), la probabilidad de obtener exactamente \(5\) éxitos es \(0{,}32768\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si se obtienen \(5\) éxitos en \(5\) ensayos:
\[ P(X=5)=p^5 \]
Entonces:
\[ p^5=0{,}32768 \]
Reconocemos que:
\[ 0{,}8^5=0{,}32768 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}8\).
Ejercicio 14
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0{,}1296\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si \(X=0\), entonces no ocurre ningún éxito:
\[ P(X=0)=(1-p)^4 \]
Por lo tanto:
\[ (1-p)^4=0{,}1296 \]
Como:
\[ 0{,}6^4=0{,}1296 \]
Entonces:
\[ 1-p=0{,}6 \]
\[ p=0{,}4 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}4\).
Ejercicio 15
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}42\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}p(1-p)=0{,}42 \]
\[ 2p(1-p)=0{,}42 \]
\[ 2p-2p^2=0{,}42 \]
Ordenamos:
\[ 2p^2-2p+0{,}42=0 \]
Multiplicamos por \(100\) y simplificamos:
\[ 100p^2-100p+21=0 \]
Aplicamos fórmula general:
\[ p=\frac{100\pm \sqrt{10000-8400}}{200} \]
\[ p=\frac{100\pm 40}{200} \]
Entonces:
\[ p=0{,}3 \qquad \text{o} \qquad p=0{,}7 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}3\) o \(\displaystyle p=0{,}7\).
Ejercicio 16
En un experimento binomial con \(n=6\), la probabilidad de obtener exactamente \(6\) éxitos es \(0{,}015625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si se obtienen \(6\) éxitos en \(6\) ensayos:
\[ P(X=6)=p^6 \]
Entonces:
\[ p^6=0{,}015625 \]
Como:
\[ 0{,}5^6=0{,}015625 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}5\).
Ejercicio 17
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}384\). Si además se sabe que \(p<0{,}3\), determina la probabilidad de éxito \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}p(1-p)^2 \]
Como \(P(X=1)=0{,}384\):
\[ 3p(1-p)^2=0{,}384 \]
Probamos con \(p=0{,}2\):
\[ 3(0{,}2)(1-0{,}2)^2=3(0{,}2)(0{,}8)^2 \]
\[ 3(0{,}2)(0{,}64)=0{,}384 \]
Además, \(0{,}2<0{,}3\), por lo que cumple la condición del enunciado.
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}2\).
Ejercicio 18
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0{,}0625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si se obtienen \(4\) éxitos en \(4\) ensayos:
\[ P(X=4)=p^4 \]
Entonces:
\[ p^4=0{,}0625 \]
Como:
\[ 0{,}5^4=0{,}0625 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}5\).
Ejercicio 19
En un experimento binomial con \(n=5\), la probabilidad de no obtener éxitos es \(0{,}59049\). Determina la probabilidad de éxito.
No obtener éxitos significa \(X=0\). Entonces:
\[ P(X=0)=(1-p)^5 \]
Como \(P(X=0)=0{,}59049\):
\[ (1-p)^5=0{,}59049 \]
Como:
\[ 0{,}9^5=0{,}59049 \]
Entonces:
\[ 1-p=0{,}9 \]
\[ p=0{,}1 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}1\).
Ejercicio 20
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0{,}32\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}p(1-p)=0{,}32 \]
\[ 2p(1-p)=0{,}32 \]
\[ 2p-2p^2=0{,}32 \]
Ordenamos:
\[ 2p^2-2p+0{,}32=0 \]
Multiplicamos por \(100\) y simplificamos:
\[ 25p^2-25p+4=0 \]
Factorizamos:
\[ (5p-1)(5p-4)=0 \]
Entonces:
\[ p=0{,}2 \qquad \text{o} \qquad p=0{,}8 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0{,}2\) o \(\displaystyle p=0{,}8\).
Para recordar
- En los ejercicios inversos se parte desde una probabilidad conocida y se busca un dato faltante.
- Cuando el evento es \(X=n\), suele aparecer una ecuación del tipo \(p^n=a\).
- Cuando el evento es \(X=0\), suele aparecer una ecuación del tipo \((1-p)^n=a\).
- Cuando el evento es intermedio, como \(X=1\) o \(X=2\), puede haber más de un valor posible para \(p\).
- Siempre verifica que la solución esté entre \(0\) y \(1\), porque \(p\) representa una probabilidad.