Estadistica
7. prepara la prueba nivel 2
Modelo binomial: ejercicios inversos
Objetivos
- Reconocer situaciones en que la fórmula binomial se usa en forma inversa.
- Determinar un dato faltante del modelo binomial a partir de una probabilidad conocida.
- Resolver ecuaciones sencillas asociadas a \(p\), \(n\) o a un caso particular.
- Relacionar el modelo binomial con procedimientos algebraicos.
¿Qué significa usar la fórmula en forma inversa?
En los ejercicios directos normalmente se conocen \(n\), \(p\) y \(k\), y se calcula una probabilidad.
En cambio, en ejercicios inversos se conoce una probabilidad y se pide encontrar un dato faltante, usualmente la probabilidad de éxito \(p\).
Fórmula base
Si \(X\sim B(n,p)\), entonces:
\[ P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \]
En estos ejercicios, esta fórmula se transforma en una ecuación que debemos resolver.
Estrategia general
- Identifica qué valor falta en el modelo.
- Escribe la probabilidad entregada usando la fórmula binomial.
- Reemplaza los datos conocidos.
- Resuelve la ecuación con orden.
- Comprueba si la solución encontrada tiene sentido como probabilidad.
Ejemplo resuelto
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0,2401\). Hallar \(p\).
Sabemos que:
\[ P(X=4)=p^4 \]
Entonces:
\[ p^4=0,2401 \]
Como \(0,7^4=0,2401\), se obtiene:
\[ p=0,7 \]
Por lo tanto, la probabilidad de éxito en cada ensayo es \(0,7\).
Ejercicios
Ejercicio 1
En un experimento binomial de \(4\) ensayos, la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0,2401\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=4)=p^4\), se cumple:
\[ p^4=0,2401 \]
Observamos que:
\[ 0,7^4=0,2401 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,7\).
Ejercicio 2
En un experimento binomial de \(3\) ensayos, la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos es \(0,008\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=3)=p^3\), se tiene:
\[ p^3=0,008 \]
Entonces:
\[ p=0,2 \]
porque \(0,2^3=0,008\).
Resultado: \(\displaystyle p=0,2\).
Ejercicio 3
En un experimento binomial de \(5\) ensayos, la probabilidad de no obtener ningún éxito es \(0,16807\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=0)=(1-p)^5\), se cumple:
\[ (1-p)^5=0,16807 \]
Observamos que:
\[ 0,7^5=0,16807 \]
Entonces:
\[ 1-p=0,7 \]
\[ p=0,3 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,3\).
Ejercicio 4
Se sabe que en un modelo binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,5\). ¿Cuál o cuáles pueden ser los valores de \(p\)?
Usamos:
\[ P(X=1)=\binom{2}{1}p(1-p)=0,5 \]
\[ 2p(1-p)=0,5 \]
\[ 2p-2p^2=0,5 \]
\[ 4p^2-4p+1=0 \]
Esta ecuación se factoriza como:
\[ (2p-1)^2=0 \]
\[ p=\frac{1}{2} \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 5
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos es \(0,36\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito en cada ensayo?
Como \(P(X=2)=p^2\), se tiene:
\[ p^2=0,36 \]
Como \(p\) debe ser una probabilidad entre \(0\) y \(1\), tomamos:
\[ p=0,6 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,6\).
Ejercicio 6
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0,343\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Usamos:
\[ P(X=0)=(1-p)^3=0,343 \]
Como:
\[ 0,7^3=0,343 \]
entonces:
\[ 1-p=0,7 \]
\[ p=0,3 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,3\).
Ejercicio 7
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(3\) éxitos es \(0,729\). Determina la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Como:
\[ P(X=3)=p^3=0,729 \]
y \(0,9^3=0,729\), se obtiene:
\[ p=0,9 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,9\).
Ejercicio 8
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0,0625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Usamos:
\[ (1-p)^4=0,0625 \]
Como:
\[ 0,5^4=0,0625 \]
entonces:
\[ 1-p=0,5 \]
\[ p=0,5 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 9
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,48\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ 2p(1-p)=0,48 \]
\[ 2p-2p^2=0,48 \]
\[ 2p^2-2p+0,48=0 \]
Multiplicamos por \(100\) y simplificamos:
\[ 25p^2-25p+6=0 \]
Factorizamos:
\[ (5p-2)(5p-3)=0 \]
Entonces:
\[ p=\frac{2}{5}=0,4 \qquad \text{o} \qquad p=\frac{3}{5}=0,6 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,4\) o \(\displaystyle p=0,6\).
Ejercicio 10
En un experimento binomial con \(n=1\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,83\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Si \(n=1\), entonces:
\[ P(X=1)=p \]
Por lo tanto:
\[ p=0,83 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,83\).
Ejercicio 11
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(2\) éxitos es \(0,432\). Determina la probabilidad de éxito en cada ensayo.
Usamos la fórmula:
\[ P(X=2)=\binom{3}{2}p^2(1-p)=0,432 \]
\[ 3p^2(1-p)=0,432 \]
Probamos con \(p=0,6\):
\[ 3(0,6)^2(0,4)=3\cdot 0,36\cdot 0,4=0,432 \]
Por lo tanto, el valor pedido es:
\(\displaystyle p=0,6\).
Ejercicio 12
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,2916\). Si la probabilidad de fracaso es \(1-p\), determina \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}p(1-p)^3=0,2916 \]
\[ 4p(1-p)^3=0,2916 \]
Probamos con \(p=0,1\):
\[ 4(0,1)(0,9)^3=0,4\cdot 0,729=0,2916 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,1\).
Ejercicio 13
En un experimento binomial con \(n=5\), la probabilidad de obtener exactamente \(5\) éxitos es \(0,32768\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Como:
\[ P(X=5)=p^5=0,32768 \]
reconocemos que:
\[ 0,8^5=0,32768 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,8\).
Ejercicio 14
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(0\) éxitos es \(0,1296\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Usamos:
\[ (1-p)^4=0,1296 \]
Como:
\[ 0,6^4=0,1296 \]
entonces:
\[ 1-p=0,6 \]
\[ p=0,4 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,4\).
Ejercicio 15
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,42\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ 2p(1-p)=0,42 \]
\[ 2p-2p^2=0,42 \]
\[ 2p^2-2p+0,42=0 \]
Multiplicando por \(100\) y simplificando:
\[ 100p^2-100p+21=0 \]
Aplicamos fórmula general:
\[ p=\frac{100\pm \sqrt{10000-8400}}{200} =\frac{100\pm 40}{200} \]
\[ p=0,3 \qquad \text{o} \qquad p=0,7 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,3\) o \(\displaystyle p=0,7\).
Ejercicio 16
En un experimento binomial con \(n=6\), la probabilidad de obtener exactamente \(6\) éxitos es \(0,015625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Como:
\[ p^6=0,015625 \]
y \(0,5^6=0,015625\), resulta:
\(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 17
En un experimento binomial con \(n=3\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,384\). Determina la probabilidad de éxito \(p\).
Planteamos:
\[ P(X=1)=\binom{3}{1}p(1-p)^2=0,384 \]
\[ 3p(1-p)^2=0,384 \]
Probamos con \(p=0,2\):
\[ 3(0,2)(0,8)^2=0,6\cdot 0,64=0,384 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,2\).
Ejercicio 18
En un experimento binomial con \(n=4\), la probabilidad de obtener exactamente \(4\) éxitos es \(0,0625\). ¿Cuál es la probabilidad de éxito?
Como:
\[ p^4=0,0625 \]
y \(0,5^4=0,0625\), se tiene:
\(\displaystyle p=0,5\).
Ejercicio 19
En un experimento binomial con \(n=5\), la probabilidad de no obtener éxitos es \(0,59049\). Determina la probabilidad de éxito.
Usamos:
\[ (1-p)^5=0,59049 \]
Como:
\[ 0,9^5=0,59049 \]
entonces:
\[ 1-p=0,9 \]
\[ p=0,1 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,1\).
Ejercicio 20
En un experimento binomial con \(n=2\), la probabilidad de obtener exactamente \(1\) éxito es \(0,32\). Determina los posibles valores de \(p\).
Planteamos:
\[ 2p(1-p)=0,32 \]
\[ 2p-2p^2=0,32 \]
\[ 2p^2-2p+0,32=0 \]
Multiplicando por \(100\) y simplificando:
\[ 25p^2-25p+4=0 \]
Factorizamos:
\[ (5p-1)(5p-4)=0 \]
Entonces:
\[ p=0,2 \qquad \text{o} \qquad p=0,8 \]
Resultado: \(\displaystyle p=0,2\) o \(\displaystyle p=0,8\).