Libro Decimales racionales
1. Introducción a los números decimales
Idea inicial
Antes de sumergirnos en los detalles, es importante tener una visión general. No todos los números decimales son iguales; de hecho, se dividen en dos grandes familias.
Las dos familias de decimales
- Decimales racionales: son todos aquellos que sí se pueden escribir como una fracción. Su expansión decimal tiene dos posibilidades:
- Es finita, es decir, termina, como \(0{,}75\).
- Es infinita y periódica, es decir, un bloque de cifras se repite para siempre, como \(0{,}666...\) o \(0{,}121212...\).
- Decimales irracionales: son aquellos que no se pueden escribir como una fracción. Su expansión decimal es siempre infinita y no periódica. Aunque sus cifras pueden seguir un patrón de construcción, la secuencia decimal no es periódica. Algunos ejemplos clásicos son \(\pi \approx 3{,}14159...\) y \(\sqrt{2}\approx 1{,}41421...\).
El conjunto de los números reales
La unión de estas dos grandes familias, los decimales racionales y los irracionales, forma el conjunto de los números reales.
Esto es muy importante, ya que cada punto en la recta real corresponde a un número, ya sea racional o irracional.
Enfoque de esta lección
En esta y las siguientes lecciones nos enfocaremos en los decimales racionales, especialmente en aquellos que son la expresión decimal de una fracción.
De fracción a decimal: nombre y posición
Definición: fracción decimal y decimales finitos
Una fracción decimal es una fracción cuyo denominador es una potencia de 10, como \(10\), \(100\), \(1000\), etc.
Este tipo de fracción siempre genera un número decimal finito, es decir, un decimal que tiene una cantidad limitada de cifras decimales.
Más adelante estudiaremos fracciones que generan decimales infinitos periódicos.
Paso 1: nombrar la fracción
Lectura según el denominador
El denominador nos indica cómo se lee la fracción:
- Si el denominador es \(10\), hablamos de décimos. Por ejemplo, \( \frac{7}{10} \) se lee “siete décimos”.
- Si el denominador es \(100\), hablamos de centésimos. Por ejemplo, \( \frac{25}{100} \) se lee “veinticinco centésimos”.
- Si el denominador es \(1000\), hablamos de milésimos. Por ejemplo, \( \frac{123}{1000} \) se lee “ciento veintitrés milésimos”.
Paso 2: ubicar en la tabla de valor posicional
Relación entre nombre y posición
El nombre de la fracción, como décimo, centésimo o milésimo, indica dónde debe terminar el número después de la coma decimal.
Tabla de valor posicional
| Posición | Representación decimal | Nombre | Representación fraccional |
|---|---|---|---|
| 1er lugar después de la coma | \(0{,}1\) | Décimo | \( \frac{1}{10} \) |
| 2do lugar después de la coma | \(0{,}01\) | Centésimo | \( \frac{1}{100} \) |
| 3er lugar después de la coma | \(0{,}001\) | Milésimo | \( \frac{1}{1000} \) |
Paso 3: escribir el número decimal
Procedimiento para convertir una fracción decimal a número decimal
- Lee la fracción para identificar si corresponde a décimos, centésimos, milésimos, etc.
- Escribe el número del numerador.
- Coloca la coma decimal de manera que la última cifra del numerador quede en la posición que indica el denominador.
- Si es necesario, agrega ceros entre la coma y el número.
Ejemplos de conversión
- \( \frac{17}{100} \): se lee “diecisiete centésimos”. Por lo tanto, el \(7\) debe quedar en la segunda posición decimal: \(0{,}17\).
- \( \frac{9}{1000} \): se lee “nueve milésimos”. El \(9\) debe quedar en la tercera posición decimal: \(0{,}009\).
- \( 2\frac{35}{100} \): se lee “dos enteros y treinta y cinco centésimos”. El \(2\) es la parte entera y \(35\) corresponde a los centésimos: \(2{,}35\).
- \( \frac{235}{100} \): se lee “doscientos treinta y cinco centésimos”. Como \(100\) tiene dos ceros, el resultado debe tener dos cifras decimales: \(2{,}35\).
Atajo para la conversión: el truco de los ceros
Un método mecánico y rápido es escribir el numerador y asegurarse de que tenga tantas cifras decimales como ceros hay en el denominador. Si es necesario, se agregan ceros a la izquierda del número.
- Ejemplo A: en \( \frac{17}{100} \), el denominador \(100\) tiene dos ceros. Por lo tanto, el resultado debe tener dos cifras decimales: \(0{,}17\).
- Ejemplo B: en \( \frac{9}{1000} \), el denominador \(1000\) tiene tres ceros. Por lo tanto, el resultado debe tener tres cifras decimales: \(0{,}009\).
3. Decimales equivalentes
Cuidado con los ceros a la derecha
Con los números enteros, agregar un cero a la derecha cambia completamente el valor. Por ejemplo, \(4\) es distinto de \(40\).
Pero en la parte decimal de un número, los ceros que se agregan al final no cambian su valor.
\[0{,}4=0{,}40=0{,}400\]
Esto ocurre porque \( \frac{4}{10} \), \( \frac{40}{100} \) y \( \frac{400}{1000} \) son fracciones equivalentes.
¿Por qué ocurre esto?
Al agregar ceros a la derecha en un decimal, estamos escribiendo una fracción equivalente. Es decir, cambia la forma de escribir el número, pero no cambia su valor.
| Decimal original | Fracción inicial | Proceso de amplificación | Fracción equivalente | Resultado decimal |
|---|---|---|---|---|
| \(0{,}4\) | \( \frac{4}{10} \) | \( \frac{4}{10}\cdot \frac{10}{10} \) | \( \frac{40}{100} \) | \(0{,}40\) |
| \(0{,}4\) | \( \frac{4}{10} \) | \( \frac{4}{10}\cdot \frac{100}{100} \) | \( \frac{400}{1000} \) | \(0{,}400\) |
Ejercicios prácticos
Ejercicio 1: lectura y conversión a decimal
Escribe las siguientes fracciones con palabras y luego conviértelas a su forma decimal.
- \( \frac{7}{10} \)
- \( \frac{83}{100} \)
- \( \frac{235}{1000} \)
- \( -\frac{9}{10} \)
- \( \frac{42}{100} \)
- \( -\frac{5}{100} \)
- \( \frac{7}{1000} \)
- \( 3\frac{2}{10} \)
- \( -5\frac{12}{100} \)
- \( \frac{2531}{1000} \)
Para convertir cada fracción decimal, observamos el denominador: si es \(10\), el decimal tendrá una cifra decimal; si es \(100\), tendrá dos; si es \(1000\), tendrá tres.
- \( \frac{7}{10} \): siete décimos. Como el denominador es \(10\), queda una cifra decimal: \(0{,}7\).
- \( \frac{83}{100} \): ochenta y tres centésimos. Como el denominador es \(100\), quedan dos cifras decimales: \(0{,}83\).
- \( \frac{235}{1000} \): doscientos treinta y cinco milésimos. Como el denominador es \(1000\), quedan tres cifras decimales: \(0{,}235\).
- \( -\frac{9}{10} \): menos nueve décimos. Se conserva el signo negativo y queda una cifra decimal: \(-0{,}9\).
- \( \frac{42}{100} \): cuarenta y dos centésimos. Como el denominador es \(100\), quedan dos cifras decimales: \(0{,}42\).
- \( -\frac{5}{100} \): menos cinco centésimos. Como el denominador es \(100\), deben quedar dos cifras decimales: \(-0{,}05\).
- \( \frac{7}{1000} \): siete milésimos. Como el denominador es \(1000\), deben quedar tres cifras decimales: \(0{,}007\).
- \( 3\frac{2}{10} \): tres enteros y dos décimos. La parte entera es \(3\) y la parte decimal es \(0{,}2\): \(3{,}2\).
- \( -5\frac{12}{100} \): menos cinco enteros y doce centésimos. La parte entera es \(-5\) y la parte decimal corresponde a \(0{,}12\): \(-5{,}12\).
- \( \frac{2531}{1000} \): dos mil quinientos treinta y un milésimos. Como el denominador es \(1000\), quedan tres cifras decimales: \(2{,}531\).
Ejercicio 2: nombrar y convertir a fracción decimal
Nombra los siguientes números decimales con palabras y luego escríbelos en forma de fracción decimal:
- \(0{,}9\)
- \(0{,}27\)
- \(0{,}605\)
- \(-0{,}5\)
- \(4{,}7\)
- \(0{,}53\)
- \(0{,}072\)
- \(-0{,}19\)
- \(-0{,}003\)
- \(12{,}345\)
Para escribir un decimal como fracción decimal, contamos cuántas cifras hay después de la coma. Una cifra corresponde a décimos, dos cifras a centésimos y tres cifras a milésimos.
- \(0{,}9\): nueve décimos. Como tiene una cifra decimal, \(0{,}9=\frac{9}{10}\).
- \(0{,}27\): veintisiete centésimos. Como tiene dos cifras decimales, \(0{,}27=\frac{27}{100}\).
- \(0{,}605\): seiscientos cinco milésimos. Como tiene tres cifras decimales, \(0{,}605=\frac{605}{1000}\).
- \(-0{,}5\): menos cinco décimos. Como tiene una cifra decimal, \(-0{,}5=-\frac{5}{10}\).
- \(4{,}7\): cuatro enteros y siete décimos. También puede leerse como cuarenta y siete décimos, por eso \(4{,}7=\frac{47}{10}\).
- \(0{,}53\): cincuenta y tres centésimos. Como tiene dos cifras decimales, \(0{,}53=\frac{53}{100}\).
- \(0{,}072\): setenta y dos milésimos. Como tiene tres cifras decimales, \(0{,}072=\frac{72}{1000}\).
- \(-0{,}19\): menos diecinueve centésimos. Como tiene dos cifras decimales, \(-0{,}19=-\frac{19}{100}\).
- \(-0{,}003\): menos tres milésimos. Como tiene tres cifras decimales, \(-0{,}003=-\frac{3}{1000}\).
- \(12{,}345\): doce enteros y trescientos cuarenta y cinco milésimos. También puede leerse como doce mil trescientos cuarenta y cinco milésimos, por eso \(12{,}345=\frac{12345}{1000}\).