2. Multiplicación de Números Complejos

Multiplicación de Números Complejos

Repaso: Forma Binomial y la Unidad Imaginaria

Recordemos:

  • Número complejo: z = a + bi (a: parte real, b: parte imaginaria).
  • Unidad imaginaria: i = √-1, y por lo tanto i2 = -1.

Multiplicación Algebraica

Para multiplicar números complejos en forma binomial, usamos la propiedad distributiva (como al multiplicar binomios), y luego simplificamos usando el hecho de que i2 = -1.

Fórmula: Si \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), entonces:

\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Es decir:

  1. Multiplicamos los dos números complejos como si fueran binomios.
  2. Reemplazamos i2 por -1.
  3. Agrupamos la parte real y la parte imaginaria.

Ejemplo 1:

\( (2 + 3i)(1 - 2i) = 2(1) + 2(-2i) + 3i(1) + 3i(-2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2 = 2 - i - 6(-1) = 2 - i + 6 = 8 - i \)

Ejemplo 2:

\( (4 - i)(5 + 2i) = 20 + 8i - 5i - 2i^2 = 20 + 3i - 2(-1) = 20 + 3i + 2 = 22 + 3i \)

Ejemplo 3:

\( (1 + i)(1 - i) = 1 - i + i - i^2 = 1 - (-1) = 2 \) (Este es un caso especial: un número complejo multiplicado por su conjugado).

Multiplicación por un Número Real

Si multiplicamos un número complejo por un número real, simplemente multiplicamos tanto la parte real como la imaginaria por ese número real.

Ejemplo: \( 3(2 + 4i) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 4i = 6 + 12i \)

Multiplicación por un Imaginario Puro

Si multiplicamos un número complejo por un imaginario puro (un múltiplo de *i*), la parte real se convierte en imaginaria, y la parte imaginaria se convierte en real (con un posible cambio de signo).

Ejemplo: \( 2i(5 - 3i) = 10i - 6i^2 = 10i - 6(-1) = 6 + 10i \)

Ejercicios

Ejercicio 1: Calcula los siguientes productos:

  1. \( (1 + i)(3 - 2i) \)
  2. \( (4 - 3i)(2 + i) \)
  3. \( (-2 + i)(-1 - i) \)
  4. \( (5i)(3 + 2i) \)
  5. \( 4(1 - i) \)
  6. \( (0.5 + i)(2 - 0.4i) \)
  7. \( (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i)(\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i) \)
  8. \( (1 + \sqrt{2}i)(1 - \sqrt{2}i) \)
  9. \( (a + bi)(a - bi) \) (donde *a* y *b* son números reales cualesquiera)

Ejercicio 2: Calcula

  1. \((1 + i)^2\)
  2. \((1 + i)^3\)
  3. \((1 + i)^4\)

Ejercicio 3: Encuentra el valor de *x* e *y* que hacen cierta la siguiente ecuación: (2 + 3i)(x + yi) = 1 + i

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