1. Suma y Resta de Números Complejos

Suma y Resta de Números Complejos

Repaso: Forma Binomial

Recordemos que un número complejo en forma binomial se escribe como: \( z = a + bi \), donde *a* es la parte real y *b* es la parte imaginaria.

Suma de Números Complejos

Definición Algebraica

Para sumar dos números complejos, simplemente sumamos sus partes reales y sus partes imaginarias *por separado*:

Si \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), entonces:

\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]

Ejemplo:
(3 + 2i) + (1 - 5i) = (3 + 1) + (2 - 5)i = 4 - 3i

Interpretación Geométrica (Regla del Paralelogramo)

En el plano complejo, la suma de dos números complejos se puede visualizar como la *suma de vectores*. Si representamos los números complejos como vectores que parten del origen:

  • El vector suma se obtiene construyendo un *paralelogramo* donde los dos vectores originales son lados adyacentes.
  • La diagonal del paralelogramo que parte del origen es el vector suma.

(En Moodle, aquí insertarías una imagen que ilustre la regla del paralelogramo para la suma de números complejos).

Resta de Números Complejos

Definición Algebraica

Para restar dos números complejos, restamos sus partes reales y sus partes imaginarias *por separado*:

Si \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), entonces:

\[ z_1 - z_2 = (a - c) + (b - d)i \]

Ejemplo:
(5 + 4i) - (2 + i) = (5 - 2) + (4 - 1)i = 3 + 3i

Interpretación Geométrica

Restar \( z_2 \) de \( z_1 \) es equivalente a sumar \( z_1 \) con el *opuesto* de \( z_2 \) (\(-z_2\)). Geométricamente, esto significa:

  • Encuentra el vector que representa a \( z_2 \).
  • Dibuja el vector opuesto a \( z_2 \) (misma magnitud, dirección opuesta).
  • Suma \( z_1 \) y el opuesto de \( z_2 \) usando la regla del paralelogramo (o la regla del triángulo, que es equivalente).

(En Moodle, insertar una imagen que muestre la resta de números complejos como suma del opuesto, usando vectores).

Ejercicios

Ejercicio 1: Calcula las siguientes sumas y restas:

  1. (2 + 5i) + (1 + 3i)
  2. (-3 + i) + (4 - 2i)
  3. (6 - i) - (2 + 4i)
  4. (-1 - i) - (-3 - 2i)
  5. (0.5 + 1.2i) + (2.3 - 0.8i)
  6. (\(\frac{1}{2}\) + \( \frac{3}{4} \)i) + (\( \frac{1}{4} \) - \( \frac{1}{2} \)i)

Ejercicio 2: Representa gráficamente en el plano complejo los siguientes números complejos, y luego realiza *gráficamente* la suma \( z_1 + z_2 \) y la resta \( z_1 - z_2 \) para cada caso:

  1. \( z_1 = 3 + i \), \( z_2 = 1 + 2i \)
  2. \( z_1 = -2 + 3i \), \( z_2 = 4 + i \)
  3. \( z_1 = 1 - i \), \( z_2 = -3 - 2i \)

Ejercicio 3: Encuentra los números complejos *z* que satisfacen las siguientes ecuaciones:

  1. z + (2 - i) = 5 + 3i
  2. (4 + 2i) - z = 1 - i
  3. 2z + (1 + i) = 3 - 2i

Ejercicio 4: Si \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \), demuestra que la suma de los conjugados es igual al conjugado de la suma. Es decir, demuestra que: \[ \overline{z_1} + \overline{z_2} = \overline{z_1 + z_2} \]

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