3. División de Números Complejos

División de Números Complejos

El Conjugado de un Número Complejo

El *conjugado* de un número complejo \( z = a + bi \) se denota por \( \bar{z} \) (o a veces z*) y se obtiene *cambiando el signo de la parte imaginaria*:

\[ \bar{z} = a - bi \]

Ejemplos:

  • El conjugado de 3 + 2i es 3 - 2i.
  • El conjugado de -1 - i es -1 + i.
  • El conjugado de 5i es -5i.
  • El conjugado de 4 es 4 (los números reales son sus propios conjugados).

Propiedad Importante: El producto de un número complejo por su conjugado siempre es un número *real* y *no negativo*:

\[ (a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 - b^2(-1) = a^2 + b^2 \]

División de Números Complejos

No podemos dividir directamente por un número complejo en forma binomial. La clave para dividir números complejos es *eliminar la parte imaginaria del denominador*. Logramos esto *multiplicando tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador*.

Procedimiento: Para dividir \( \frac{a + bi}{c + di} \) (donde c + di ≠ 0):

  1. Multiplica el numerador y el denominador por el *conjugado* del denominador (c - di): \[ \frac{a + bi}{c + di} \cdot \frac{c - di}{c - di} \]
  2. Aplica la propiedad distributiva en el numerador y el denominador.
  3. Simplifica, usando el hecho de que \( i^2 = -1 \).
  4. Escribe el resultado en forma binomial (a + bi).

Ejemplo Resuelto Paso a Paso:

Calcula: \( \frac{2 + 3i}{1 - i} \)

  1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador (1 + i): \[ \frac{2 + 3i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} \]
  2. Expandimos: \[ \frac{(2 + 3i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{2 + 2i + 3i + 3i^2}{1 + i - i - i^2} \]
  3. Simplificamos (recuerda que \( i^2 = -1 \)): \[ \frac{2 + 5i - 3}{1 - (-1)} = \frac{-1 + 5i}{2} \]
  4. Escribimos en forma binomial: \[ \frac{-1}{2} + \frac{5}{2}i \]

Ejemplo Resuelto Paso a Paso 2:

Calcula: \( \frac{1 - 2.5i}{0.5 + 1.5i} \)

  1. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador (0.5 - 1.5i): \[ \frac{1 - 2.5i}{0.5 + 1.5i} \cdot \frac{0.5 - 1.5i}{0.5 - 1.5i} \]
  2. Expandimos: \[ \frac{(1 - 2.5i)(0.5 - 1.5i)}{(0.5 + 1.5i)(0.5 - 1.5i)} = \frac{0.5 - 1.5i - 1.25i + 3.75i^2}{0.25 - 0.75i + 0.75i - 2.25i^2} \]
  3. Simplificamos (recuerda que \( i^2 = -1 \)): \[ \frac{0.5 - 2.75i - 3.75}{0.25 + 2.25} = \frac{-3.25 - 2.75i}{2.5} \]
  4. Escribimos en forma binomial (simplificando las fracciones): \[ \frac{-3.25}{2.5} - \frac{2.75}{2.5}i = -1.3 - 1.1i \]

Ejercicios

Ejercicio 1: Encuentra el conjugado de cada número complejo:

  1. \( 4 + 5i \)
  2. \( -2 - 3i \)
  3. \( 6i \)
  4. \( -7 \)
  5. \( 1 - \sqrt{2}i \)

Ejercicio 2: Realiza las siguientes divisiones, expresando el resultado en forma binomial:

  1. \( \frac{1 + i}{2 - i} \)
  2. \( \frac{3 - 2i}{1 + i} \)
  3. \( \frac{4i}{2 + 3i} \)
  4. \( \frac{5}{i} \)
  5. \( \frac{2 + i}{2 - i} \)

Ejercicio 3: Resuelve para z (número complejo):

  1. \( \frac{z}{1 + i} = 2 - i \)
  2. \( (3 - i)z = 2 + 4i \)

Ejercicio 4: Simplifica: \( \frac{1}{i} + \frac{1}{i^2} + \frac{1}{i^3} + \frac{1}{i^4} \)

Ejercicio 5: Si \( z = 2 - 3i \), calcula \( \frac{1}{z} \) (el inverso multiplicativo de z).

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