1. \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)
2. \( |z| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)
3. \( |z| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \)
4. \( |z| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)
5. \( |z| = \sqrt{7^2 + 0^2} = \sqrt{49} = 7 \)
6. \( |z| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \)

(En Moodle, la solución ideal sería un gráfico interactivo donde los estudiantes puedan ver los puntos y sus módulos. Aquí, solo daremos una descripción):

Dibuja el plano complejo (eje real y eje imaginario). Para cada número complejo del Ejercicio 1, marca el punto correspondiente y dibuja un segmento desde el origen hasta ese punto. Mide la longitud de ese segmento (con una regla, si estás dibujando a mano, o usando la herramienta de medición de GeoGebra). Comprueba que la longitud coincide con el módulo calculado en el Ejercicio 1.

Un círculo con centro en el origen (0, 0) y radio 5.

Explicación: El módulo representa la distancia desde el origen. Todos los puntos que están a una distancia de 5 unidades del origen forman un círculo de radio 5.

Los números complejos que cumplen esta condición son \( z = i \) y \( z = -i \).

Explicación: \( |z| = 1 \) significa que los números complejos están en el círculo unitario (radio 1, centro en el origen). Re(z) = 0 significa que la parte real es cero; por lo tanto, los números complejos deben estar en el eje imaginario. Los únicos puntos que cumplen ambas condiciones son (0, 1) y (0, -1), que corresponden a *i* y *-i*.

\( |z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2 \)

\( z \cdot \bar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 + b^2 \)

Y, por definición, \( |z|^2 = (\sqrt{a^2 + b^2})^2 = a^2 + b^2 \). Por lo tanto, \( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \).