Material prueba 1
1. probabilidad y conjuntos
Probabilidad y conjuntos: ejercicios resueltos paso a paso
En esta página se reorganizan cinco situaciones trabajadas en pizarra para estudiarlas con un formato más claro. Se combinan probabilidad simple, espacio muestral, diagramas de Venn y probabilidad condicional.
- Calcular probabilidades simples, uniones e intersecciones.
- Usar correctamente la fórmula de inclusión-exclusión con dos y tres conjuntos.
- Interpretar un árbol de probabilidades en experimentos compuestos y en probabilidad condicional.
Antes de calcular, conviene identificar qué tipo de situación tienes delante: conteo simple, experimento compuesto, unión de conjuntos o probabilidad condicional. Reconocer la estructura correcta suele ser la mitad del trabajo.
- \(P(A)=\dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\)
- \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\)
- \(n(A\cup B\cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A\cap B)-n(A\cap C)-n(B\cap C)+n(A\cap B\cap C)\)
- \(P(E\cap L)=P(L\mid E)\cdot P(E)\)
Ejercicios resueltos
Ejercicio resuelto 1: frasco con bolitas
Situación. Un frasco tiene 8 bolitas. En el conteo mostrado aparecen 2 negras, 3 blancas y 3 rotas. A partir de esa información se piden probabilidades como \(P(\text{rota})\), \(P(\text{blanca})\), \(P(\text{blanca o rota})\) y \(P(\text{no blanca})\).
| Categoría | Cantidad | Probabilidad |
|---|---|---|
| Rota | 3 | \(\frac{3}{8}=37,5\%\) |
| Blanca | 3 | \(\frac{3}{8}=37,5\%\) |
| Blanca o rota | 6 | \(\frac{6}{8}=75\%\) |
| No blanca | 5 | \(\frac{5}{8}=62,5\%\) |
Paso 1. El total de casos posibles es \(8\), porque hay \(8\) bolitas en el frasco.
Paso 2. Para \(P(\text{rota})\) se cuentan \(3\) bolitas rotas, así que \(P(\text{rota})=\frac{3}{8}\).
Paso 3. Para \(P(\text{blanca})\) se cuentan \(3\) bolitas blancas, por lo tanto \(P(\text{blanca})=\frac{3}{8}\).
Paso 4. Siguiendo el conteo trabajado en la pizarra, para \(P(\text{blanca o rota})\) se suman \(3+3=6\), de modo que \(P(\text{blanca o rota})=\frac{6}{8}\).
Paso 5. Para \(P(\text{no blanca})\) se usa el complemento: \(8-3=5\), entonces \(P(\text{no blanca})=\frac{5}{8}\).
El cálculo \(P(\text{blanca o rota})=\frac{6}{8}\) solo es válido si las 3 blancas y las 3 rotas se están tratando como grupos separados, tal como parece hacerse en la pizarra. Si hubiera bolitas que fueran a la vez blancas y rotas, habría que restar esa intersección.
Ejercicio resuelto 2: moneda y ruleta de 3 números
Situación. Se lanza una moneda y luego se gira una ruleta con los números \(1\), \(2\) y \(3\). El espacio muestral tiene \(6\) resultados equiprobables: \((\text{cara},1)\), \((\text{cara},2)\), \((\text{cara},3)\), \((\text{sello},1)\), \((\text{sello},2)\) y \((\text{sello},3)\).
| Evento | Casos favorables | Probabilidad |
|---|---|---|
| \(P(\text{cara})\) | 3 de 6 | \(\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=50\%\) |
| \(P(\text{ruleta}=1)\) | 2 de 6 | \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 33,3\%\) |
| \(P(\text{sello e impar})\) | 2 de 6 | \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\approx 33,3\%\) |
| \(P(\text{sello o impar})\) | 5 de 6 | \(\frac{5}{6}\approx 83,3\%\) |
Paso 1. Como hay \(2\) resultados posibles en la moneda y \(3\) en la ruleta, el espacio muestral es \(2\times 3=6\).
Paso 2. Para \(P(\text{cara})\), sirven \((\text{cara},1)\), \((\text{cara},2)\) y \((\text{cara},3)\). Por eso \(P(\text{cara})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\).
Paso 3. Para \(P(\text{ruleta}=1)\), sirven \((\text{cara},1)\) y \((\text{sello},1)\). Entonces \(P(\text{ruleta}=1)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Paso 4. Para \(P(\text{sello e impar})\), los números impares son \(1\) y \(3\), así que sirven \((\text{sello},1)\) y \((\text{sello},3)\). El resultado es \(\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).
Paso 5. Para \(P(\text{sello o impar})\), sirven \((\text{sello},1)\), \((\text{sello},2)\), \((\text{sello},3)\), \((\text{cara},1)\) y \((\text{cara},3)\). En total son \(5\) casos de \(6\), por lo tanto \(P(\text{sello o impar})=\frac{5}{6}\).
En la palabra “o” se incluyen todos los casos que cumplen al menos una condición. Por eso \((\text{sello},1)\) y \((\text{sello},3)\) siguen contando una sola vez, aunque cumplen ambas.
Apoyo visual: si el renderizador de árbol está activo en tu entorno, aquí aparecerá el árbol del experimento compuesto.
Ejercicio resuelto 3: ajedrez y robótica
Situación. En un curso de 20 estudiantes, \(9\) van a ajedrez, \(7\) van a robótica y \(3\) asisten a ambos talleres. Se pide calcular cuántos van a algún taller y cuántos no van a ninguno.
| Dato | Valor |
|---|---|
| \(n(A)\) = estudiantes en ajedrez | 9 |
| \(n(B)\) = estudiantes en robótica | 7 |
| \(n(A\cap B)\) = estudiantes en ambos | 3 |
| Total del curso | 20 |
Paso 1. Se aplica la fórmula de dos conjuntos: \(n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).
Paso 2. Sustituyendo los datos: \(n(A\cup B)=9+7-3=13\).
Paso 3. Entonces 13 estudiantes van a algún taller.
Paso 4. Los que no van a ninguno son: \(20-13=7\).
\(n(A\cup B)=13\) y los que no van a ningún taller son \(7\) estudiantes.
Apoyo visual: si el script de diagramas de Venn está activo, aquí se mostrará la unión de los dos talleres.
Ejercicio resuelto 4: deporte, música y arte
Situación. En un grupo de 40 estudiantes, \(18\) van a deporte, \(15\) a música, \(12\) a arte, \(6\) a deporte y música, \(5\) a deporte y arte, \(4\) a música y arte, y \(2\) a los tres talleres. Se pide calcular cuántos van a al menos uno y cuántos no van a ninguno.
| Conjunto | Cantidad |
|---|---|
| \(n(D)\) | 18 |
| \(n(M)\) | 15 |
| \(n(A)\) | 12 |
| \(n(D\cap M)\) | 6 |
| \(n(D\cap A)\) | 5 |
| \(n(M\cap A)\) | 4 |
| \(n(D\cap M\cap A)\) | 2 |
| Total | 40 |
Paso 1. Se usa la fórmula de inclusión-exclusión para tres conjuntos:
\[ n(D\cup M\cup A)=n(D)+n(M)+n(A)-n(D\cap M)-n(D\cap A)-n(M\cap A)+n(D\cap M\cap A) \]
Paso 2. Se suman los tres conjuntos principales: \(18+15+12=45\).
Paso 3. Se restan las intersecciones dobles: \(45-6-5-4=30\).
Paso 4. Se vuelve a sumar la intersección triple porque quedó descontada de más: \(30+2=32\).
Paso 5. Entonces, 32 estudiantes van a al menos un taller.
Paso 6. Los que no van a ninguno son: \(40-32=8\), es decir, el 20\% del grupo.
Cuando sumas \(18+15+12\), quienes están en dos talleres se cuentan dos veces y quienes están en tres talleres se cuentan tres veces. Por eso primero se restan las intersecciones dobles y luego se agrega una vez la triple.
Apoyo visual: si el script de Venn está activo, aquí se mostrará el diagrama de tres conjuntos.
Ejercicio resuelto 5: enfermo y con licencia
Situación. La probabilidad de estar sano es \(60\%\). Entonces, la probabilidad de estar enfermo es \(40\%\). Además, la probabilidad de tener licencia dado que se está enfermo es \(30\%\). Se pregunta por la probabilidad de estar enfermo y con licencia.
| Magnitud | Valor |
|---|---|
| \(P(\text{sano})\) | \(0,6\) |
| \(P(\text{enfermo})\) | \(0,4\) |
| \(P(L\mid E)\) | \(0,3\) |
Paso 1. Si \(P(\text{sano})=0,6\), entonces \(P(\text{enfermo})=1-0,6=0,4\).
Paso 2. La información condicional es \(P(L\mid E)=0,3\).
Paso 3. Para hallar la intersección se usa \(P(E\cap L)=P(L\mid E)\cdot P(E)\).
Paso 4. Sustituyendo: \(P(E\cap L)=0,3\cdot 0,4=0,12\).
Conclusión. La probabilidad de estar enfermo y con licencia es \(0,12\), es decir, 12\%.
Este tipo de cálculo aparece cuando se analiza el cruce entre dos situaciones relacionadas, por ejemplo enfermedad y licencia médica, aprobación y asistencia, o compra y uso de un cupón.
\(P(E\cap L)=P(L\mid E)\cdot P(E)=0,3\cdot 0,4=0,12=12\%\)
Apoyo visual: si el renderizador de árbol está activo, aquí se mostrará la rama enfermo → licencia.
En problemas de conjuntos, dibujar o imaginar el diagrama evita dobles conteos. En problemas condicionales, un árbol ayuda a distinguir claramente entre probabilidad inicial y probabilidad condicionada.