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Requisitos de finalización
Guía de Ejercicios: Potencias de \(i\), Radicales y Ecuaciones
Objetivo: aplicar el ciclo de potencias de \(i\), operar con radicales de números negativos y resolver ecuaciones cuadráticas con soluciones imaginarias.
Recordatorio clave. Ciclo de \(i\): \(i^1=i,\; i^2=-1,\; i^3=-i,\; i^4=1\) (período 4).
Para todo entero \(n\), \(i^n = i^{\,n\bmod 4}\) y \(i^0=1\).
Para todo entero \(n\), \(i^n = i^{\,n\bmod 4}\) y \(i^0=1\).
Las soluciones aparecen debajo de cada bloque.
A) Potencias de \(i\)
Reduce usando \(n\bmod 4\).
- \(i^{7}\)
- \(i^{18}\)
- \(i^{36}\)
- \(i^{999}\)
- \(i^{10^{44}}\)
- \(i^{122}\)
- \(i^{5}\)
- \(i^{3}\)
- \(i^{-13}\)
- \(i^{-69}\)
- \(\displaystyle \frac{i^{3}}{i^{2}}\)
- \(\displaystyle \frac{i^{12}}{i^{15}}\)
- \(\displaystyle \frac{i^{8}}{i}\)
- \(i^{4}\cdot i^{7}\)
Soluciones A
\(i^{7}=i^{4\cdot1+3}=i^{3}=-i\).
\(i^{18}\equiv i^{2}=-1.\) \(i^{36}\equiv i^{0}=1.\) \(i^{999}\equiv i^{3}=-i.\)
\(i^{10^{44}}\): como \(10\equiv2\pmod4\Rightarrow 10^{44}\equiv 2^{44}\equiv0\pmod4\), entonces \(i^{0}=1.\)
\(i^{122}\equiv i^{2}=-1.\)
\(i^{5}\equiv i^{1}=i.\) \(i^{3}=-i.\) \(i^{-13}\equiv i^{3}=-i.\) \(i^{-69}\equiv i^{3}=-i.\)
\(\dfrac{i^{3}}{i^{2}}=i^{1}=i.\) \(\dfrac{i^{12}}{i^{15}}=i^{-3}\equiv i^{1}=i.\) \(\dfrac{i^{8}}{i}=i^{7}=-i.\) \(i^{4}\cdot i^{7}=i^{11}\equiv i^{3}=-i.\)
\(i^{7}=i^{4\cdot1+3}=i^{3}=-i\).
\(i^{18}\equiv i^{2}=-1.\) \(i^{36}\equiv i^{0}=1.\) \(i^{999}\equiv i^{3}=-i.\)
\(i^{10^{44}}\): como \(10\equiv2\pmod4\Rightarrow 10^{44}\equiv 2^{44}\equiv0\pmod4\), entonces \(i^{0}=1.\)
\(i^{122}\equiv i^{2}=-1.\)
\(i^{5}\equiv i^{1}=i.\) \(i^{3}=-i.\) \(i^{-13}\equiv i^{3}=-i.\) \(i^{-69}\equiv i^{3}=-i.\)
\(\dfrac{i^{3}}{i^{2}}=i^{1}=i.\) \(\dfrac{i^{12}}{i^{15}}=i^{-3}\equiv i^{1}=i.\) \(\dfrac{i^{8}}{i}=i^{7}=-i.\) \(i^{4}\cdot i^{7}=i^{11}\equiv i^{3}=-i.\)
B) Operaciones con potencias (símbolo \(a\))
Usa \(a^m a^n=a^{m+n}\), \(a^m/a^n=a^{m-n}\) y \((a^m)^n=a^{mn}\).
- \(a^2\cdot a^6\)
- \(\displaystyle \frac{a^{10}}{a^{4}}\)
- \(3a^{4}-2a^{4}\)
- \(6a^{8}-3a^{8}\)
- \(\displaystyle \frac{a^{9}}{a^{15}}\)
- \(\displaystyle \frac{a^{12}\cdot a^{6}}{a^{10}}\)
- \(a\cdot a^{x}+a^{3}\cdot a^{4}\)
- \(a^{4}\,(a^{3}+a^{1})\)
Soluciones B
\(a^2\cdot a^6=a^{8}\). \(\dfrac{a^{10}}{a^4}=a^{6}\). \(3a^{4}-2a^{4}=a^{4}\). \(6a^{8}-3a^{8}=3a^{8}\).
\(\dfrac{a^{9}}{a^{15}}=a^{-6}=\dfrac1{a^{6}}\). \(\dfrac{a^{12}\,a^{6}}{a^{10}}=a^{8}\). \(a\cdot a^{x}+a^{3}\cdot a^{4}=a^{x+1}+a^{7}\). \(a^{4}(a^{3}+a)=a^{7}+a^{5}\).
\(a^2\cdot a^6=a^{8}\). \(\dfrac{a^{10}}{a^4}=a^{6}\). \(3a^{4}-2a^{4}=a^{4}\). \(6a^{8}-3a^{8}=3a^{8}\).
\(\dfrac{a^{9}}{a^{15}}=a^{-6}=\dfrac1{a^{6}}\). \(\dfrac{a^{12}\,a^{6}}{a^{10}}=a^{8}\). \(a\cdot a^{x}+a^{3}\cdot a^{4}=a^{x+1}+a^{7}\). \(a^{4}(a^{3}+a)=a^{7}+a^{5}\).
C) Escribe con números imaginarios y racionaliza
Usa \(\sqrt{-m}=\sqrt{m}\,i\). Quita raíces e \(i\) del denominador cuando existan.
- \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-50}}\)
- \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{-18}}\)
- \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{-12}}\)
- \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{\,1-36\,}}\)
- \(\displaystyle \frac{5}{\sqrt{-16}}\)
- \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{-4}}\)
- \(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{-2}}\)
- \(\sqrt{-50}\)
- \(\sqrt{16}+\sqrt{-9}\)
- \(\sqrt{-2}\)
- \(\sqrt{(-2)^{4}}\)
- \(\sqrt{-\,2^{4}}\)
Soluciones C
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-50}}=\frac{1}{5\sqrt2\,i}=-\frac{i}{5\sqrt2}=-\frac{i\sqrt2}{10}.\)
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{-18}}=\frac{3}{3\sqrt2\,i}=\frac{1}{\sqrt2\,i}=-\frac{i}{\sqrt2}=-\frac{i\sqrt2}{2}.\)
\(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{-12}}=\frac{4}{2\sqrt3\,i}=\frac{2}{\sqrt3\,i}=-\frac{2i}{\sqrt3}=-\frac{2i\sqrt3}{3}.\)
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{1-36}}=\frac{3}{\sqrt{-35}}=\frac{3}{\sqrt{35}\,i}=-\frac{3i}{\sqrt{35}}=-\frac{3i\sqrt{35}}{35}.\)
\(\displaystyle \frac{5}{\sqrt{-16}}=\frac{5}{4i}=-\frac{5i}{4}.\) \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{\sqrt{-4}}=\frac{\sqrt3}{2i}=-\frac{\sqrt3\,i}{2}.\)
\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{-2}}=\frac{7}{\sqrt2\,i}=-\frac{7i}{\sqrt2}=-\frac{7i\sqrt2}{2}.\) \(\sqrt{-50}=5\sqrt2\,i.\)
\(\sqrt{16}+\sqrt{-9}=4+3i.\) \(\sqrt{-2}=\sqrt2\,i.\) \(\sqrt{(-2)^4}=\sqrt{16}=4.\) \(\sqrt{-\,2^{4}}=\sqrt{-16}=4i.\)
\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{-50}}=\frac{1}{5\sqrt2\,i}=-\frac{i}{5\sqrt2}=-\frac{i\sqrt2}{10}.\)
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{-18}}=\frac{3}{3\sqrt2\,i}=\frac{1}{\sqrt2\,i}=-\frac{i}{\sqrt2}=-\frac{i\sqrt2}{2}.\)
\(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{-12}}=\frac{4}{2\sqrt3\,i}=\frac{2}{\sqrt3\,i}=-\frac{2i}{\sqrt3}=-\frac{2i\sqrt3}{3}.\)
\(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{1-36}}=\frac{3}{\sqrt{-35}}=\frac{3}{\sqrt{35}\,i}=-\frac{3i}{\sqrt{35}}=-\frac{3i\sqrt{35}}{35}.\)
\(\displaystyle \frac{5}{\sqrt{-16}}=\frac{5}{4i}=-\frac{5i}{4}.\) \(\displaystyle \frac{\sqrt3}{\sqrt{-4}}=\frac{\sqrt3}{2i}=-\frac{\sqrt3\,i}{2}.\)
\(\displaystyle \frac{7}{\sqrt{-2}}=\frac{7}{\sqrt2\,i}=-\frac{7i}{\sqrt2}=-\frac{7i\sqrt2}{2}.\) \(\sqrt{-50}=5\sqrt2\,i.\)
\(\sqrt{16}+\sqrt{-9}=4+3i.\) \(\sqrt{-2}=\sqrt2\,i.\) \(\sqrt{(-2)^4}=\sqrt{16}=4.\) \(\sqrt{-\,2^{4}}=\sqrt{-16}=4i.\)
D) Resuelve las ecuaciones
- \(x^{2}+4=0\)
- \(x^{2}+25=0\)
- \(-x^{2}=100\)
- \(4x^{2}+36=0\)
- \(x^{2}+5=0\)
- \(x^{2}+11=0\)
Soluciones D
\(x^{2}=-4\Rightarrow x=\pm 2i.\)
\(x^{2}=-25\Rightarrow x=\pm 5i.\)
\(-x^{2}=100\Rightarrow x^{2}=-100\Rightarrow x=\pm 10i.\)
\(4x^{2}+36=0\Rightarrow x^{2}=-9\Rightarrow x=\pm 3i.\)
\(x^{2}=-5\Rightarrow x=\pm \sqrt5\,i.\)
\(x^{2}=-11\Rightarrow x=\pm \sqrt{11}\,i.\)
\(x^{2}=-4\Rightarrow x=\pm 2i.\)
\(x^{2}=-25\Rightarrow x=\pm 5i.\)
\(-x^{2}=100\Rightarrow x^{2}=-100\Rightarrow x=\pm 10i.\)
\(4x^{2}+36=0\Rightarrow x^{2}=-9\Rightarrow x=\pm 3i.\)
\(x^{2}=-5\Rightarrow x=\pm \sqrt5\,i.\)
\(x^{2}=-11\Rightarrow x=\pm \sqrt{11}\,i.\)
E) Autoverificación (opcional)
\( \boxed{\,i^{1}=i,\; i^{2}=-1,\; i^{3}=-i,\; i^{4}=1 \Rightarrow i^{n}=i^{\,n\bmod 4}\,} \)
Última modificación: jueves, 9 de octubre de 2025, 09:34