9. Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

Máximo Común Divisor (MCD): ¡Encontrando Conexiones!

En el mundo de las matemáticas, a veces necesitamos encontrar el "factor común" más grande entre dos o más números. ¡Para eso existe el Máximo Común Divisor (MCD)!

¿Qué es el MCD?

 

El Máximo Común Divisor (MCD) de dos o más números es el número más grande que divide exactamente a todos esos números, sin dejar ningún residuo.

Imagina que tienes dos cuerdas de diferentes longitudes y quieres cortarlas en trozos iguales, sin desperdiciar nada. El MCD te dirá cuál es la longitud máxima de esos trozos.

Ejemplo práctico

Imagina que tienes una cuerda de 12 metros y otra de 18 metros. Podríamos partir ambas cuerdas por la mitad (2 trozos), o dividir ambas en 3 trozos, sin embargo, el número más grande que divide a ambos trozos es 6. Matemáticamente, esto se expresa como MCD(12,18) = 6. Esto significa que:

  • Puedes cortar ambas cuerdas en trozos de 6 metros, y no te sobrará nada.
  • De la cuerda de 12 metros, obtendrías 2 trozos de 6 metros (12 / 6 = 2).
  • De la cuerda de 18 metros, obtendrías 3 trozos de 6 metros (18 / 6 = 3).
  • En total, obtendrías 5 trozos de 6 metros.

El MCD te asegura que 6 metros es la longitud máxima posible para los trozos, garantizando que no haya sobrantes en ninguna de las cuerdas, siempre y cuando todos los trozos tengan la misma longitud.

Otras opciones

Si bien el MCD nos da la medida más grande posible para los trozos iguales, también se podrían cortar trozos más pequeños, siempre y cuando esa medida también divida exactamente las longitudes de las cuerdas (como en este caso trozos de 2 o bien de 3 metros). Sin embargo, recuerda que el MCD nos asegura que 6 metros es la longitud máxima que podemos usar para cortar ambas cuerdas en trozos iguales sin que sobre nada.

Métodos para calcular el MCD:

1. Descomposición factorial:

  1. Descomponemos cada número en sus factores primos.
  2. Identificamos los factores primos comunes a todos los números.
  3. El MCD es el producto de esos factores primos comunes, elevados a la menor potencia en la que aparecen.

Ejemplo:

Calculemos el MCD de 36 y 48:

  • Descomposición prima de 36: 2 x 2 x 3 x 3 = 22 x 32
  • Descomposición prima de 48: 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = 24 x 3
  • Factores primos comunes: 2 y 3
  • Menor potencia de 2: 22
  • Menor potencia de 3: 3
  • MCD(36, 48) = 22 x 3 = 12

2. Algoritmo de Euclides:

Este método es muy eficiente para números grandes. Se basa en divisiones sucesivas:

  1. Dividimos el número mayor entre el menor.
  2. Si la división es exacta, el MCD es el número menor.
  3. Si no es exacta, dividimos el divisor entre el residuo.
  4. Repetimos el proceso hasta obtener una división exacta. El último divisor es el MCD.

Ejemplo:

Calculemos el MCD de 1071 y 462 usando el algoritmo de Euclides:

  • 1071 ÷ 462 = 2, residuo 147
  • 462 ÷ 147 = 3, residuo 21
  • 147 ÷ 21 = 7, residuo 0

Como la última división es exacta, el MCD(1071, 462) es el último divisor, que es 21.

Problema desarrollado:

Un jardinero tiene 90 rosas rojas y 75 rosas blancas. Quiere hacer ramos con la misma cantidad de rosas de cada color, utilizando todas las rosas. ¿Cuál es la mayor cantidad de ramos que puede hacer? ¿Cuántas rosas de cada color tendrá cada ramo?

Solución:

Para encontrar la mayor cantidad de ramos, necesitamos calcular el MCD de 90 y 75.

  • Descomposición prima de 90: 2 x 3 x 3 x 5 = 2 x 32 x 5
  • Descomposición prima de 75: 3 x 5 x 5 = 3 x 52
  • Factores primos comunes: 3 y 5
  • Menor potencia de 3: 3
  • Menor potencia de 5: 5
  • MCD(90, 75) = 3 x 5 = 15

Por lo tanto, el jardinero puede hacer 15 ramos.

Para saber cuántas rosas de cada color tendrá cada ramo, dividimos la cantidad total de rosas de cada color entre el número de ramos:

  • Rosas rojas por ramo: 90 ÷ 15 = 6
  • Rosas blancas por ramo: 75 ÷ 15 = 5

Cada ramo tendrá 6 rosas rojas y 5 rosas blancas.

¡Practica!

Ejercicios:

Calcula el MCD de los siguientes números:

  • 12 y 18
  • 30 y 45
  • 16, 24 y 40
  • 75 y 125
  • 28, 42 y 56
  • 18, 27 y 36
  • 120 y 150
  • 36, 54 y 72
  • 20, 30, 40 y 50
  • 105, 140 y 175
  • 60, 90, 120 y 150

Problemas:

  1. Un carpintero tiene dos tablas de madera, una de 120 cm y otra de 180 cm. Quiere cortarlas en trozos de igual longitud, sin desperdiciar madera. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
  2. Ana tiene 48 caramelos y 36 chocolates. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos y la misma cantidad de chocolates. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?
  3. Un grupo de amigos quiere repartir 120 galletas y 150 caramelos en paquetes con la misma cantidad de cada golosina. ¿Cuál es el mayor número de paquetes que pueden hacer?
  4. En una frutería hay 72 manzanas, 96 naranjas y 60 plátanos. Se quieren colocar en cajas con la misma cantidad de cada fruta. ¿Cuál es el mayor número de cajas que se pueden llenar?
  5. Tres rollos de tela, uno de 140 metros, otro de 180 metros y otro de 210 metros, se quieren cortar en piezas de igual longitud, sin desperdiciar tela. ¿Cuál es la mayor longitud posible de las piezas?
  6. Un grupo de estudiantes quiere repartir 108 lápices, 84 bolígrafos y 60 gomas de borrar en estuches con la misma cantidad de cada artículo. ¿Cuál es el mayor número de estuches que pueden armar?
  7. Se tienen tres terrenos, uno de 360 metros cuadrados, otro de 480 metros cuadrados y otro de 600 metros cuadrados. Se quieren dividir en parcelas de igual área. ¿Cuál es la mayor área posible de cada parcela?
  8. Un grupo de niños quiere repartir 240 caramelos de fresa, 300 caramelos de limón y 180 caramelos de menta en bolsas con la misma cantidad de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que pueden hacer?
  9. En una biblioteca hay 180 libros de historia, 120 libros de ciencias y 90 libros de literatura. Se quieren colocar en estantes con la misma cantidad de libros de cada tema. ¿Cuál es el mayor número de estantes que se pueden llenar?
  10. Se tienen cuatro cuerdas de 120 cm, 160 cm, 200 cm y 240 cm. Se quieren cortar en trozos de igual longitud, sin desperdiciar cuerda. ¿Cuál es la mayor longitud posible de los trozos?
  11. María tiene 60 caramelos de fresa, 75 caramelos de limón y 90 caramelos de naranja. Quiere repartirlos en bolsas de regalo, de modo que cada bolsa tenga la misma cantidad de caramelos de cada sabor. ¿Cuál es el mayor número de bolsas que puede hacer?

¡A seguir explorando!

El MCD tiene muchas aplicaciones en la vida real y en otras áreas de las matemáticas, como la simplificación de fracciones y la resolución de ecuaciones. ¡Sigue investigando y descubre todas sus posibilidades!