10. Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

Mínimo Común Múltiplo (MCM): ¡Encontrando el Punto de Encuentro!

En matemáticas, a veces necesitamos encontrar el "múltiplo común" más pequeño entre dos o más números. ¡Para eso está el Mínimo Común Múltiplo (MCM)!

¿Qué es el MCM?

 

 

El Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dos o más números es el número más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la vez.

Imagina que dos autobuses salen de una estación a diferentes horas. Uno sale cada 12 minutos y el otro cada 15 minutos. ¿En cuántos minutos volverán a coincidir en la estación? ¡El MCM te dará la respuesta!

Ejemplo práctico

  • El autobús que sale cada 12 minutos pasará por la estación a los 12, 24, 36, 48, 60... minutos.
  • El autobús que sale cada 15 minutos pasará por la estación a los 15, 30, 45, 60... minutos.

Observamos que 60 es el primer número que aparece en ambas listas. Esto significa que volverán a coincidir en la estación a los 60 minutos.

Matemáticamente, esto se expresa como MCM(12, 15) = 60.

El MCM te asegura que espacios de 60 minutos es el tiempo mínimo que tiene que pasar para que ambos autobuses coincidan de nuevo en la estación.

¿Para qué sirve el MCM?

El MCM es útil en diversas situaciones de la vida real, como:

  • Planificación de horarios: Como en el ejemplo de los autobuses, el MCM te ayuda a encontrar el momento en que dos eventos se repetirán simultáneamente.
  • Fracciones: Al sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, el MCM de los denominadores te permite encontrar un denominador común para poder operar.
  • Problemas de periodicidad: Si dos fenómenos se repiten con cierta frecuencia (por ejemplo, uno cada 8 días y otro cada 12 días), el MCM te indica cuándo volverán a ocurrir juntos.

Espero que esta explicación te haya resultado útil. ¡No dudes en preguntar si tienes alguna otra duda!

Métodos para calcular el MCM:

1. Descomposición factorial:

  1. Descomponemos cada número en sus factores primos.
  2. Identificamos todos los factores primos que aparecen, ya sean comunes o no.
  3. El MCM es el producto de todos esos factores primos, elevados a la mayor potencia en la que aparecen.

Ejemplo:

Calculemos el MCM de 12 y 15:

  • Descomposición prima de 12: 2 x 2 x 3 = 22 x 3
  • Descomposición prima de 15: 3 x 5
  • Factores primos: 2, 3 y 5
  • Mayor potencia de 2: 22
  • Mayor potencia de 3: 3
  • Mayor potencia de 5: 5
  • MCM(12, 15) = 22 x 3 x 5 = 60

2. Algorítmo Chileno:

Se basa en la logica de la descomposicion factorial, para encontrar las mínimas potencias primas que se deben multiplicar para encontrar el MCM entre dos o más números:

Funciona así:
\( \begin{array}{cc|l} \hline 12 & 18 & \color{gray}{:2 } \\ 6 & 9 & \color{gray}{:2 }\\ 3 & 9 & \color{gray}{:3 }\\ 1 & 3 & \color{gray}{:3 }\\ \hline 1 & 1 & \color{gray}{2 \bullet 2 \bullet 3 \bullet 3 = 36 } \end{array} \)

  • Escribe en fila los números de los cuales deseas calcular el MCM.

  • Toma el menor número primo (empezando por 2) y divide todos los números de la fila que sean divisibles por este primo.

    • En cada división, el resultado sustituye al número original en la fila.
    • Si ninguno de los números en la fila es divisible por el primo actual, pasa al siguiente número primo (3, 5, 7, etc.).

  • Repite este proceso (dividiendo por el primo actual todas las veces que sea posible) hasta que todos los números de la lista se hayan reducido a 1.

  • Para obtener el MCM, multiplica entre sí todos los números primos que utilizaste para dividir (contando tantas veces cada primo como apariciones efectivas tuvo en las divisiones). Ese producto es el MCM de los números iniciales.


 

3. Relación entre MCD y MCM:

 

Si ya conocemos el MCD de dos números, podemos usar la siguiente fórmula para calcular el MCM:

\( MCM(a, b) = \frac{a \times b}{MCD(a, b)} \)

NOTE QUE ESTA FORMULA PUEDE REESCRIBIRSE DE OTRAS FORMAS...

PROBLEMA : Se sabe que el producto de dos números es 360 y su MCD es 6. ¿Cuál es el MCM de esos dos números? 

Problema desarrollado:

Dos luces intermitentes se encienden a intervalos regulares. Una se enciende cada 10 segundos y la otra cada 15 segundos. Si ambas se encienden simultáneamente en este momento, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a encenderse juntas?

Solución:

Para encontrar el tiempo en que volverán a coincidir, necesitamos calcular el MCM de 10 y 15.

  • Descomposición prima de 10: 2 x 5
  • Descomposición prima de 15: 3 x 5
  • Factores primos: 2, 3 y 5
  • Mayor potencia de 2: 2
  • Mayor potencia de 3: 3
  • Mayor potencia de 5: 5
  • MCM(10, 15) = 2 x 3 x 5 = 30

Por lo tanto, pasarán 30 segundos hasta que las luces vuelvan a encenderse juntas.

¡Practica!

Ejercicios:

Calcula el MCM de los siguientes números:

  • 6 y 8
  • 10 y 15
  • 12, 18 y 24
  • 20 y 25
  • 14, 21 y 35
  • 9, 12 y 15
  • 30 y 40
  • 24, 36 y 48
  • 15, 20, 30 y 45
  • 10, 12, 15 y 18

Problemas:

  1. Dos trenes salen de una estación a diferentes horas. Uno sale cada 45 minutos y el otro cada 60 minutos. Si ambos salen simultáneamente a las 8:00 am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la estación?
  2. Tres amigos se encuentran en un parque para hacer ejercicio. Uno corre cada 12 minutos, otro cada 18 minutos y el tercero cada 24 minutos. Si los tres comienzan a correr juntos a las 9:00 am, ¿a qué hora volverán a encontrarse en el punto de partida?
  3. Dos engranajes de una máquina giran a diferentes velocidades. Uno da una vuelta completa cada 18 segundos y el otro cada 24 segundos. Si ambos comienzan a girar al mismo tiempo, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a estar en la misma posición inicial?
  4. Un autobús sale cada 20 minutos y otro cada 30 minutos. Si ambos salen a las 7:00 am, ¿a qué hora volverán a coincidir en la parada?
  5. Tres luces de colores se encienden a intervalos regulares. La roja se enciende cada 12 segundos, la verde cada 15 segundos y la azul cada 20 segundos. Si las tres se encienden juntas a las 10:00 pm, ¿a qué hora volverán a coincidir?
  6. Dos barcos salen de un puerto a la misma hora. Uno regresa cada 18 días y el otro cada 24 días. ¿Cuántos días pasarán hasta que ambos barcos vuelvan a estar en el puerto al mismo tiempo?
  7. Un grupo de amigos se reúne cada 10 días para jugar fútbol, otro grupo se reúne cada 15 días para jugar baloncesto y un tercer grupo se reúne cada 20 días para jugar voleibol. Si los tres grupos se reunieron hoy, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir?
  8. Cuatro atletas corren en una pista circular. El primero completa una vuelta cada 60 segundos, el segundo cada 75 segundos, el tercero cada 90 segundos y el cuarto cada 100 segundos. Si los cuatro comienzan a correr juntos, ¿cuántos segundos pasarán hasta que vuelvan a coincidir en el punto de partida?

¡A seguir explorando!

El MCM tiene muchas aplicaciones en la vida real y en otras áreas de las matemáticas, como la suma de fracciones con distinto denominador. ¡Sigue investigando y descubre todas sus posibilidades!