Los números naturales
Requisitos de finalización
13. Propiedades de las Potencias
Propiedades de las Potencias
Las potencias tienen varias propiedades que nos permiten simplificar y resolver operaciones de manera más eficiente. A continuación, se presentan las propiedades más importantes, con ejemplos, ejercicios y problemas.
1. Producto de Potencias de Igual Base
Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Fórmula: \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
Ejemplo: \(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)
Ejercicios:
- \(3^2 \times 3^4\) = \(3^{2+4} = 3^6 = 729\)
- \(5^3 \times 5^1\) = \(5^{3+1} = 5^4 = 625\)
- \(10^2 \times 10^5\) = \(10^{2+5} = 10^7 = 10000000\)
- \(2^6 \times 2^0\) = \(2^{6+0} = 2^6 = 64\)
- \(7^2 \times 7^3 \times 7^1\) = \(7^{2+3+1} = 7^6 = 117649\)
- Si \(2^3 \times 2^x = 2^7\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 4
- Si \(a^4 \times a^2 = 64\), ¿cuánto vale \(a\)? a = 2
Problemas:
- Un tipo de bacteria se reproduce duplicando su población cada hora. Si inicialmente hay \(2^3\) bacterias, ¿cuántas habrá después de 4 horas? (Expresa la respuesta como una potencia de 2) \(2^3 \times 2^4 = 2^7\)
- Juan tiene \(3^2\) cajas de canicas. Si en cada caja guarda \(3^3\) canicas, ¿cuántas canicas tiene Juan en total? (Expresa la respuesta como una potencia de 3) \(3^2 \times 3^3 = 3^5\)
- Si se sabe que \(5^x \times 5^3 = 5^7\), ¿cuántas veces se multiplicó la base 5 por sí misma en total? 7 veces
2. Cociente de Potencias de Igual Base
Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Fórmula: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) (donde \(m \ge n\) y \(a \neq 0\))
Ejemplo: \(5^4 \div 5^2 = 5^{4-2} = 5^2 = 25\)
Ejercicios:
- \(2^5 \div 2^3\) = \(2^{5-3} = 2^2 = 4\)
- \(7^6 \div 7^2\) = \(7^{6-2} = 7^4 = 2401\)
- \(10^8 \div 10^4\) = \(10^{8-4} = 10^4 = 10000\)
- \(3^4 \div 3^4\) = \(3^{4-4} = 3^0 = 1\)
- \(6^5 \div 6^1\) = \(6^{5-1} = 6^4 = 1296\)
- Si \(3^x \div 3^2 = 3^3\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 5
- Si \(a^5 \div a^x = a^2\), y \(a^5\) es igual a 32. ¿Cuanto vale a y x? a = 2, x = 3
Problemas:
- Si la población de bacterias se describe con la potencia \(2^6\) y luego de un experimento se reduce a \(2^2\), ¿cuántas veces se redujo la población? (Expresa la respuesta como una potencia de 2) \(2^{6-2} = 2^4\)
- Un terreno cuadrado tiene un área de \(10^6\) metros cuadrados. Si se divide en parcelas de \(10^2\) metros cuadrados, ¿cuántas parcelas se obtendrán? (Expresa la respuesta como una potencia de 10) \(10^{6-2} = 10^4\)
- Si \(7^5 \div 7^x = 7^2\), ¿cuál es el valor de \(x\)? x = 3
3. Potencia de una Potencia
Cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Fórmula: \((a^m)^n = a^{m \times n}\)
Ejemplo: \((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\)
Ejercicios:
- \((2^3)^2\) = \(2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\)
- \((5^2)^4\) = \(5^{2 \times 4} = 5^8 = 390625\)
- \((10^1)^5\) = \(10^{1 \times 5} = 10^5 = 100000\)
- \((4^3)^0\) = \(4^{3 \times 0} = 4^0 = 1\)
- \((7^2)^3\) = \(7^{2 \times 3} = 7^6 = 117649\)
- Si \((2^x)^4 = 2^8\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 2
- Si \((a^2)^x = 81\) y \(a\) es igual a 3. ¿Cuánto vale x? x = 2
Problemas:
- Si una célula se divide en \(2^2\) células hijas y cada célula hija se divide a su vez en \(2^3\) células, ¿cuántas células habrá en la última generación? (Expresa la respuesta como una potencia de 2) \(2^2 \times 2^3 = 2^5\)
- Un terreno tiene \(5^3\) metros cuadrados de superficie. Si se decide ampliarlo de tal manera que su superficie se eleve al cuadrado, ¿cuál será la nueva superficie del terreno? (Expresa la respuesta como una potencia de 5) \((5^3)^2 = 5^6\)
- Si \((3^x)^4 = 3^{12}\), ¿cuál es el valor de \(x\)? x = 3
4. Potencia de Exponente 0
Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.
Fórmula: \(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\))
Ejemplo: \(8^0 = 1\)
Ejercicios:
- \(5^0\) = 1
- \(12^0\) = 1
- \(100^0\) = 1
- \((3^2)^0\) = 1
- \((1/2)^0\) = 1
- Si \(a^x = 1\) y \(a \neq 0\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 0
- Simplificar la expresión: \((2^3 \times 5^2)^0\) = 1
Problemas:
- Si cualquier número elevado a la potencia 0 es 1, ¿cuál es el resultado de la operación \((4^2 \times 4^3 \div 4^5)^0\)? 1
- En un experimento, cualquier configuración inicial no nula elevada a la potencia cero produce 1 gramo de una sustancia. ¿Cuánto se produce si la configuración inicial es \(2345^0\)? 1 gramo
- Si \(x\) es un número diferente de 0, y \(x^y=1\), ¿Qué valor debe tener "y" para que la ecuación sea cierta? y = 0
5. Potencia de Exponente 1
Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.
Fórmula: \(a^1 = a\)
Ejemplo: \(6^1 = 6\)
Ejercicios:
- \(9^1\) = 9
- \(25^1\) = 25
- \(100^1\) = 100
- \((4^2)^1\) = 16
- \((1/3)^1\) = 1/3
- Si \(a^x = a\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 1
- Si \(x^1=8\), cuanto vale x? x = 8
Problemas:
- Si un objeto se mueve a una velocidad de \(7^1\) metros por segundo, ¿cuántos metros recorre en un segundo? 7 metros
- En una tienda, el precio de un producto es de \(20^1\) pesos. Si tienes un cupón de descuento por el mismo monto, ¿cuánto debes pagar? 0 pesos
- Si \(x^1 = 9\), ¿qué valor representa 'x' en este contexto? x = 9
6. Potencia de un Producto
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
Fórmula: \((a \times b)^n = a^n \times b^n\)
Ejemplo: \((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36\)
Ejercicios:
- \((4 \times 5)^2\) = \(4^2 \times 5^2 = 16 \times 25 = 400\)
- \((2 \times 10)^3\) = \(2^3 \times 10^3 = 8 \times 1000 = 8000\)
- \((3 \times 3)^2\) = \(3^2 \times 3^2 = 9 \times 9 = 81\)
- \((6 \times 1)^4\) = \(6^4 \times 1^4 = 1296 \times 1 = 1296\)
- \((5 \times 2)^3\) = \(5^3 \times 2^3 = 125 \times 8 = 1000\)
- Si \((2x)^3 = 1000\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 5
- Simplificar la expresión: \((4 \times 2)^2 \div 2^4\) y luego resolver. = \((4^2 \times 2^2) \div 2^4 = (16 \times 4) \div 16 = 4\)
Problemas:
- Si tienes 3 cajas y en cada caja hay 2 bolsas con 4 chocolates cada una, ¿cuántos chocolates tienes en total? (Expresa la solución usando potencias) \(3 \times 2 \times 4 = 24\), o también \(2^3 \times 3\)
- Un terreno rectangular mide \(2^3\) metros de largo y \(5^1\) metros de ancho. ¿Cuál es el área del terreno? (Expresa la solución usando potencias) \(2^3 \times 5^1 = 8 \times 5 = 40\) metros cuadrados
- Si \((2x)^3 = 64\), cuanto vale x? x = 2
7. Potencia de un Cociente
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.
Fórmula: \((a \div b)^n = a^n \div b^n\) (si \(b \neq 0\))
Ejemplo: \((6 \div 3)^2 = 6^2 \div 3^2 = 36 \div 9 = 4\)
Ejercicios:
- \((8 \div 2)^3\) = \(8^3 \div 2^3 = 512 \div 8 = 64\)
- \((10 \div 5)^2\) = \(10^2 \div 5^2 = 100 \div 25 = 4\)
- \((9 \div 3)^4\) = \(9^4 \div 3^4 = 6561 \div 81 = 81\)
- \((15 \div 3)^3\) = \(15^3 \div 3^3 = 3375 \div 27 = 125\)
- \((1/2 \div 1/4)^2\) = \((1/2)^2 \div (1/4)^2 = 1/4 \div 1/16 = 4\)
- Si \((x \div 3)^2 = 4\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 6
- Si se sabe que \((12 \div x)^2 = 9\), ¿cuánto vale \(x\)? x = 4
Problemas:
- Si tienes \((10 \div 2)^2\) caramelos y quieres repartirlos entre 5 niños, ¿cuántos caramelos le tocan a cada niño? \( (10 \div 2)^2 = 5^2 = 25\) caramelos. \(25 \div 5 = 5\) caramelos por niño.
- Un tanque contiene \((8 \div 4)^5\) litros de agua. Si se extrae la mitad del agua, ¿cuántos litros quedan en el tanque? (Expresa la solución usando potencias) \((8 \div 4)^5 = 2^5 = 32\) litros. La mitad es \(32 \div 2 = 16\) litros, que se puede expresar como \(2^4\) litros.
- Si \((x \div 2)^3=27\), cuanto vale x? x = 6