Área del cono: fórmulas, ejemplos y ejercicios
Repaso rápido de las fórmulas
- Área lateral: \(A_L=\pi r g\)
- Área de la base: \(A_B=\pi r^2\)
- Área total: \(A_T=A_L+A_B=\pi r(g+r)\)
Recuerda: \(r\) es el radio de la base, \(g\) es la generatriz y \(h\) es la altura del cono.
Altura y generatriz no son lo mismo
La altura \(h\) es el segmento perpendicular que va desde el vértice hasta el centro de la base. La generatriz \(g\) es el segmento inclinado que va desde el vértice hasta el borde de la base.
Si conoces el radio y la altura, puedes calcular la generatriz con el teorema de Pitágoras:
\[ g^2=r^2+h^2 \]Representación de \(r\), \(h\) y \(g\)
El siguiente esquema muestra las tres medidas principales que aparecen en los ejercicios de área del cono.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Calcula el área total de un cono con radio \(6\text{ cm}\) y altura \(8\text{ cm}\).
1. Encontrar la generatriz
Como se conoce el radio y la altura, usamos Pitágoras:
\[ g=\sqrt{r^2+h^2} \] \[ g=\sqrt{6^2+8^2} \] \[ g=\sqrt{36+64} \] \[ g=\sqrt{100}=10\text{ cm} \]2. Calcular el área total
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ A_T=\pi\cdot 6(10+6) \] \[ A_T=96\pi\text{ cm}^2 \]Aproximando:
\[ 96\pi\approx 301{,}59\text{ cm}^2 \]Respuesta: el área total es \(96\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^2\).
Ejemplo 2
Un cono tiene una generatriz de \(13\text{ cm}\) y un área de base de \(25\pi\text{ cm}^2\). Calcula el área total.
1. Encontrar el radio
\[ A_B=\pi r^2 \] \[ 25\pi=\pi r^2 \]Dividimos por \(\pi\):
\[ 25=r^2 \] \[ r=5\text{ cm} \]2. Calcular el área lateral
\[ A_L=\pi r g \] \[ A_L=\pi\cdot 5\cdot 13 \] \[ A_L=65\pi\text{ cm}^2 \]3. Calcular el área total
\[ A_T=A_L+A_B \] \[ A_T=65\pi+25\pi \] \[ A_T=90\pi\text{ cm}^2 \]Respuesta: el área total es \(90\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(282{,}74\text{ cm}^2\).
Ejercicios de práctica
Nivel 1: aplicación directa
Ejercicio 1
Calcula el área total de un cono con radio \(7\text{ cm}\) y generatriz \(10\text{ cm}\).
Usamos:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]Reemplazamos \(r=7\) y \(g=10\):
\[ A_T=\pi\cdot 7(10+7) \] \[ A_T=119\pi\text{ cm}^2 \] \[ 119\pi\approx 373{,}85\text{ cm}^2 \]El área total es \(119\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(373{,}85\text{ cm}^2\).
Ejercicio 2
Calcula el área total de un cono con radio \(5\text{ cm}\) y generatriz \(8\text{ cm}\).
El área total es \(65\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(204{,}20\text{ cm}^2\).
Ejercicio 3
Calcula el área total de un cono con radio \(3\text{ cm}\) y altura \(4\text{ cm}\).
Primero encontramos la generatriz:
\[ g=\sqrt{r^2+h^2} \] \[ g=\sqrt{3^2+4^2} \] \[ g=\sqrt{9+16}=5\text{ cm} \]Luego calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ A_T=\pi\cdot 3(5+3) \] \[ A_T=24\pi\text{ cm}^2 \] \[ 24\pi\approx 75{,}40\text{ cm}^2 \]El área total es \(24\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(75{,}40\text{ cm}^2\).
Ejercicio 4
Calcula el área total de un cono con radio \(9\text{ cm}\) y altura \(12\text{ cm}\).
Primero encontramos la generatriz:
\[ g=\sqrt{9^2+12^2} \] \[ g=\sqrt{81+144} \] \[ g=\sqrt{225}=15\text{ cm} \]Luego calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ A_T=\pi\cdot 9(15+9) \] \[ A_T=216\pi\text{ cm}^2 \] \[ 216\pi\approx 678{,}58\text{ cm}^2 \]El área total es \(216\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(678{,}58\text{ cm}^2\).
Nivel 2: encontrando datos faltantes
Ejercicio 5
Calcula el área lateral de un cono con radio \(7\text{ cm}\) y generatriz \(15\text{ cm}\).
Usamos la fórmula del área lateral:
\[ A_L=\pi r g \] \[ A_L=\pi(7)(15) \] \[ A_L=105\pi\text{ cm}^2 \] \[ 105\pi\approx 329{,}87\text{ cm}^2 \]El área lateral es \(105\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(329{,}87\text{ cm}^2\).
Ejercicio 6
Un cono tiene una generatriz de \(10\text{ cm}\) y una altura de \(8\text{ cm}\). Calcula su área total.
Primero calculamos el radio usando Pitágoras:
\[ g^2=r^2+h^2 \] \[ r^2=g^2-h^2 \] \[ r=\sqrt{10^2-8^2} \] \[ r=\sqrt{100-64} \] \[ r=6\text{ cm} \]Ahora calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ A_T=\pi(6)(10+6) \] \[ A_T=96\pi\text{ cm}^2 \] \[ 96\pi\approx 301{,}59\text{ cm}^2 \]El área total es \(96\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^2\).
Ejercicio 7
El área lateral de un cono es \(20\pi\text{ cm}^2\) y su radio es \(4\text{ cm}\). Encuentra la generatriz.
Partimos de la fórmula:
\[ A_L=\pi r g \]Despejamos \(g\):
\[ g=\frac{A_L}{\pi r} \]Reemplazamos:
\[ g=\frac{20\pi}{\pi\cdot 4} \] \[ g=5\text{ cm} \]La generatriz mide \(5\text{ cm}\).
Ejercicio 8
Un cono tiene un área total de \(36\pi\text{ cm}^2\) y un radio de \(3\text{ cm}\). Calcula la generatriz.
Usamos:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]Reemplazamos los datos:
\[ 36\pi=\pi(3)(g+3) \]Dividimos por \(\pi\):
\[ 36=3(g+3) \]Dividimos por \(3\):
\[ 12=g+3 \] \[ g=9\text{ cm} \]La generatriz mide \(9\text{ cm}\).
Nivel 3: problemas con más pasos
Ejercicio 9
Un cono tiene un área de base de \(25\pi\text{ cm}^2\) y una generatriz de \(13\text{ cm}\). Calcula su área lateral.
Primero encontramos el radio:
\[ A_B=\pi r^2 \] \[ 25\pi=\pi r^2 \] \[ r^2=25 \] \[ r=5\text{ cm} \]Ahora calculamos el área lateral:
\[ A_L=\pi r g \] \[ A_L=\pi(5)(13) \] \[ A_L=65\pi\text{ cm}^2 \]El área lateral es \(65\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 10
El área lateral de un cono es \(60\pi\text{ cm}^2\) y su generatriz mide \(12\text{ cm}\). Determina el área total del cono.
Primero encontramos el radio usando \(A_L=\pi r g\):
\[ 60\pi=\pi r(12) \] \[ r=\frac{60\pi}{12\pi} \] \[ r=5\text{ cm} \]Ahora calculamos el área de la base:
\[ A_B=\pi r^2 \] \[ A_B=\pi(5)^2 \] \[ A_B=25\pi\text{ cm}^2 \]Finalmente:
\[ A_T=A_L+A_B \] \[ A_T=60\pi+25\pi \] \[ A_T=85\pi\text{ cm}^2 \]El área total es \(85\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 11
El área total de un cono es \(90\pi\text{ cm}^2\) y su radio es \(5\text{ cm}\). Calcula su altura.
Primero encontramos la generatriz:
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ 90\pi=\pi(5)(g+5) \]Dividimos por \(5\pi\):
\[ 18=g+5 \] \[ g=13\text{ cm} \]Ahora usamos Pitágoras:
\[ g^2=r^2+h^2 \] \[ h^2=g^2-r^2 \] \[ h=\sqrt{13^2-5^2} \] \[ h=\sqrt{169-25} \] \[ h=12\text{ cm} \]La altura del cono es \(12\text{ cm}\).
Ejercicio 12
El diámetro de la base de un cono es igual a su generatriz. Si el radio mide \(5\text{ cm}\), calcula el área total.
El diámetro es el doble del radio:
\[ d=2r \] \[ d=2(5)=10\text{ cm} \]Como el diámetro es igual a la generatriz:
\[ g=10\text{ cm} \]Calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ A_T=\pi(5)(10+5) \] \[ A_T=75\pi\text{ cm}^2 \]El área total es \(75\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 13
Un cono tiene una generatriz que mide el doble del radio de su base. Si el área de la base es \(36\pi\text{ cm}^2\), calcula el área lateral.
Primero encontramos el radio:
\[ A_B=\pi r^2 \] \[ 36\pi=\pi r^2 \] \[ r^2=36 \] \[ r=6\text{ cm} \]La generatriz mide el doble del radio:
\[ g=2r \] \[ g=2(6)=12\text{ cm} \]Calculamos el área lateral:
\[ A_L=\pi r g \] \[ A_L=\pi(6)(12) \] \[ A_L=72\pi\text{ cm}^2 \]El área lateral es \(72\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 14
Un cono tiene una altura de \(16\text{ cm}\) y un área total de \(384\pi\text{ cm}^2\). Calcula la generatriz.
Usamos las relaciones:
\[ A_T=\pi r(g+r) \] \[ g^2=r^2+h^2 \]Como \(h=16\), se cumple:
\[ g^2-r^2=16^2 \] \[ g^2-r^2=256 \]Factorizamos la diferencia de cuadrados:
\[ (g-r)(g+r)=256 \]Además, desde el área total:
\[ 384\pi=\pi r(g+r) \] \[ 384=r(g+r) \]La terna \(12-16-20\) cumple la relación pitagórica:
\[ 20^2=12^2+16^2 \]Probamos \(r=12\) y \(g=20\) en el área total:
\[ A_T=\pi(12)(20+12) \] \[ A_T=\pi(12)(32) \] \[ A_T=384\pi\text{ cm}^2 \]Como cumple las condiciones del problema, la generatriz es:
\[ g=20\text{ cm} \]La generatriz mide \(20\text{ cm}\).