Repaso rápido de las fórmulas
- Área lateral: \(A_L=\pi r g\)
- Área de la base: \(A_B=\pi r^2\)
- Área total: \(A_T=A_L+A_B=\pi r(g+r)\)
Recuerda: \(r\) es el radio, \(g\) es la generatriz y \(h\) es la altura.
Altura y generatriz no son lo mismo
La altura \(h\) es la línea perpendicular desde el vértice a la base. La generatriz \(g\) es la línea inclinada que va desde el vértice hasta el borde de la base. Si te dan una y necesitas la otra, usa el Teorema de Pitágoras:
\[ g^2=r^2+h^2 \]
Representación de \(r\), \(h\) y \(g\)
El siguiente esquema muestra las tres medidas principales que aparecen en los ejercicios de área del cono.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1
Calcula el área total de un cono con radio \(6\text{ cm}\) y altura \(8\text{ cm}\).
1. Encontrar la generatriz:
\[ g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm} \]
2. Calcular el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi\cdot 6(10+6)=96\pi\text{ cm}^2 \]
Aproximando:
\[ 96\pi\approx 301{,}59\text{ cm}^2 \]
Respuesta: El área total es \(96\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^2\).
Ejemplo 2
Un cono tiene una generatriz de \(13\text{ cm}\) y un área de base de \(25\pi\text{ cm}^2\). Calcula el área total.
1. Encontrar el radio:
\[ A_B=\pi r^2 \]
\[ 25\pi=\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=25 \quad\Longrightarrow\quad r=5\text{ cm} \]
2. Calcular el área lateral:
\[ A_L=\pi r g=\pi\cdot 5\cdot 13=65\pi\text{ cm}^2 \]
3. Calcular el área total:
\[ A_T=A_L+A_B=65\pi+25\pi=90\pi\text{ cm}^2 \]
Respuesta: El área total es \(90\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(282{,}74\text{ cm}^2\).
Ejercicios de práctica
Nivel 1: aplicación directa
Ejercicio 1
Calcula el área total de un cono con radio \(7\text{ cm}\) y generatriz \(10\text{ cm}\).
Usamos:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]
Reemplazamos:
\[ A_T=\pi\cdot 7(10+7)=119\pi\text{ cm}^2 \]
\[ 119\pi\approx 373{,}85\text{ cm}^2 \]
El área total es \(119\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(373{,}85\text{ cm}^2\).
Ejercicio 2
Calcula el área total de un cono con radio \(5\text{ cm}\) y generatriz \(8\text{ cm}\).
\[ A_T=\pi r(g+r) \]
\[ A_T=\pi\cdot 5(8+5)=65\pi\text{ cm}^2 \]
\[ 65\pi\approx 204{,}20\text{ cm}^2 \]
El área total es \(65\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(204{,}20\text{ cm}^2\).
Ejercicio 3
Calcula el área total de un cono con radio \(3\text{ cm}\) y altura \(4\text{ cm}\).
Primero encontramos la generatriz:
\[ g=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\text{ cm} \]
Luego:
\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi\cdot 3(5+3)=24\pi\text{ cm}^2 \]
\[ 24\pi\approx 75{,}40\text{ cm}^2 \]
El área total es \(24\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(75{,}40\text{ cm}^2\).
Ejercicio 4
Calcula el área total de un cono con radio \(9\text{ cm}\) y altura \(12\text{ cm}\).
Primero encontramos la generatriz:
\[ g=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=15\text{ cm} \]
Luego:
\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi\cdot 9(15+9)=216\pi\text{ cm}^2 \]
\[ 216\pi\approx 678{,}58\text{ cm}^2 \]
El área total es \(216\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(678{,}58\text{ cm}^2\).
Nivel 2: encontrando datos faltantes
Ejercicio 5
Calcula el área lateral de un cono con radio \(7\text{ cm}\) y generatriz \(15\text{ cm}\).
Usamos la fórmula del área lateral:
\[ A_L=\pi r g \]
\[ A_L=\pi(7)(15)=105\pi\text{ cm}^2 \]
\[ 105\pi\approx 329{,}87\text{ cm}^2 \]
El área lateral es \(105\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(329{,}87\text{ cm}^2\).
Ejercicio 6
Un cono tiene una generatriz de \(10\text{ cm}\) y una altura de \(8\text{ cm}\). Calcula su área total.
Primero calculamos el radio:
\[ r=\sqrt{g^2-h^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=6\text{ cm} \]
Ahora calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi(6)(10+6)=96\pi\text{ cm}^2 \]
\[ 96\pi\approx 301{,}59\text{ cm}^2 \]
El área total es \(96\pi\text{ cm}^2\), aproximadamente \(301{,}59\text{ cm}^2\).
Ejercicio 7
El área lateral de un cono es \(20\pi\text{ cm}^2\) y su radio es \(4\text{ cm}\). Encuentra la generatriz.
Partimos de:
\[ A_L=\pi r g \]
Despejamos \(g\):
\[ g=\frac{A_L}{\pi r} \]
Reemplazamos:
\[ g=\frac{20\pi}{\pi\cdot 4}=5\text{ cm} \]
La generatriz mide \(5\text{ cm}\).
Ejercicio 8
Un cono tiene un área total de \(36\pi\text{ cm}^2\) y un radio de \(3\text{ cm}\). Calcula la generatriz.
Usamos:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]
Reemplazamos los datos:
\[ 36\pi=\pi(3)(g+3) \]
Dividimos por \(\pi\):
\[ 36=3(g+3) \]
\[ 12=g+3 \]
\[ g=9\text{ cm} \]
La generatriz mide \(9\text{ cm}\).
Nivel 3: problemas con más pasos
Ejercicio 9
Un cono tiene un área de base de \(25\pi\text{ cm}^2\) y una generatriz de \(13\text{ cm}\). Calcula su área lateral.
Primero encontramos el radio:
\[ A_B=\pi r^2 \]
\[ 25\pi=\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=25 \quad\Longrightarrow\quad r=5\text{ cm} \]
Ahora calculamos el área lateral:
\[ A_L=\pi r g=\pi(5)(13)=65\pi\text{ cm}^2 \]
El área lateral es \(65\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 10
El área lateral de un cono es \(60\pi\text{ cm}^2\) y su generatriz mide \(12\text{ cm}\). Determina el área total del cono.
Primero encontramos el radio usando \(A_L=\pi r g\):
\[ 60\pi=\pi r(12) \]
\[ r=\frac{60\pi}{12\pi}=5\text{ cm} \]
Ahora calculamos el área de la base:
\[ A_B=\pi r^2=\pi(5)^2=25\pi\text{ cm}^2 \]
Finalmente:
\[ A_T=A_L+A_B=60\pi+25\pi=85\pi\text{ cm}^2 \]
El área total es \(85\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 11
El área total de un cono es \(90\pi\text{ cm}^2\) y su radio es \(5\text{ cm}\). Calcula su altura.
Primero encontramos la generatriz:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]
\[ 90\pi=\pi(5)(g+5) \]
Dividimos por \(5\pi\):
\[ 18=g+5 \]
\[ g=13\text{ cm} \]
Ahora usamos Pitágoras:
\[ h=\sqrt{g^2-r^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=12\text{ cm} \]
La altura del cono es \(12\text{ cm}\).
Ejercicio 12
El diámetro de la base de un cono es igual a su generatriz. Si el radio mide \(5\text{ cm}\), calcula el área total.
El diámetro es:
\[ d=2r=2(5)=10\text{ cm} \]
Como el diámetro es igual a la generatriz:
\[ g=10\text{ cm} \]
Calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r)=\pi(5)(10+5)=75\pi\text{ cm}^2 \]
El área total es \(75\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 13
Un cono tiene una generatriz que mide el doble del radio de su base. Si el área de la base es \(36\pi\text{ cm}^2\), calcula el área lateral.
Primero encontramos el radio:
\[ A_B=\pi r^2 \]
\[ 36\pi=\pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^2=36 \quad\Longrightarrow\quad r=6\text{ cm} \]
La generatriz mide el doble del radio:
\[ g=2r=12\text{ cm} \]
Calculamos el área lateral:
\[ A_L=\pi r g=\pi(6)(12)=72\pi\text{ cm}^2 \]
El área lateral es \(72\pi\text{ cm}^2\).
Ejercicio 14
Un cono tiene una altura de \(16\text{ cm}\) y un área total de \(384\pi\text{ cm}^2\). Calcula la generatriz.
Usamos las relaciones:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]
\[ g^2=r^2+h^2 \]
Como \(h=16\), buscamos una terna pitagórica con altura \(16\). La terna \(12-16-20\) cumple:
\[ 20^2=12^2+16^2 \]
Entonces \(r=12\text{ cm}\) y \(g=20\text{ cm}\). Verificamos el área total:
\[ A_T=\pi(12)(20+12)=384\pi\text{ cm}^2 \]
La generatriz mide \(20\text{ cm}\).