Libro Números Naturales
6. División de Números Naturales
Dividendo, divisor, cociente y resto
La división es una operación que consiste en repartir una cantidad en partes iguales o averiguar cuántas veces una cantidad cabe en otra.
El número que se reparte se llama dividendo, el número por el que se divide se llama divisor, el resultado es el cociente y lo que sobra es el resto o residuo.
Propiedades de la División
Propiedades a recordar
- No es conmutativa: el orden importa. \(10 \div 2\) no es lo mismo que \(2 \div 10\).
- No es asociativa: no se pueden agrupar de cualquier forma. \((20 \div 4) \div 2\) no es lo mismo que \(20 \div (4 \div 2)\).
- Elemento neutro: cualquier número dividido entre \(1\) da el mismo número: \(a \div 1 = a\).
- División por sí mismo: si \(a \ne 0\), entonces \(a \div a = 1\).
¡Prohibido dividir por cero!
En las matemáticas que usamos en el colegio, la división por cero no está definida. No se puede repartir una cantidad en cero partes.
Ejercicios de División
Nivel 1: Divisores de un dígito (sin resto)
En este nivel, las divisiones serán exactas, es decir, el resto será \(0\).
Ejemplo: \(46815 \div 5\)
\[ \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{4} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{8'} & \color{blue}{1'} & \color{blue}{5'} & : \fbox{5} =\color{purple}{9}\color{red}{3}\color{magenta}{6}\color{red}{3} & Tabla.del.5 \\ \hline \color{purple}{-4} & \color{purple}{5} & & & & & \color{gray}{5 \bullet 1 =5}\\ & \color{pink}{1} & \color{blue}{8} & & & & \color{gray}{5 \bullet 2 =10}\\ & \color{red}{-1} & \color{red}{5} & & & & \color{red}{5 \bullet 3 =15}\\ & & \color{pink}{3} & \color{blue}{1} & & & \color{gray}{5 \bullet 4 =20}\\ & & \color{magenta}{-3} & \color{magenta}{0} & & & \color{gray}{5 \bullet 5 =25}\\ & & & \color{pink}{1} & \color{blue}{5} & & \color{magenta}{5 \bullet 6 =30}\\ & & & \color{red}{1} & \color{red}{5} & & \color{gray}{5 \bullet 7 =35}\\ & & & & 0 & & \color{gray}{5 \bullet 8 =40}\\ & & & & & & \color{purple}{5 \bullet 9 =45}\\ \end{array} \]
Explicación del procedimiento:
- Como \(4\) es menor que \(5\), tomamos 46. En la tabla del \(5\), lo más cercano es \(5 \times 9 = 45\). Anotamos 9 en el cociente. Restamos \(46 - 45 = 1\).
- Bajamos el \(8\), formando 18. En la tabla del \(5\), lo más cercano es \(5 \times 3 = 15\). Anotamos 3 en el cociente. Restamos \(18 - 15 = 3\).
- Bajamos el \(1\), formando 31. Lo más cercano es \(5 \times 6 = 30\). Anotamos 6 en el cociente. Restamos \(31 - 30 = 1\).
- Bajamos el \(5\), formando 15. Exactamente \(5 \times 3 = 15\). Anotamos 3 en el cociente. Restamos \(15 - 15 = 0\).
Resultado: cociente \(9363\) y resto \(0\).
Ejercicio 1
Calcula \(6 \div 2\).
Buscamos cuántas veces cabe \(2\) en \(6\):
\[ 2 \times 3 = 6 \]
Como la división es exacta, el resto es \(0\).
\[ 6 \div 2 = \boxed{3} \]
Ejercicio 2
Calcula \(15 \div 3\).
Buscamos un número que multiplicado por \(3\) dé \(15\):
\[ 3 \times 5 = 15 \]
Entonces:
\[ 15 \div 3 = \boxed{5} \]
Ejercicio 3
Calcula \(24 \div 4\).
Usamos la relación entre multiplicación y división:
\[ 4 \times 6 = 24 \]
Por lo tanto:
\[ 24 \div 4 = \boxed{6} \]
Ejercicio 4
Calcula \(125 \div 5\).
Como \(5 \times 25 = 125\), la división es exacta.
\[ 125 \div 5 = \boxed{25} \]
Ejercicio 5
Calcula \(248 \div 8\).
Probamos con \(31\):
\[ 8 \times 31 = 248 \]
Entonces la división es exacta:
\[ 248 \div 8 = \boxed{31} \]
Ejercicio 6
Calcula \(369 \div 3\).
Dividimos por partes:
\[ 369 = 300+60+9 \]
\[ 300 \div 3 = 100,\qquad 60 \div 3 = 20,\qquad 9 \div 3 = 3 \]
\[ 100+20+3=123 \]
Por lo tanto:
\[ 369 \div 3 = \boxed{123} \]
Ejercicio 7
Calcula \(1234 \div 2\).
Buscamos la mitad de \(1234\):
\[ 1234 \div 2 = 617 \]
Comprobamos:
\[ 617 \times 2 = 1234 \]
Entonces:
\[ 1234 \div 2 = \boxed{617} \]
Ejercicio 8
Calcula \(4563 \div 3\).
Buscamos un cociente \(q\) tal que \(3q=4563\).
\[ 1521 \times 3 = 4563 \]
Por lo tanto:
\[ 4563 \div 3 = \boxed{1521} \]
Ejercicio 9
Calcula \(7895 \div 5\).
Comprobamos con multiplicación:
\[ 1579 \times 5 = 7895 \]
Entonces:
\[ 7895 \div 5 = \boxed{1579} \]
Ejercicio 10
Calcula \(9876 \div 6\).
Buscamos cuántas veces cabe \(6\) en \(9876\):
\[ 1646 \times 6 = 9876 \]
Por lo tanto:
\[ 9876 \div 6 = \boxed{1646} \]
Nivel 2: Divisores de un dígito (con resto)
En este nivel, las divisiones pueden tener un resto distinto de cero.
Ejemplo de división con resto: \(1659 \div 8\)
\[ \begin{array}{ccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{5'} & \color{blue}{9'} & : \fbox{8} = \color{purple}{2}\color{red}{0}\color{magenta}{7} & \text{Tabla del 8} \\ \hline \color{purple}{-1} & \color{purple}{6} & & & & \color{gray}{8 \times 1 = 8} \\ & \color{pink}{0} & \color{blue}{5} & & & \color{purple}{8 \times 2 = 16} \\ & \color{red}{-0} & \color{red}{0} & & & \color{gray}{8 \times 3 = 24} \\ & & \color{pink}{5} & \color{blue}{9} & & \color{gray}{8 \times 4 = 32} \\ & & \color{magenta}{-5} & \color{magenta}{6} & & \color{gray}{8 \times 5 = 40} \\ & & & \color{green}{3} & & \color{gray}{8 \times 6 = 48} \\ & & & & & \color{magenta}{8 \times 7 = 56} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 8 = 64} \\ & & & & & \color{gray}{8 \times 9 = 72} \\ \end{array} \]
Explicación:
- Tomamos 16. En la tabla del \(8\), \(8 \times 2 = 16\). Anotamos 2 en el cociente. Restamos \(16 - 16 = 0\).
- Bajamos el 5. Como \(5\) es menor que \(8\), el múltiplo que sirve es \(8 \times 0 = 0\). Anotamos 0 en el cociente. Restamos \(5 - 0 = 5\).
- Bajamos el 9, formando 59. El múltiplo más cercano es \(8 \times 7 = 56\). Anotamos 7 en el cociente. Restamos \(59 - 56 = 3\).
Resultado: cociente \(207\) y resto \(3\).
¡Comprueba tu división!
Para saber si una división está correcta, usa esta relación:
Si el resultado coincide con el dividendo original, la división está correcta.
Ejercicio 11
Calcula \(7 \div 2\).
El mayor múltiplo de \(2\) que no supera a \(7\) es:
\[ 2 \times 3 = 6 \]
Calculamos el resto:
\[ 7-6=1 \]
Por lo tanto, \(7 \div 2\) tiene cociente \(\boxed{3}\) y resto \(\boxed{1}\).
Ejercicio 12
Calcula \(16 \div 3\).
El mayor múltiplo de \(3\) que no supera a \(16\) es:
\[ 3 \times 5 = 15 \]
El resto es:
\[ 16-15=1 \]
Cociente \(\boxed{5}\) y resto \(\boxed{1}\).
Ejercicio 13
Calcula \(27 \div 4\).
El mayor múltiplo de \(4\) que no supera a \(27\) es:
\[ 4 \times 6 = 24 \]
El resto es:
\[ 27-24=3 \]
Cociente \(\boxed{6}\) y resto \(\boxed{3}\).
Ejercicio 14
Calcula \(128 \div 5\).
El mayor múltiplo de \(5\) que no supera a \(128\) es:
\[ 5 \times 25 = 125 \]
El resto es:
\[ 128-125=3 \]
Cociente \(\boxed{25}\) y resto \(\boxed{3}\).
Ejercicio 15
Calcula \(250 \div 8\).
El mayor múltiplo de \(8\) que no supera a \(250\) es:
\[ 8 \times 31 = 248 \]
El resto es:
\[ 250-248=2 \]
Cociente \(\boxed{31}\) y resto \(\boxed{2}\).
Ejercicio 16
Calcula \(370 \div 3\).
El mayor múltiplo de \(3\) que no supera a \(370\) es:
\[ 3 \times 123 = 369 \]
El resto es:
\[ 370-369=1 \]
Cociente \(\boxed{123}\) y resto \(\boxed{1}\).
Ejercicio 17
Calcula \(1235 \div 2\).
El mayor múltiplo de \(2\) que no supera a \(1235\) es:
\[ 2 \times 617 = 1234 \]
El resto es:
\[ 1235-1234=1 \]
Cociente \(\boxed{617}\) y resto \(\boxed{1}\).
Ejercicio 18
Calcula \(4568 \div 3\).
El mayor múltiplo de \(3\) que no supera a \(4568\) es:
\[ 3 \times 1522 = 4566 \]
El resto es:
\[ 4568-4566=2 \]
Cociente \(\boxed{1522}\) y resto \(\boxed{2}\).
Ejercicio 19
Calcula \(7896 \div 5\).
El mayor múltiplo de \(5\) que no supera a \(7896\) es:
\[ 5 \times 1579 = 7895 \]
El resto es:
\[ 7896-7895=1 \]
Cociente \(\boxed{1579}\) y resto \(\boxed{1}\).
Ejercicio 20
Calcula \(9875 \div 6\).
El mayor múltiplo de \(6\) que no supera a \(9875\) es:
\[ 6 \times 1645 = 9870 \]
El resto es:
\[ 9875-9870=5 \]
Cociente \(\boxed{1645}\) y resto \(\boxed{5}\).
Nivel 3: Divisores de dos dígitos
El procedimiento es el mismo, pero ahora debemos estimar usando múltiplos de un divisor de dos dígitos.
Ejemplo: \(1693 \div 12\)
\[ \begin{array}{cccccc|l} \color{blue}{1} & \color{blue}{6'} & \color{blue}{9'} & \color{blue}{3'} & : \fbox{12} = \color{magenta}{1}\color{red}{4}\color{magenta}{1} & & \text{Tabla del 12} \\ \hline \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & & & & \color{magenta}{12 \bullet 1 = 12}\\ & \color{pink}{4} & \color{blue}{9} & & & & \color{gray}{12 \bullet 2 = 24}\\ & \color{red}{-4} & \color{red}{8} & & & & \color{gray}{12 \bullet 3 = 36}\\ & & \color{pink}{1} & \color{blue}{3} & & & \color{red}{12 \bullet 4 = 48}\\ & & \color{magenta}{-1} & \color{magenta}{2} & & & \color{gray}{12 \bullet 5 = 60}\\ & & & \color{green}{1} & & & \color{gray}{\dots} \\ \end{array} \]
Explicación:
- Tomamos 16. El múltiplo de \(12\) que más se acerca sin pasarse es \(12 \times 1 = 12\). Anotamos 1 en el cociente. Restamos \(16 - 12 = 4\).
- Bajamos el \(9\), formando 49. El múltiplo más cercano es \(12 \times 4 = 48\). Anotamos 4 en el cociente. Restamos \(49 - 48 = 1\).
- Bajamos el \(3\), formando 13. El más cercano es \(12 \times 1 = 12\). Anotamos 1 en el cociente. Restamos \(13 - 12 = 1\).
Resultado: cociente \(141\) y resto \(1\).
Ejercicio 21
Calcula \(123 \div 12\).
El mayor múltiplo de \(12\) que no supera a \(123\) es:
\[ 12 \times 10 = 120 \]
El resto es:
\[ 123-120=3 \]
Cociente \(\boxed{10}\) y resto \(\boxed{3}\).
Ejercicio 22
Calcula \(456 \div 24\).
Comprobamos con multiplicación:
\[ 24 \times 19 = 456 \]
Como coincide exactamente, el resto es \(0\).
\[ 456 \div 24 = \boxed{19} \]
Ejercicio 23
Calcula \(789 \div 32\).
El mayor múltiplo de \(32\) que no supera a \(789\) es:
\[ 32 \times 24 = 768 \]
El resto es:
\[ 789-768=21 \]
Cociente \(\boxed{24}\) y resto \(\boxed{21}\).
Ejercicio 24
Calcula \(1024 \div 16\).
Comprobamos:
\[ 16 \times 64 = 1024 \]
Entonces la división es exacta:
\[ 1024 \div 16 = \boxed{64} \]
Ejercicio 25
Calcula \(5678 \div 45\).
El mayor múltiplo de \(45\) que no supera a \(5678\) es:
\[ 45 \times 126 = 5670 \]
El resto es:
\[ 5678-5670=8 \]
Cociente \(\boxed{126}\) y resto \(\boxed{8}\).
Ejercicio 26
Calcula \(9876 \div 78\).
El mayor múltiplo de \(78\) que no supera a \(9876\) es:
\[ 78 \times 126 = 9828 \]
El resto es:
\[ 9876-9828=48 \]
Cociente \(\boxed{126}\) y resto \(\boxed{48}\).
Ejercicio 27
Calcula \(1000 \div 25\).
Comprobamos:
\[ 25 \times 40 = 1000 \]
Por lo tanto:
\[ 1000 \div 25 = \boxed{40} \]
Ejercicio 28
Calcula \(2468 \div 57\).
El mayor múltiplo de \(57\) que no supera a \(2468\) es:
\[ 57 \times 43 = 2451 \]
El resto es:
\[ 2468-2451=17 \]
Cociente \(\boxed{43}\) y resto \(\boxed{17}\).
Ejercicio 29
Calcula \(9753 \div 86\).
El mayor múltiplo de \(86\) que no supera a \(9753\) es:
\[ 86 \times 113 = 9718 \]
El resto es:
\[ 9753-9718=35 \]
Cociente \(\boxed{113}\) y resto \(\boxed{35}\).
Ejercicio 30
Calcula \(1111 \div 11\).
Comprobamos:
\[ 11 \times 101 = 1111 \]
Entonces:
\[ 1111 \div 11 = \boxed{101} \]
Nivel 4: Divisores de tres o más dígitos
El procedimiento no cambia, pero requiere más cálculo y estimación.
Ejercicio 31
Calcula \(5678 \div 123\).
El mayor múltiplo de \(123\) que no supera a \(5678\) es:
\[ 123 \times 46 = 5658 \]
El resto es:
\[ 5678-5658=20 \]
Cociente \(\boxed{46}\) y resto \(\boxed{20}\).
Ejercicio 32
Calcula \(9876 \div 456\).
El mayor múltiplo de \(456\) que no supera a \(9876\) es:
\[ 456 \times 21 = 9576 \]
El resto es:
\[ 9876-9576=300 \]
Cociente \(\boxed{21}\) y resto \(\boxed{300}\).
Ejercicio 33
Calcula \(12345 \div 789\).
El mayor múltiplo de \(789\) que no supera a \(12345\) es:
\[ 789 \times 15 = 11835 \]
El resto es:
\[ 12345-11835=510 \]
Cociente \(\boxed{15}\) y resto \(\boxed{510}\).
Ejercicio 34
Calcula \(24680 \div 102\).
El mayor múltiplo de \(102\) que no supera a \(24680\) es:
\[ 102 \times 241 = 24582 \]
El resto es:
\[ 24680-24582=98 \]
Cociente \(\boxed{241}\) y resto \(\boxed{98}\).
Ejercicio 35
Calcula \(13579 \div 246\).
El mayor múltiplo de \(246\) que no supera a \(13579\) es:
\[ 246 \times 55 = 13530 \]
El resto es:
\[ 13579-13530=49 \]
Cociente \(\boxed{55}\) y resto \(\boxed{49}\).
Ejercicio 36
Calcula \(86420 \div 975\).
El mayor múltiplo de \(975\) que no supera a \(86420\) es:
\[ 975 \times 88 = 85800 \]
El resto es:
\[ 86420-85800=620 \]
Cociente \(\boxed{88}\) y resto \(\boxed{620}\).
Ejercicio 37
Calcula \(11111 \div 111\).
El mayor múltiplo de \(111\) que no supera a \(11111\) es:
\[ 111 \times 100 = 11100 \]
El resto es:
\[ 11111-11100=11 \]
Cociente \(\boxed{100}\) y resto \(\boxed{11}\).
Ejercicio 38
Calcula \(99999 \div 333\).
El mayor múltiplo de \(333\) que no supera a \(99999\) es:
\[ 333 \times 300 = 99900 \]
El resto es:
\[ 99999-99900=99 \]
Cociente \(\boxed{300}\) y resto \(\boxed{99}\).
Ejercicio 39
Calcula \(10000 \div 456\).
El mayor múltiplo de \(456\) que no supera a \(10000\) es:
\[ 456 \times 21 = 9576 \]
El resto es:
\[ 10000-9576=424 \]
Cociente \(\boxed{21}\) y resto \(\boxed{424}\).
Ejercicio 40
Calcula \(88888 \div 222\).
El mayor múltiplo de \(222\) que no supera a \(88888\) es:
\[ 222 \times 400 = 88800 \]
El resto es:
\[ 88888-88800=88 \]
Cociente \(\boxed{400}\) y resto \(\boxed{88}\).
Resolución de Problemas con División
¿Cuándo debo dividir?
La división responde principalmente a dos grandes preguntas: repartir en partes iguales o averiguar cuántas veces cabe una cantidad en otra. Busca estas pistas en los problemas:
- Términos de reparto: “repartir”, “distribuir”, “compartir”, “a cada uno le tocan...”.
- Términos de agrupamiento: “¿cuántos grupos se pueden formar?” o “¿cuántas veces cabe?”.
- Fracciones de un todo: “la mitad”, “la tercera parte”, “la cuarta parte”, etc.
- Palabras directas: a veces el problema dirá “dividir” o “cociente”.
Problema 1
Se quieren repartir 48 chocolates entre 6 amigos en partes iguales. ¿Cuántos chocolates le tocan a cada uno?
Se reparten \(48\) chocolates en \(6\) partes iguales:
\[ 48 \div 6 = 8 \]
A cada amigo le tocan \(\boxed{8}\) chocolates.
Problema 2
Un padre quiere repartir \(\$100\) entre sus 4 hijos. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?
Se reparten \(\$100\) en \(4\) partes iguales:
\[ 100 \div 4 = 25 \]
A cada hijo le corresponden \(\boxed{\$25}\).
Problema 3
En una escuela hay 240 estudiantes. Si se quieren formar equipos de 8 estudiantes, ¿cuántos equipos se pueden formar?
Debemos averiguar cuántos grupos de \(8\) caben en \(240\):
\[ 240 \div 8 = 30 \]
Se pueden formar \(\boxed{30}\) equipos.
Problema 4
Un libro tiene 360 páginas. Si quiero leer el libro en 12 días, leyendo la misma cantidad cada día, ¿cuántas páginas debo leer por día?
Distribuimos las \(360\) páginas en \(12\) días:
\[ 360 \div 12 = 30 \]
Debe leer \(\boxed{30}\) páginas por día.
Problema 5
Se compraron 50 metros de tela para hacer 10 vestidos iguales. ¿Cuánta tela se usará para cada vestido?
Repartimos \(50\) metros en \(10\) vestidos iguales:
\[ 50 \div 10 = 5 \]
Para cada vestido se usarán \(\boxed{5}\) metros de tela.
Problema 6
Un agricultor cosechó 729 manzanas y quiere guardarlas en cajas. Si en cada caja caben 9 manzanas, ¿cuántas cajas necesita?
Buscamos cuántos grupos de \(9\) manzanas se pueden formar:
\[ 729 \div 9 = 81 \]
Necesita \(\boxed{81}\) cajas.
Problema 7
Una fábrica produjo 7500 juguetes en una semana laboral de 5 días. Si cada día se fabricó la misma cantidad, ¿cuántos juguetes se produjeron por día?
Repartimos \(7500\) juguetes en \(5\) días:
\[ 7500 \div 5 = 1500 \]
Se produjeron \(\boxed{1500}\) juguetes por día.
Problema 8
Un avión recorre 2400 kilómetros en 3 horas a velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorre por hora?
Dividimos la distancia total por la cantidad de horas:
\[ 2400 \div 3 = 800 \]
El avión recorre \(\boxed{800}\) kilómetros por hora.
Problema 9
Se quieren repartir 96 galletas entre un grupo de niños. Si a cada niño le tocan 8 galletas, ¿cuántos niños hay en el grupo?
Buscamos cuántos grupos de \(8\) galletas se pueden formar:
\[ 96 \div 8 = 12 \]
Hay \(\boxed{12}\) niños en el grupo.
Problema 10
María tiene ahorrado \(\$3.600\) y quiere comprar libros que cuestan \(\$900\) cada uno. ¿Cuántos libros puede comprar?
Buscamos cuántas veces cabe \(900\) en \(3600\):
\[ 3600 \div 900 = 4 \]
María puede comprar \(\boxed{4}\) libros.