Libro Números Naturales
8. ¡Explorando el mundo de los números primos!
¿Qué es un número primo y uno compuesto?
Imagina que los números son como bloques de construcción. Algunos son piezas únicas y fundamentales. Esos bloques especiales se llaman números primos.
- Un número primo es un número natural mayor que \(1\) que tiene exactamente dos divisores distintos: \(1\) y él mismo. Ejemplos: \(2\), \(3\), \(5\), \(7\) y \(11\).
- Un número compuesto es un número natural mayor que \(1\) que tiene más de dos divisores. Ejemplos: \(4\), \(6\), \(8\), \(9\) y \(10\).
- El número \(1\) no se considera ni primo ni compuesto.
- Como en esta unidad trabajamos con \(0 \in \mathbb{N}\), recuerda que \(0\) tampoco es primo ni compuesto, porque no es mayor que \(1\).
Ejemplos para entender la diferencia
La clave está en contar cuántos divisores tiene un número. Los divisores elementales son siempre \(1\) y el mismo número.
| Números primos | Números compuestos |
|---|---|
| \(7\) Divisores: \(\{1,7\}\) Tiene solo dos divisores. |
\(9\) Divisores: \(\{1,3,9\}\) Tiene más de dos divisores. |
| \(11\) Divisores: \(\{1,11\}\) Tiene solo dos divisores. |
\(12\) Divisores: \(\{1,2,3,4,6,12\}\) Tiene varios divisores. |
¡A cazar primos con la criba de Eratóstenes!
¿Qué es la criba de Eratóstenes?
La criba de Eratóstenes es un método visual para encontrar todos los números primos hasta un cierto límite. Consiste en ir tachando los números que son múltiplos de otros más pequeños.
Pasos para usar la criba
- Escribe una lista de números, por ejemplo, del \(1\) al \(50\).
- Tacha el número \(1\), porque no es primo.
- Encierra en un círculo el \(2\) y tacha todos sus múltiplos mayores que \(2\).
- Busca el siguiente número no tachado, que será \(3\), y tacha sus múltiplos mayores que \(3\).
- Continúa del mismo modo con \(5\), \(7\) y los siguientes números no tachados.
- Los números que queden sin tachar serán los números primos.
Ejemplo visual de la criba
En la siguiente tabla, los números primos quedan destacados con recuadro y los números compuestos aparecen marcados con una cruz. El \(1\) se deja sin destacar porque no es primo ni compuesto.
| \(1\) | \(\boxed{2}\) | \(\boxed{3}\) | ✕ \(4\) | \(\boxed{5}\) | ✕ \(6\) | \(\boxed{7}\) | ✕ \(8\) | ✕ \(9\) | ✕ \(10\) |
| \(\boxed{11}\) | ✕ \(12\) | \(\boxed{13}\) | ✕ \(14\) | ✕ \(15\) | ✕ \(16\) | \(\boxed{17}\) | ✕ \(18\) | \(\boxed{19}\) | ✕ \(20\) |
| ✕ \(21\) | ✕ \(22\) | \(\boxed{23}\) | ✕ \(24\) | ✕ \(25\) | ✕ \(26\) | ✕ \(27\) | ✕ \(28\) | \(\boxed{29}\) | ✕ \(30\) |
| \(\boxed{31}\) | ✕ \(32\) | ✕ \(33\) | ✕ \(34\) | ✕ \(35\) | ✕ \(36\) | \(\boxed{37}\) | ✕ \(38\) | ✕ \(39\) | ✕ \(40\) |
| \(\boxed{41}\) | ✕ \(42\) | \(\boxed{43}\) | ✕ \(44\) | ✕ \(45\) | ✕ \(46\) | \(\boxed{47}\) | ✕ \(48\) | ✕ \(49\) | ✕ \(50\) |
Por lo tanto, los números primos entre \(1\) y \(50\) son:
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43,\ 47 \]
Descomposición en factores primos
Idea fundamental
Los números primos son los “ladrillos” con los que se construyen los números compuestos. Todo número compuesto puede escribirse como producto de números primos. A esto se le llama descomposición en factores primos.
Ejemplo: descomponer el número \(36\)
Podemos hacerlo con divisiones sucesivas:
- \(36 \div 2 = 18\)
- \(18 \div 2 = 9\)
- \(9 \div 3 = 3\)
- \(3 \div 3 = 1\)
Entonces:
\[ 36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2 \]
También podemos representarlo con un árbol de factores:
Practica la factorización
Ejercicio 1
Descompón \(48\) en factores primos.
Dividimos sucesivamente por números primos:
\[ 48 \div 2 = 24 \]
\[ 24 \div 2 = 12 \]
\[ 12 \div 2 = 6 \]
\[ 6 \div 2 = 3 \]
\[ 3 \div 3 = 1 \]
Entonces:
\[ 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 \]
Ejercicio 2
Descompón \(75\) en factores primos.
Observamos que \(75\) es divisible por \(3\), porque \(7+5=12\), y \(12\) es múltiplo de \(3\).
\[ 75 \div 3 = 25 \]
Luego:
\[ 25 = 5 \cdot 5 \]
Entonces:
\[ 75 = 3 \cdot 5 \cdot 5 = 3 \cdot 5^2 \]
Ejercicio 3
Descompón \(120\) en factores primos.
Dividimos sucesivamente por números primos:
\[ 120 \div 2 = 60 \]
\[ 60 \div 2 = 30 \]
\[ 30 \div 2 = 15 \]
\[ 15 \div 3 = 5 \]
\[ 5 \div 5 = 1 \]
Entonces:
\[ 120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 \]
Ejercicio 4
Descompón \(160\) en factores primos.
Dividimos por \(2\) mientras sea posible:
\[ 160 \div 2 = 80 \]
\[ 80 \div 2 = 40 \]
\[ 40 \div 2 = 20 \]
\[ 20 \div 2 = 10 \]
\[ 10 \div 2 = 5 \]
\[ 5 \div 5 = 1 \]
Entonces:
\[ 160 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^5 \cdot 5 \]
Ejercicio 5
Descompón \(392\) en factores primos.
Como \(392\) es par, dividimos por \(2\):
\[ 392 \div 2 = 196 \]
\[ 196 \div 2 = 98 \]
\[ 98 \div 2 = 49 \]
Ahora \(49\) no es divisible por \(2\), pero sí por \(7\):
\[ 49 \div 7 = 7 \]
\[ 7 \div 7 = 1 \]
Entonces:
\[ 392 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7^2 \]
¿Por qué son importantes los números primos?
Ideas clave
- Todo número compuesto puede expresarse como producto de números primos.
- La descomposición en factores primos ayuda a simplificar fracciones y a encontrar múltiplos y divisores.
- Los números primos aparecen en áreas importantes de la matemática y de la tecnología.
Aplicación en el mundo real: criptografía
En la seguridad digital, como en mensajes, contraseñas o transacciones en internet, se usan operaciones con números primos muy grandes. Por eso, los números primos no solo son importantes en la teoría matemática, sino también en aplicaciones reales.