4. Operaciones con Números Enteros: Suma y Resta

Entendiendo los números enteros con dinero

Imagina que el dinero que tienes son números positivos y el dinero que debes son números negativos. Esta interpretación ayuda a comprender la suma y la resta de números enteros.

  • Si tienes \(\$5\) y recibes \(\$3\) más: \(5+3=8\). Ahora tienes \(\$8\).
  • Si debes \(\$4\) y pides prestado \(\$2\) más: \((-4)+(-2)=-6\). Ahora tu deuda total es de \(\$6\).
  • Si debes \(\$7\) pero solo tienes \(\$5\): \((-7)+5=-2\). Después de pagar, todavía debes \(\$2\).
  • Si tienes \(\$8\) y pagas una deuda de \(\$3\): \(8+(-3)=5\). Después de pagar, te quedan \(\$5\).

Suma de Números Enteros

Reglas para sumar enteros

1. Números con el mismo signo: se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo común.

  • \(3+5=8\)
  • \((-4)+(-2)=-6\)

Suma de números enteros con el mismo signo

2. Números con distinto signo: se restan sus valores absolutos y el resultado queda con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

  • \(7+(-2)=5\), porque \(7\) tiene mayor valor absoluto que \(2\).
  • \((-8)+3=-5\), porque \(8\) tiene mayor valor absoluto que \(3\).

Suma de números enteros con distinto signo

Visualizando la suma en la recta numérica

Usar la recta numérica es una estrategia visual para comprender cómo se comportan los números enteros.

  • Sumar un número positivo significa moverse hacia la derecha.
  • Sumar un número negativo significa moverse hacia la izquierda.

Caso 1: positivo + positivo

Calculemos:

\[ 3+2 \]

Partimos del \(3\). Como sumamos \(2\), nos movemos 2 unidades hacia la derecha.

Entonces:

\[ 3+2=5 \]

Caso 2: negativo + negativo

Calculemos:

\[ (-4)+(-1) \]

Partimos del \(-4\). Como sumamos \(-1\), nos movemos 1 unidad hacia la izquierda.

Entonces:

\[ (-4)+(-1)=-5 \]

Caso 3: positivo + negativo

Calculemos:

\[ 5+(-3) \]

Partimos del \(5\). Como sumamos \(-3\), nos movemos 3 unidades hacia la izquierda.

Entonces:

\[ 5+(-3)=2 \]

Caso 4: negativo + positivo

Calculemos:

\[ (-2)+6 \]

Partimos del \(-2\). Como sumamos \(6\), nos movemos 6 unidades hacia la derecha.

Entonces:

\[ (-2)+6=4 \]

Resta de Números Enteros

Idea clave: transformar la resta en suma

Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.

En general:

\[ a-b=a+(-b) \]

Por ejemplo:

\[ 5-3=5+(-3) \]

Cuidado al restar un número negativo

Restar un número negativo significa sumar su opuesto positivo.

Por ejemplo:

\[ 4-(-1)=4+1=5 \]

Este paso es importante porque dos signos menos seguidos se transforman en una suma.

Restar es sumar el opuesto

Para resolver una resta de enteros, primero se transforma en una suma del opuesto.

  • \(5-3=5+(-3)=2\)
  • \(-2-6=-2+(-6)=-8\)
  • \(4-(-1)=4+1=5\)
  • \(-7-(-3)=-7+3=-4\)

Estrategias para operaciones combinadas

Cuando aparece una cadena de sumas y restas, conviene transformar primero todas las restas en sumas del opuesto.

Luego se puede usar una de estas estrategias:

  • Método directo: operar de izquierda a derecha, paso a paso.
  • Método de agrupar: juntar los términos positivos, juntar los términos negativos y luego sumar ambos resultados.

Ejemplo 1: operaciones combinadas

Resolvamos:

\[ 2+(-5)-(-3)+1-4 \]

Paso 1: transformamos las restas en sumas del opuesto.

\[ 2+(-5)+3+1+(-4) \]

Método directo:

\[ 2+(-5)=-3 \]

\[ -3+3=0 \]

\[ 0+1=1 \]

\[ 1+(-4)=-3 \]

Método de agrupar:

Positivos:

\[ 2+3+1=6 \]

Negativos:

\[ (-5)+(-4)=-9 \]

Resultado:

\[ 6+(-9)=-3 \]

Por lo tanto:

\[ 2+(-5)-(-3)+1-4=-3 \]

Ejemplo 2: operaciones combinadas

Resolvamos:

\[ -6-2+(-1)-(-7)+4 \]

Paso 1: transformamos las restas en sumas del opuesto.

\[ -6+(-2)+(-1)+7+4 \]

Método directo:

\[ -6+(-2)=-8 \]

\[ -8+(-1)=-9 \]

\[ -9+7=-2 \]

\[ -2+4=2 \]

Método de agrupar:

Positivos:

\[ 7+4=11 \]

Negativos:

\[ (-6)+(-2)+(-1)=-9 \]

Resultado:

\[ 11+(-9)=2 \]

Por lo tanto:

\[ -6-2+(-1)-(-7)+4=2 \]

Práctica Guiada: Suma y Resta de Enteros

Instrucción

Los ejercicios están organizados en niveles. Resuelve cada nivel y luego presiona el botón correspondiente para revisar las soluciones.

Nivel 1: Suma de números positivos

  1. \((+7)+(+3)=\)
  2. \((+9)+(+8)=\)
  3. \((+2)+(+6)+(+4)=\)
  4. \((+5)+(+1)+(+9)=\)
  5. \(11+4=\)
  6. \(15+8=\)
  7. \(20+12=\)
  8. \(3+6+9=\)
  9. \(10+20+5=\)
  10. \(7+2+11=\)

Nivel 2: Suma de números negativos

  1. \((-5)+(-4)=\)
  2. \((-8)+(-6)=\)
  3. \((-10)+(-2)=\)
  4. \((-15)+(-5)=\)
  5. \((-1)+(-9)=\)
  6. \((-2)+(-3)+(-4)=\)
  7. \((-7)+(-1)+(-2)=\)
  8. \((-5)+(-5)+(-5)=\)
  9. \((-10)+(-20)+(-30)=\)
  10. \((-8)+(-2)+(-10)=\)

Nivel 3: Suma con signos mixtos

  1. \(12+(-5)=\)
  2. \(8+(-10)=\)
  3. \(20+(-25)=\)
  4. \((-7)+3=\)
  5. \((-15)+20=\)
  6. \((-9)+9=\)
  7. \(6+(-10)+2=\)
  8. \((-8)+12+(-3)=\)
  9. \(20+(-5)+(-15)=\)
  10. \(-3+13+(-10)=\)

Nivel 4: Resta de números enteros

Recuerda: restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.

  1. \(20-8=\)
  2. \(10-17=\)
  3. \(30-(+10)=\)
  4. \(-15-5=\)
  5. \(-9-11=\)
  6. \((-7)-(+8)=\)
  7. \(14-(-6)=\)
  8. \(10-(-10)=\)
  9. \(5-(-15)=\)
  10. \((-8)-(-5)=\)
  11. \((-12)-(-20)=\)
  12. \((-9)-(-9)=\)

Nivel 5: Operaciones combinadas

Usa la estrategia que prefieras: operar de izquierda a derecha o agrupar positivos y negativos.

  1. \(8-10+3=\)
  2. \(-5-4+12=\)
  3. \(10+(-5)-6=\)
  4. \(15-20+5-1=\)
  5. \(-7-3+10-2=\)
  6. \(20-(-10)-5=\)
  7. \(-8-(-4)+(-5)=\)
  8. \(14-9-(-2)+1=\)
  9. \(-3+(-7)-(-10)+1=\)
  10. \(30-40+(-5)-(-15)=\)

Encuentra el sumando faltante

  1. \(4+\_\_\_=1\)
  2. \(\_\_\_+(-3)=-8\)
  3. \(-2+\_\_\_=5\)
  4. \(\_\_\_+7=0\)
  5. \(-9+\_\_\_=-4\)
  6. \(\_\_\_+(-1)=-1\)

Problemas con Números Enteros

Problema 1: temperatura

La temperatura en la mañana era de \(-3^\circ\text{C}\). Al mediodía, la temperatura subió \(8^\circ\text{C}\). Por la noche, bajó \(5^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la temperatura al final del día?

Problema 2: submarino

Un submarino se encuentra a \(-120\) metros, es decir, 120 metros bajo el nivel del mar. Primero asciende 40 metros. Luego desciende 65 metros. ¿A qué profundidad se encuentra finalmente?

Problema 3: cuenta bancaria

Ana tenía \(\$50\) en su cuenta bancaria. Hizo un retiro de \(\$80\), luego depositó \(\$35\) y finalmente hizo otro retiro de \(\$20\). ¿Cuál es el saldo de su cuenta?

Problema 4: pasos en un juego

En un juego, Juan avanzó 5 pasos, retrocedió 9 pasos, luego avanzó 3 pasos y finalmente retrocedió 2 pasos. ¿Cuál es su posición final respecto al punto de inicio?

Problema 5: ascensor

Un ascensor se encuentra en el piso 3. Sube 5 pisos, luego baja 9 pisos, sube 2 pisos y finalmente baja 6 pisos. ¿En qué piso se encuentra al final?