1. Números Enteros

Definición

El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo \( \mathbb{Z} \). Está formado por los números naturales positivos, el cero y los opuestos de los números naturales.

\[ \mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \]

También puede escribirse, considerando \( \mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\} \), como:

\[ \mathbb{Z}=\mathbb{N}\cup\{0\}\cup\{-n \mid n\in\mathbb{N}\} \]

Donde \( -n \) representa el opuesto aditivo de \( n \).

Los números enteros positivos son \(1,2,3,\ldots\), los enteros negativos son \(-1,-2,-3,\ldots\), y el cero no es positivo ni negativo.

Ubicación en la recta numérica

En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero y los positivos a la derecha.

Mientras más a la derecha esté un número, mayor es su valor; mientras más a la izquierda esté, menor es su valor.

Números negativos en nuestro día a día

Los números negativos se usan para representar deudas, faltantes o movimientos en sentido contrario.

  • Temperatura: una temperatura de \(-5^\circ\text{C}\) indica 5 grados Celsius bajo \(0^\circ\text{C}\).
  • Dinero: si debes \(\$10\,000\), esa deuda puede representarse como \(-\$10\,000\).
  • Altitud: una altitud de \(-430\) metros indica 430 metros bajo el nivel del mar.
  • Movimiento: si bajas 2 pisos en un ascensor, el movimiento puede representarse como \(-2\).

Propiedades de los Números Enteros

1. Clausura o cerradura

La suma, la resta y la multiplicación de dos números enteros siempre dan como resultado otro número entero.

Si \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces:

  • \(a+b\in\mathbb{Z}\)
  • \(a-b\in\mathbb{Z}\)
  • \(a\cdot b\in\mathbb{Z}\)

Por ejemplo:

\[ 5+(-3)=2,\qquad 7-10=-3,\qquad 4\cdot(-2)=-8 \]

Todos los resultados son números enteros.

Ejercicios de Clausura

Calcula y verifica que el resultado sea un número entero.

  1. \( -8 + 5 \)
  2. \( 12 - 15 \)
  3. \( -6 \cdot 3 \)
  4. \( -4 + (-7) \)

2. Asociatividad

Al sumar o multiplicar tres o más números enteros, no importa cómo se agrupen: el resultado será el mismo.

Si \(a,b,c\in\mathbb{Z}\), entonces:

  • \((a+b)+c=a+(b+c)\)
  • \((a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)\)

Por ejemplo:

\[ (2+3)+(-1)=5-1=4 \]

y

\[ 2+(3+(-1))=2+2=4 \]

Comprueba la Asociatividad

Calcula ambas expresiones y compara sus resultados.

  1. \( (-5+2)+7 \) y \( -5+(2+7) \)
  2. \( (3\cdot -2)\cdot 4 \) y \( 3\cdot(-2\cdot 4) \)
  3. \( (-1+(-4))+6 \) y \( -1+(-4+6) \)

3. Conmutatividad

En la suma y en la multiplicación de números enteros, el orden de los números no cambia el resultado.

Si \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces:

  • \(a+b=b+a\)
  • \(a\cdot b=b\cdot a\)

Por ejemplo:

\[ -5+7=2 \]

y

\[ 7+(-5)=2 \]

Comprueba la Conmutatividad

Determina si las siguientes igualdades son verdaderas.

  1. ¿Es \( -9+4 \) igual a \( 4+(-9) \)?
  2. ¿Es \( -2\cdot 6 \) igual a \( 6\cdot(-2) \)?
  3. ¿Es \( 0+(-3) \) igual a \( -3+0 \)?

4. Existencia del elemento neutro

Hay números que, al operar con ellos, no alteran al otro número.

  • El 0 es el neutro aditivo, porque \(a+0=a\).
  • El 1 es el neutro multiplicativo, porque \(a\cdot 1=a\).

Por ejemplo:

\[ 9+0=9,\qquad -6\cdot 1=-6 \]

Aplica el Elemento Neutro

Calcula cada expresión usando el elemento neutro correspondiente.

  1. \( -15+0 \)
  2. \( 7\cdot 1 \)
  3. \( 0+23 \)
  4. \( -8\cdot 1 \)

5. Existencia del elemento opuesto o inverso aditivo

Para cada número entero \(a\), siempre existe otro entero \(-a\), llamado opuesto, tal que al sumarlos se obtiene cero.

\[ a+(-a)=0 \]

Por ejemplo:

  • El opuesto de \(5\) es \(-5\), porque \(5+(-5)=0\).
  • El opuesto de \(-3\) es \(3\), porque \(-3+3=0\).

Encuentra el Elemento Opuesto

Determina el número que debe sumarse para obtener cero.

  1. ¿Qué número sumado a \(12\) da \(0\)?
  2. ¿Qué número sumado a \(-9\) da \(0\)?
  3. \( \square +7=0 \)
  4. \( \square +(-4)=0 \)

No existe inverso multiplicativo entero para todos los enteros

Si bien todo número entero tiene inverso aditivo, no todo número entero tiene inverso multiplicativo dentro de \( \mathbb{Z} \).

Por ejemplo, para el número \(5\), el número que multiplicado por \(5\) da \(1\) es:

\[ \frac{1}{5} \]

Pero \( \frac{1}{5} \notin \mathbb{Z} \). Por esta razón, la división no es una operación cerrada en \( \mathbb{Z} \).

6. Distributividad

La distributividad conecta la multiplicación con la suma.

Si \(a,b,c\in\mathbb{Z}\), entonces:

\[ a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c) \]

Por ejemplo:

\[ 2\cdot(3+(-1))=2\cdot 2=4 \]

y

\[ (2\cdot 3)+(2\cdot(-1))=6-2=4 \]

Comprueba la Distributividad

Calcula ambas formas y verifica que el resultado sea el mismo.

  1. \( -3\cdot(4+2) \) y \( (-3\cdot 4)+(-3\cdot 2) \)
  2. \( (5+(-2))\cdot 3 \) y \( (5\cdot 3)+(-2\cdot 3) \)
  3. \( 4\cdot(-1+6) \) y \( (4\cdot -1)+(4\cdot 6) \)