El conjunto de los números enteros se representa con el símbolo \( \mathbb{Z} \) y se define como la unión de los números naturales \( \mathbb{N} \), el cero (0), y los opuestos de los números naturales.

\( \mathbb{Z} = \{ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} \)

O también, de forma constructiva:

\( \mathbb{Z} = \mathbb{N} \cup \{0\} \cup \{ -n \mid n \in \mathbb{N} \} \)

Donde \( -n \) representa el opuesto aditivo de \( n \).

Los números enteros positivos son los números naturales \( (1, 2, 3, ...) \), los números enteros negativos son los opuestos de los números naturales \( (-1, -2, -3, ...) \) y el cero no es positivo ni negativo.

Números Negativos: Un Acercamiento Intuitivo

Los números negativos pueden entenderse como la representación de deudas, faltantes o movimientos en sentido contrario a un punto de referencia.

Ejemplos de situaciones cotidianas:

• Temperatura: Una temperatura de -5°C indica 5 grados Celsius por debajo del punto de congelación del agua (0°C).
• Dinero: Si debes $10, puedes representar esa deuda como -$10.
• Altitud: Una depresión que se encuentra a -100 metros indica que está 100 metros por debajo del nivel del mar (0 metros).
• Movimiento: Si caminas 3 pasos hacia atrás, puedes representarlo como -3 pasos.

En la recta numérica, los números negativos se ubican a la izquierda del cero, en dirección opuesta a los números positivos.

La suma, resta y multiplicación de dos números enteros siempre resulta en otro número entero.

\( a, b \in \mathbb{Z} \implies a + b \in \mathbb{Z} \)

\( a, b \in \mathbb{Z} \implies a - b \in \mathbb{Z} \)

\( a, b \in \mathbb{Z} \implies a \cdot b \in \mathbb{Z} \)

Ejemplo: \( 5 + (-3) = 2 \in \mathbb{Z} \), \( 7 - 10 = -3 \in \mathbb{Z} \), \( 4 \cdot (-2) = -8 \in \mathbb{Z} \)

Ejercicios:

1. \( -8 + 5 = \)
2. \( 12 - 15 = \)
3. \( -6 \cdot 3 = \)
4. \( -4 + (-7) = \)

La forma en que se agrupan los números enteros en una suma o multiplicación no afecta el resultado.

\( a, b, c \in \mathbb{Z} \implies (a + b) + c = a + (b + c) \)

\( a, b, c \in \mathbb{Z} \implies (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)

Ejemplo: \( (2 + 3) + (-1) = 5 -1 = 4 \) y \( 2 + (3 + (-1)) = 2 + 2 = 4\)

Ejercicios:

1. \( (-5 + 2) + 7 = \) y \( -5 + (2 + 7) = \)
2. \( (3 \cdot -2) \cdot 4 = \) y \( 3 \cdot (-2 \cdot 4) = \)
3. \( (-1 + (-4)) + 6 = \) y \( -1 + (-4 + 6) = \)

El orden de los números enteros en una suma o multiplicación no afecta el resultado.

\( a, b \in \mathbb{Z} \implies a + b = b + a \)

\( a, b \in \mathbb{Z} \implies a \cdot b = b \cdot a \)

Ejemplo: \( -5 + 7 = 7 -5 = 2 \)

Existe un elemento neutro para la suma (el 0) y para la multiplicación (el 1).

\( a \in \mathbb{Z} \implies a + 0 = a \)

\( a \in \mathbb{Z} \implies a \cdot 1 = a \)

Ejemplo: \( 9 + 0 = 9 \), \( -6 \cdot 1 = -6 \)

Ejercicios:

1. \( -15 + 0 = \)
2. \( 7 \cdot 1 = \)
3. \( 0 + 23 = \)
4. \( -8 \cdot 1 = \)

Para cada número entero \( a \), existe un número entero \( -a \) tal que su suma es igual a 0.

\( a \in \mathbb{Z} \implies \exists (-a) \in \mathbb{Z} \mid a + (-a) = 0 \)

Ejemplo: \( 5 + (-5) = 0 \), \( -3 + 3 = 0 \)

Ejercicios:

1. \( 12 + \) \( = 0 \)
2. \( -9 + \) \( = 0 \)
3. \( + 7 = 0 \)
4. \( + (-4) = 0 \)

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma.

\( a, b, c \in \mathbb{Z} \implies a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

\( a, b, c \in \mathbb{Z} \implies (a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c) \)

Ejemplo: \( 2 \cdot (3 + (-1)) = 2 \cdot 2 = 4 \) y \( (2 \cdot 3) + (2 \cdot (-1)) = 6 -2 = 4 \)

Ejercicios:

1. \( -3 \cdot (4 + 2) = \) y \( (-3 \cdot 4) + (-3 \cdot 2) = \)
2. \( (5 + (-2)) \cdot 3 = \) y \( (5 \cdot 3) + (-2 \cdot 3) = \)
3. \( 4 \cdot (-1 + 6) = \) y \( (4 \cdot -1) + (4 \cdot 6) = \)