6. Multiplicación, Operaciones con Números Enteros

Entendiendo la regla de los signos

Para multiplicar números enteros, no basta con multiplicar los valores numéricos: también debemos determinar el signo del resultado.

Las reglas pueden memorizarse, pero comprender su sentido ayuda a aplicarlas con mayor seguridad.

Multiplicación como saltos repetidos

Cuando multiplicamos un número positivo por otro número, podemos interpretarlo como una suma repetida.

Por ejemplo:

\[ 3\cdot 4=4+4+4=12 \]

Positivo por negativo

Si repetimos varias veces un número negativo, avanzamos hacia la izquierda en la recta numérica.

Por ejemplo:

\[ 5\cdot(-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15 \]

Negativo por negativo

Para entender un producto como \((-5)\cdot(-3)\), primero observamos el producto \(5\cdot(-3)\):

\[ 5\cdot(-3)=-15 \]

Luego, multiplicar por \(-5\) en lugar de \(5\) se puede interpretar como tomar el opuesto del resultado anterior:

\[ (-5)\cdot(-3)=-(5\cdot(-3))=-(-15)=15 \]

Por eso, el resultado final queda al lado contrario de \(-15\), es decir, en \(15\).

Patrón numérico para entender menos por menos

Otra forma de comprender por qué negativo por negativo da positivo es observar un patrón.

\[ 2\cdot(-2)=-4 \]

\[ 1\cdot(-2)=-2 \]

\[ 0\cdot(-2)=0 \]

Para mantener el patrón, los resultados aumentan de 2 en 2:

\[ (-1)\cdot(-2)=2 \]

\[ (-2)\cdot(-2)=4 \]

Por eso, el producto de dos números negativos es positivo.

Reglas formales de la multiplicación

  • Si los signos son iguales, el resultado es positivo.
  • Si los signos son distintos, el resultado es negativo.
  • Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero.

En resumen

Signo factor 1 Signo factor 2 Signo resultado
+ + +
- - +
+ - -
- + -

Ejemplos: números con el mismo signo

Cuando los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo.

  • Positivo por positivo: \[ 4\cdot 6=24 \]
  • Negativo por negativo: \[ (-5)\cdot(-3)=15 \]

Ejemplos: números con distinto signo

Cuando los dos factores tienen signos distintos, el resultado es negativo.

  • Positivo por negativo: \[ 7\cdot(-2)=-14 \]
  • Negativo por positivo: \[ (-8)\cdot 3=-24 \]

Ejemplos: multiplicación por cero

Cualquier número entero multiplicado por cero da como resultado cero.

  • \(9\cdot 0=0\)
  • \((-5)\cdot 0=0\)
  • \(0\cdot 0=0\)

Atajo para multiplicar varios números

Cuando multiplicas varios números enteros, puedes determinar el signo final contando cuántos factores negativos hay.

  • Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado final será positivo.
  • Si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado final será negativo.

Ejemplos: multiplicación de varios factores

  • \[ 2\cdot(-3)\cdot 4=-24 \]

    Hay 1 factor negativo. Como 1 es impar, el resultado es negativo.

  • \[ (-1)\cdot(-5)\cdot 2=10 \]

    Hay 2 factores negativos. Como 2 es par, el resultado es positivo.

  • \[ (-2)\cdot(-3)\cdot(-4)=-24 \]

    Hay 3 factores negativos. Como 3 es impar, el resultado es negativo.

  • \[ (-1)\cdot 2\cdot(-3)\cdot 4=24 \]

    Hay 2 factores negativos. Como 2 es par, el resultado es positivo.

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: descenso de temperatura

Problema: Si la temperatura baja \(2^\circ\text{C}\) cada hora, ¿cuál será el cambio total de temperatura después de 4 horas?

Una baja de \(2^\circ\text{C}\) se representa como \(-2\).

  • Cambio por hora: \(-2^\circ\text{C}\)
  • Tiempo: \(4\) horas

Calculamos:

\[ (-2)\cdot 4=-8 \]

La temperatura habrá bajado \(8^\circ\text{C}\) en total.

Ejemplo 2: deuda acumulada

Problema: Juan le debe \(\$5\) a cada uno de sus 3 amigos. ¿Cuánto dinero debe en total?

Una deuda de \(\$5\) se representa como \(-5\).

  • Deuda por amigo: \(-\$5\)
  • Cantidad de amigos: \(3\)

Calculamos:

\[ (-5)\cdot 3=-15 \]

Juan debe \(\$15\) en total.

Ejercicios de Práctica

Cálculos básicos: multiplicación con dos factores

  1. \(8\cdot 5=\)
  2. \(7\cdot 9=\)
  3. \(12\cdot 4=\)
  4. \(6\cdot(-7)=\)
  5. \(10\cdot(-3)=\)
  6. \(5\cdot(-11)=\)
  7. \((-9)\cdot 4=\)
  8. \((-6)\cdot 8=\)
  9. \((-12)\cdot 2=\)
  10. \((-7)\cdot(-5)=\)
  11. \((-10)\cdot(-10)=\)
  12. \((-4)\cdot(-9)=\)

Cálculos básicos: multiplicación con varios factores

  1. \(2\cdot(-3)\cdot 5=\)
  2. \((-4)\cdot 6\cdot 2=\)
  3. \((-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=\)
  4. \(7\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot(-2)=\)
  5. \((-5)\cdot(-4)\cdot 2=\)
  6. \(3\cdot(-3)\cdot(-6)=\)
  7. \((-2)\cdot 5\cdot(-3)\cdot 2=\)
  8. \((-1)\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-5)=\)

Encuentra el factor faltante

  1. \(4\cdot\_\_\_=-12\)
  2. \(\_\_\_\cdot(-5)=20\)
  3. \(-7\cdot\_\_\_=-14\)
  4. \(\_\_\_\cdot 8=-32\)
  5. \(-2\cdot\_\_\_\cdot 3=18\)
  6. \(-5\cdot(-2)\cdot\_\_\_=-40\)

Resolución de problemas

  1. Un submarino desciende 30 metros por minuto. Si comienza en la superficie, es decir, en \(0\) metros, ¿a qué profundidad estará después de 5 minutos?
  2. Una empresa pierde \(\$100\) por cada hora que no produce. Si la producción estuvo detenida durante 8 horas, ¿cuál fue la pérdida total?
  3. En un juego, un jugador pierde 4 puntos por cada error que comete. Si comete 6 errores, ¿cuál será su puntaje final si partió en \(0\)?
  4. Si la temperatura baja \(3^\circ\text{C}\) cada hora y la temperatura actual es de \(5^\circ\text{C}\), ¿cuál será la temperatura después de 6 horas?
  5. Un buzo se encuentra a \(-12\) metros y desciende a una velocidad de 2 metros por segundo durante 7 segundos. ¿A qué profundidad final estará?