2. Fracciones Equivalentes

¿Qué son las fracciones equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque tengan numeradores y denominadores diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Ejemplo en la vida real

Si una receta pide \( \frac{1}{2} \) taza de harina y solo tienes una cuchara medidora de \( \frac{1}{4} \) de taza, puedes usarla dos veces. Estarás usando \( \frac{2}{4} \) de taza, que es exactamente la misma cantidad que \( \frac{1}{2} \) taza.

Idea clave

Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional.

\[ \frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8} \]

Representación visual de fracciones equivalentes

Las siguientes fracciones tienen distinta escritura, pero representan la misma parte de un entero.

 
 
 
 

En la recta numérica, todas se ubican en el mismo punto. Para comparar con la misma partición, usamos octavos:

\[ \frac{1}{2}=\frac{4}{8}, \qquad \frac{2}{4}=\frac{4}{8}, \qquad \frac{3}{6}=\frac{4}{8} \]

Amplificar y simplificar fracciones

Amplificar y simplificar son procedimientos que permiten obtener fracciones equivalentes. Es decir, cambian la forma de escribir la fracción, pero no su valor.

Amplificación

¿Qué es amplificar?

Amplificar una fracción consiste en multiplicar el numerador y el denominador por el mismo número entero distinto de cero.

\[ \frac{a}{b}\sim \frac{k\cdot a}{k\cdot b} \qquad \text{con } b\neq 0,\; k\in\mathbb{Z},\; k\neq 0 \]

El símbolo \( \sim \) indica que las fracciones son equivalentes.

Procedimiento para amplificar

  1. Elige un número entero \(k\neq 0\).
  2. Multiplica el numerador por \(k\).
  3. Multiplica el denominador por \(k\).
  4. Escribe la nueva fracción equivalente.

Ejemplo 1: amplificar \( \frac{2}{5} \) por 2

\[ \frac{2}{5} \xrightarrow{\times 2} \frac{2\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{4}{10} \]

Por lo tanto, \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{4}{10} \) son fracciones equivalentes.

 
 

Ejemplo 2: amplificar \( \frac{-1}{4} \) por \(-3\)

\[ \frac{-1}{4} \xrightarrow{\times (-3)} \frac{(-1)\cdot(-3)}{4\cdot(-3)}=\frac{3}{-12} \]

Como se multiplicó el numerador y el denominador por el mismo número distinto de cero, la fracción obtenida es equivalente a la original.

\[ \frac{-1}{4}\sim \frac{3}{-12} \]

Amplificación: multiplica por el número indicado

Amplifica cada fracción multiplicando numerador y denominador por el número indicado.

  1. \( \frac{2}{7} \), amplificar por \(4\).
  2. \( \frac{-3}{5} \), amplificar por \(6\).
  3. \( \frac{9}{11} \), amplificar por \(-3\).
  4. \( \frac{5}{8} \), amplificar por \(10\).
  5. \( \frac{14}{25} \), amplificar por \(2\).
  6. \( \frac{2a}{5b} \), amplificar por \(3\), con \(b\neq 0\).
  7. \( \frac{a-1}{2b} \), amplificar por \(-2\), con \(b\neq 0\).
  8. \( \frac{m}{n} \), amplificar por \(x\), con \(m,n,x\neq 0\).

Simplificación de fracciones

¿Qué es simplificar?

Simplificar una fracción consiste en escribirla como una fracción equivalente más sencilla. Para ello se dividen el numerador y el denominador por un mismo factor común distinto de cero.

Cuando ya no quedan factores comunes entre el numerador y el denominador, se obtiene una fracción irreducible.

Procedimiento para simplificar usando factorización

  1. Factoriza el numerador y el denominador.
  2. Identifica los factores comunes.
  3. Cancela los factores comunes que multiplican a todo el numerador y a todo el denominador.
  4. Multiplica los factores restantes.

Ejemplo 1: simplificar \( \frac{25}{40} \)

Factorizamos:

\[ 25=5\cdot5 \qquad 40=5\cdot8 \]

Luego cancelamos el factor común \(5\):

\[ \frac{25}{40} =\frac{\cancel{5}\cdot5}{\cancel{5}\cdot8} =\frac{5}{8} \]

La fracción \( \frac{5}{8} \) es la forma irreducible de \( \frac{25}{40} \).

Ejemplo 2: simplificar \( \frac{42}{54} \)

El máximo común divisor de 42 y 54 es 6, por lo tanto:

\[ 42=6\cdot7 \qquad 54=6\cdot9 \]

Entonces:

\[ \frac{42}{54} =\frac{\cancel{6}\cdot7}{\cancel{6}\cdot9} =\frac{7}{9} \]

La fracción \( \frac{7}{9} \) es equivalente a \( \frac{42}{54} \) y es irreducible.

Ejemplo 3: simplificar \( \frac{18}{24} \) usando factorización

Factorizamos el numerador y el denominador:

\[ 18=2\cdot3\cdot3 \qquad 24=2\cdot2\cdot2\cdot3 \]

Cancelamos los factores comunes \(2\) y \(3\):

\[ \frac{18}{24} = \frac{\cancel{2}\cdot\cancel{3}\cdot3} {\cancel{2}\cdot2\cdot2\cdot\cancel{3}} =\frac{3}{2\cdot2}=\frac{3}{4} \]

Por lo tanto, \( \frac{18}{24}=\frac{3}{4} \).

 
 

Ojo con el álgebra

En expresiones algebraicas solo se pueden cancelar factores que estén multiplicando a todo el numerador y a todo el denominador.

No se pueden cancelar términos que estén sumando o restando de forma aislada.

Además, las condiciones como \(x\neq 0\) son importantes, porque evitan divisiones por cero.

Simplificar a la mínima expresión

Lleva cada fracción a su forma irreducible usando factorización y cancelación de factores comunes.

  1. \( \frac{30}{45} \)
  2. \( \frac{56}{72} \)
  3. \( \frac{120}{180} \)
  4. \( \frac{-15}{25} \)
  5. \( \frac{42}{-49} \)
  6. \( \frac{-28}{-63} \)
  7. \( \frac{2a}{4a} \), con \(a \neq 0\).
  8. \( \frac{6x^2}{9x} \), con \(x \neq 0\).
  9. \( \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} \), con \(y \neq -2\).

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes: simplificar a la forma irreducible o usar productos cruzados.

Método 1: simplificación a la forma irreducible

Estrategia clave: simplificar

Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las fracciones originales son equivalentes.

Verificando con simplificación

Para verificar si \( \frac{6}{8} \) y \( \frac{9}{12} \) son equivalentes, simplificamos ambas:

\[ \frac{6}{8} = \frac{\cancel{2}\cdot3}{\cancel{2}\cdot4} =\frac{3}{4} \]

\[ \frac{9}{12} = \frac{\cancel{3}\cdot3}{\cancel{3}\cdot4} =\frac{3}{4} \]

Como ambas se simplifican a \( \frac{3}{4} \), son equivalentes.

¿Son equivalentes? Verificación por simplificación

Simplifica cada fracción a su forma irreducible. Si las dos fracciones quedan iguales, son equivalentes.

  1. \( \frac{15}{35} \) y \( \frac{9}{21} \)
  2. \( \frac{18}{24} \) y \( \frac{27}{36} \)
  3. \( \frac{-12}{20} \) y \( \frac{3}{-5} \)
  4. \( \frac{8}{15} \) y \( \frac{12}{25} \)
  5. \( \frac{49}{63} \) y \( \frac{7}{9} \)

Método 2: productos cruzados

Fórmula de productos cruzados

Dadas dos fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), con \(b\neq 0\) y \(d\neq 0\), son equivalentes si y solo si sus productos cruzados son iguales.

\[ \frac{a}{b}=\frac{c}{d} \iff a\cdot d=b\cdot c \]

Verificando con productos cruzados

Para verificar si \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{4}{6} \) son equivalentes, multiplicamos en cruz:

\[ 2\cdot6=12 \]

\[ 3\cdot4=12 \]

Como los productos cruzados son iguales, las fracciones son equivalentes.

¿Son equivalentes? Usando productos cruzados

Determina si cada par de fracciones es equivalente usando productos cruzados.

  1. \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{4}{12} \)
  2. \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{10} \)
  3. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{16}{28} \)
  4. \( \frac{5}{9} \) y \( \frac{25}{45} \)
  5. \( \frac{-3}{4} \) y \( \frac{6}{-8} \)
  6. \( \frac{7}{2} \) y \( \frac{21}{6} \)

¿Por qué funcionan los productos cruzados?

Al comparar \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), con \(b\neq 0\) y \(d\neq 0\), podemos escribir ambas fracciones con denominador común \(b\cdot d\):

\[ \frac{a}{b}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d} \qquad \frac{c}{d}=\frac{b\cdot c}{b\cdot d} \]

Como ambas quedan con el mismo denominador, basta comparar los numeradores. Por eso, las fracciones son equivalentes cuando:

\[ a\cdot d=b\cdot c \]