1. racionales

Números Racionales \( \mathbb{Q} \)

¿Te has preguntado cómo representar partes de un objeto o los números que están entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página descubrirás qué son, sus características y cómo se representan.

Definición

📐 Definición formal

Un número racional es todo aquel que puede escribirse como una fracción \( \frac{a}{b} \), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b \neq 0\).

Simbólicamente, si \( \mathbb{Q} \) es el conjunto de los números racionales y \( \mathbb{Z} \) el de los enteros:

\( n \in \mathbb{Q} \iff \exists\, a,b \in \mathbb{Z},\, b\neq 0 \text{ tal que } n = \frac{a}{b} \).

Representación en la recta numérica

Los números racionales se pueden ubicar en toda la recta numérica: incluyen positivos, negativos y el cero. Por ejemplo, \( \tfrac{1}{2} \) está exactamente a mitad de camino entre 0 y 1.

Recta numérica con fracciones marcadas

Representación decimal

🤓 Decimales de los racionales

Cada número racional puede escribirse como un decimal. Ese decimal puede ser:

  • Finito: termina. Ej.: \( \tfrac{1}{4}=0{,}25 \).
  • Periódico puro: desde el primer decimal repite un dígito o grupo. Ej.: \(0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\), \(0{,}252525\ldots = 0{,}\overline{25}\).
  • Periódico mixto (semiperiódico): primero aparece una parte que no se repite y luego comienza el período. Ej.: \(0{,}12\overline{3}\), \(-1{,}2\overline{45}\).

Más adelante aprenderemos a convertir estos decimales periódicos (puros y mixtos) en fracciones \( \tfrac{a}{b} \).

⚠️ Advertencia

Lo contrario no es cierto: no todo número escrito en forma decimal es racional. Para que un decimal sea racional debe ser finito o periódico. Si no termina ni repite un patrón, es irracional.

  • \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) (no hay patrón).
  • \(\pi = 3{,}1415926535\ldots\)
  • \(e = 2{,}718281828\ldots\)
  • \(0{,}101001000100001\ldots\) (los ceros entre unos crecen; no hay período).
  • Constante de Champernowne: \(0{,}12345678910111213\ldots\)
💡 ¿Sabías que…?

Todo número entero \(n\) también es racional, porque se puede escribir como \( \frac{n}{1} \).

Ejemplos de números racionales

  • \( \frac{1}{2} \)
  • \( -\frac{3}{4} \)
  • \( 5 \) (se puede expresar como \( \frac{5}{1} \))
  • \( 0 \) (se puede expresar como \( \frac{0}{1} \))
  • \( 0{,}75 \) (se puede expresar como \( \frac{3}{4} \))
  • \( -2{,}333\ldots \) (periódico, se puede expresar como \( -\frac{7}{3} \); lo veremos luego)

Densidad de los números racionales

🤓 Densidad de \( \mathbb{Q} \) (pero no totalidad)

Densidad: Entre dos racionales distintos siempre podemos encontrar otro racional (infinitos, de hecho). No hay “saltos”.

Pero no totalidad: Aun así, los racionales no “llenan” toda la recta numérica: existen irracionales como \( \pi \) o \( \sqrt{2} \), que no pueden expresarse como \( \tfrac{a}{b} \).

Demostración intuitiva de la densidad:

Sean \(a,b \in \mathbb{Q}\) con \(a < b\). El promedio \(c = \frac{a+b}{2}\) también es racional y cumple \(a < c < b\). Repitiendo el proceso, obtenemos infinitos racionales entre \(a\) y \(b\).

Ejemplo numérico de densidad

Consideremos \( a = \frac{1}{4} \) y \( b = \frac{1}{2} \). Busquemos un racional entre ellos.

\[ c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8} \]

Efectivamente, \( \frac{3}{8} \) está entre \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{1}{2} \) (0,25 < 0,375 < 0,5).

Ejercicios

Identificando números racionales

Determina si los siguientes números son racionales o irracionales. Si son racionales, exprésalos en la forma \( \tfrac{a}{b} \). (Para los decimales periódicos, por ahora basta con reconocer que son racionales; más adelante veremos cómo convertirlos).

  1. \( 2{,}5 \)
  2. \( \sqrt{9} \)
  3. \( \tfrac{-2}{7} \)
  4. \( 0{,}121212\ldots \)
  5. \( \pi \)
  6. \( 0{,}3333\ldots \)
  7. \( 0{,}252525\ldots \)
  8. \( -3 \)