Números Racionales \( \mathbb{R} \)

¿Te has preguntado cómo se representan las partes de un objeto o los números que están entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página, descubrirás qué son los números racionales, sus características y cómo se representan.

Definición

Un número racional es aquel que se puede escribir como una fracción, donde el numerador y el denominador son números enteros, y el denominador no es cero.

\( \frac{a}{b} \) donde \( a \) es un número entero y \( b \) es un número entero diferente de cero. El símbolo \( \mathbb{Z} \) representa el conjunto de los números enteros. Así podemos decir 

\( n \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \)    \( n= \frac{a}{b} \) donde \( a \) \( \in \) \( \mathbb{Z} \)  y \( b \) \( \in \) \( \mathbb{Z} \) -{0} . 

Características Principales

• Los números enteros son racionales: El número 5 es entero y también racional, ya que se puede escribir como \( \frac{5}{1} \).
• Representación decimal: Algunos racionales tienen una representación decimal finita, como \( \frac{1}{4} = 0.25 \). Otros tienen una representación decimal periódica, como \( \frac{1}{3} = 0.333... \)
• Incluyen números positivos, negativos y el cero.

Ejemplos

• \( \frac{1}{2} \)
• \( -\frac{3}{4} \)
• \( 5 \) (ya que se puede expresar como \( \frac{5}{1} \))
• \( 0 \) (ya que se puede expresar como \( \frac{0}{1} \))
• \( 0.75 \) (ya que se puede expresar como \( \frac{3}{4} \))
• \( -2.333... \) (periódico, ya que se puede expresar como \( -\frac{7}{3} \))

Representación en la Recta Numérica

Los números racionales se pueden ubicar en la recta numérica. Por ejemplo, \( \frac{1}{2} \) se encuentra entre 0 y 1.

Densidad de los Números Racionales

El conjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\)) es denso. Esto significa que entre cualesquiera dos números racionales distintos, siempre existe otro número racional. En otras palabras, no hay "huecos" entre los números racionales en la recta numérica.

Demostración intuitiva:

Supongamos que tenemos dos números racionales \(a\) y \(b\), con \(a < b\). Si calculamos el promedio de estos dos números, obtenemos un nuevo número \(c\):

\[c = \frac{a + b}{2}\]

Como la suma de dos numeros racionales es racional, y dividir un racional por 2 (que es un entero) da un numero racional, entonces \(c\) también es un número racional. Además, \(c\) se encuentra exactamente entre \(a\) y \(b\), es decir, \(a < c < b\).

Como este proceso puede realizarse para cualquier par de numeros racionales, entonces demostramos que siempre hay infinitos racionales entre dos racionales dados.

Ejemplo numérico:

Consideremos los números racionales \(a = \frac{1}{4}\) y \(b = \frac{1}{2}\). Su promedio es:

\[c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}\]

Efectivamente, \(\frac{3}{8}\) es un número racional que se encuentra entre \(\frac{1}{4}\) y \(\frac{1}{2}\):

\[\frac{1}{4} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}\]

Podemos repetir el proceso, ahora con \(a = \frac{1}{4}\) y \(c = \frac{3}{8}\) y encontraremos otro racional entre ellos. Como este proceso puede realizarse para cualquier par de numeros racionales, entonces demostramos que siempre hay infinitos racionales entre dos racionales dados.

Conclusión

Los números racionales son fundamentales para comprender las operaciones matemáticas y representar diversas cantidades en la vida diaria.

Ejercicios

Determina si los siguientes números son racionales o no. Si son racionales, exprésalos en la forma \( \frac{p}{q} \) donde \(p\) y \(q\) son números enteros y \(q \neq 0\):

1. \( 2.5 \)
2. \( \sqrt{9} \)
3. \( \frac{-2}{7} \)
4. \( 0.121212... \) (periódico)
5. \( \pi \) (Pi)