1. Números Racionales

 \( \mathbb{Q} \)

¿Te has preguntado cómo representar partes de un objeto, repartos exactos o números ubicados entre los enteros? Para eso existen los números racionales.

En esta página descubrirás qué son, sus características y cómo se representan.

Definición

Definición formal

Un número racional es todo aquel que puede escribirse como una fracción \( \frac{a}{b} \), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b \neq 0\).

Simbólicamente, si \( \mathbb{Q} \) es el conjunto de los números racionales y \( \mathbb{Z} \) el de los números enteros:

\( x \in \mathbb{Q} \iff \exists\, a,b \in \mathbb{Z},\, b\neq 0 \text{ tal que } x = \frac{a}{b} \).

¿Sabías que…?

Todo número entero \(n\) también es racional, porque se puede escribir como \( \frac{n}{1} \).

Representación en la recta numérica

Ubicación en la recta

Los números racionales se pueden ubicar en la recta numérica: incluyen positivos, negativos y el cero. Por ejemplo, \( \tfrac{1}{2} \) está exactamente a mitad de camino entre 0 y 1.

Recta numérica con fracciones marcadas

Representación decimal

Decimales de los racionales

Cada número racional puede escribirse como un decimal. Ese decimal puede ser:

  • Finito: termina. Ejemplo: \( \tfrac{1}{4}=0{,}25 \).
  • Periódico puro: desde el primer decimal repite un dígito o grupo. Ejemplos: \(0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}\), \(0{,}252525\ldots = 0{,}\overline{25}\).
  • Periódico mixto o semiperiódico: primero aparece una parte que no se repite y luego comienza el período. Ejemplos: \(0{,}12\overline{3}\), \(-1{,}2\overline{45}\).

Más adelante aprenderemos a convertir estos decimales periódicos, puros y mixtos, en fracciones \( \tfrac{a}{b} \).

Advertencia

No todo número escrito en forma decimal es racional. Para que un decimal sea racional debe ser finito o periódico. Si no termina ni repite un patrón, es irracional.

  • \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\), sin patrón periódico.
  • \(\pi = 3{,}1415926535\ldots\), sin patrón periódico.
  • \(e = 2{,}718281828\ldots\), sin patrón periódico.
  • \(0{,}101001000100001\ldots\), donde los ceros entre unos van aumentando; no hay período.
  • Constante de Champernowne: \(0{,}12345678910111213\ldots\), sin período.

No confundas

Un número racional no tiene que estar escrito necesariamente como fracción. También puede aparecer como entero, decimal finito o decimal periódico.

Ejemplos de números racionales

  • \( \frac{1}{2} \)
  • \( -\frac{3}{4} \)
  • \( 5 \), porque se puede expresar como \( \frac{5}{1} \).
  • \( 0 \), porque se puede expresar como \( \frac{0}{1} \).
  • \( 0{,}75 \), porque se puede expresar como \( \frac{3}{4} \).
  • \( -2{,}333\ldots \), porque es un decimal periódico y puede escribirse como fracción.

Clasificación rápida

Observa los siguientes números:

\( -4,\quad \frac{2}{5},\quad 0{,}8,\quad 0{,}\overline{6},\quad \sqrt{5} \)

Los números \( -4 \), \( \frac{2}{5} \), \(0{,}8\) y \(0{,}\overline{6}\) son racionales. En cambio, \( \sqrt{5} \) es irracional, porque no puede escribirse como fracción de números enteros.

Densidad de los números racionales

Densidad de \( \mathbb{Q} \)

Densidad: entre dos racionales distintos siempre podemos encontrar otro racional. De hecho, podemos encontrar infinitos racionales entre ellos. Esto significa que no hay “saltos” entre números racionales.

Pero no totalidad: aun así, los racionales no “llenan” toda la recta numérica, porque existen irracionales como \( \pi \) o \( \sqrt{2} \), que no pueden expresarse como \( \tfrac{a}{b} \).

Demostración intuitiva de la densidad

Sean \(a,b \in \mathbb{Q}\), con \(a < b\). El promedio

\( c = \frac{a+b}{2} \)

también es racional y cumple:

\( a < c < b \)

Repitiendo el proceso, obtenemos infinitos racionales entre \(a\) y \(b\).

Ejemplo numérico de densidad

Consideremos \( a = \frac{1}{4} \) y \( b = \frac{1}{2} \). Busquemos un racional entre ellos.

\[ c = \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{4} + \frac{2}{4}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8} \]

Efectivamente, \( \frac{3}{8} \) está entre \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{1}{2} \), porque:

\(0{,}25 < 0{,}375 < 0{,}5\)

Ejercicios

Identificando números racionales

Determina si los siguientes números son racionales o irracionales. Cuando sea posible con lo aprendido hasta ahora, exprésalos en la forma \( \tfrac{a}{b} \). En los decimales periódicos, por ahora basta con reconocer que son racionales.

  1. \( 2{,}5 \)
  2. \( \sqrt{9} \)
  3. \( \tfrac{-2}{7} \)
  4. \( 0{,}121212\ldots \)
  5. \( \pi \)
  6. \( 0{,}3333\ldots \)
  7. \( 0{,}252525\ldots \)
  8. \( -3 \)

Clasificación de representaciones

Clasifica cada número como racional o irracional. Justifica brevemente tu respuesta.

  1. \( -\frac{11}{5} \)
  2. \( 0{,}04 \)
  3. \( \sqrt{16} \)
  4. \( \sqrt{3} \)
  5. \( -7{,}\overline{2} \)

Densidad de los racionales

Encuentra un número racional entre \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{4}{3} \), usando el promedio entre ambos.