3. Conversión entre Enteros, Fracciones y Números Mixtos

Idea clave y fundamental

Todo número entero puede expresarse como una fracción colocándolo sobre el denominador 1. Esta idea permite relacionar enteros, fracciones impropias y números mixtos.

\[ n=\frac{n}{1} \qquad \text{con } n\in\mathbb{Z} \]

Condición importante

En una fracción, el denominador nunca puede ser cero.

\[ \frac{a}{b} \qquad \text{solo existe si } b\neq 0 \]

Números enteros a fracciones

Procedimiento

Para escribir un número entero como fracción, se conserva el entero como numerador y se escribe \(1\) como denominador.

\[ n=\frac{n}{1} \]

Ejemplos: entero a fracción

  • El número entero \(5\) se expresa como \( \frac{5}{1} \).
  • El número entero \(-3\) se expresa como \( \frac{-3}{1} \) o \( -\frac{3}{1} \).
  • El número entero \(0\) se expresa como \( \frac{0}{1} \).

Visualización de enteros como fracciones

El número \(3\) puede representarse como \( \frac{3}{1} \), es decir, tres enteros completos.

 

Grupo 1: Convertir enteros a fracciones

Expresa cada número entero como una fracción con denominador \(1\).

  1. \(8\)
  2. \(-6\)
  3. \(0\)
  4. \(15\)
  5. \(-23\)
  6. \(1\)

Fracciones a números enteros

Idea principal

Una fracción cuyo denominador es \(1\), o que al simplificarla resulta con denominador \(1\), representa un número entero.

También puede ocurrir que el numerador sea múltiplo del denominador. En ese caso, la fracción equivale al resultado exacto de la división.

Ejemplos: fracción a entero

  • \( \frac{7}{1}=7 \)
  • \( \frac{-4}{1}=-4 \)
  • \( \frac{20}{5}=4 \), porque \(20\div5=4\).
  • \( \frac{10}{3} \) no representa un entero, porque \(10\div3\) no es exacto.

Visualización de una fracción que representa un entero

La fracción \( \frac{8}{2} \) representa \(4\) enteros, porque cada entero se divide en \(2\) partes y se toman \(8\) partes en total.

 

En la recta numérica, \( \frac{8}{2} \) ocupa el mismo punto que \(4\).

Grupo 2: Convertir fracciones a enteros

Determina si cada fracción representa un número entero. Si lo representa, escribe ese entero.

  1. \( \frac{12}{1} \)
  2. \( \frac{-9}{1} \)
  3. \( \frac{0}{1} \)
  4. \( \frac{8}{2} \)
  5. \( \frac{20}{4} \)
  6. \( \frac{-15}{3} \)
  7. \( \frac{36}{-9} \)
  8. \( \frac{10}{3} \)

Números mixtos y fracciones impropias

Definiciones

Conceptos clave

Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor o igual que el denominador, considerando valores positivos. Por ejemplo, \( \frac{11}{4} \).

Un número mixto combina una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, \( 2\frac{3}{4} \).

Ambas formas pueden representar el mismo número racional.

Cuidado con la notación

Un número mixto como \( 2\frac{3}{4} \) no significa \(2\cdot\frac{3}{4}\). En realidad, representa una suma:

\[ 2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4} \]

Forma usual de un número mixto

En un número mixto, la parte fraccionaria debe ser una fracción propia, es decir, el numerador debe ser menor que el denominador.

\[ 2\frac{3}{4} \quad \text{está en forma mixta usual, porque } 3<4 \]

No conviene dejar expresiones como \(2\frac{7}{4}\), porque la parte fraccionaria todavía puede convertirse en más enteros.

Signo en números mixtos negativos

Cuando se escribe un número mixto negativo, como \( -2\frac{1}{3} \), se interpreta como el negativo de todo el número mixto:

\[ -2\frac{1}{3}=-\left(2+\frac{1}{3}\right) \]

Conversiones entre números mixtos y fracciones

¿Qué significa convertir una fracción impropia a número mixto?

Significa averiguar cuántas unidades enteras se pueden formar y qué fracción queda como resto.

Por ejemplo, en \( \frac{7}{3} \), se pregunta cuántos grupos completos de \(3\) hay en \(7\):

  • El cociente de \(7\div3\) es \(2\), por lo tanto hay \(2\) enteros.
  • El residuo es \(1\), por lo tanto sobra \( \frac{1}{3} \).
  • El denominador se mantiene en \(3\).

Así:

\[ \frac{7}{3}=2\frac{1}{3} \]

Procedimiento: de fracción impropia a número mixto

  1. Divide el numerador entre el denominador.
  2. El cociente será la parte entera.
  3. El residuo será el nuevo numerador.
  4. El denominador original se mantiene.
  5. Si la fracción original es negativa, conserva el signo negativo delante del número mixto.

Ejemplo: convertir \( \frac{11}{4} \) a número mixto

  1. Dividimos: \[ 11\div4=2 \qquad \text{con resto } 3 \]
  2. El cociente \(2\) será la parte entera.
  3. El resto \(3\) será el numerador de la fracción.
  4. El denominador \(4\) se mantiene.

Por lo tanto:

\[ \frac{11}{4}=2\frac{3}{4} \]

 

Ejemplo: convertir \( -\frac{17}{5} \) a número mixto

Primero trabajamos con el valor positivo:

\[ 17\div5=3 \qquad \text{con resto } 2 \]

Entonces:

\[ \frac{17}{5}=3\frac{2}{5} \]

Como la fracción original era negativa, conservamos el signo negativo:

\[ -\frac{17}{5}=-3\frac{2}{5} \]

Grupo 3: Convertir fracciones impropias a números mixtos

Convierte cada fracción impropia a número mixto.

  1. \( \frac{7}{3} \)
  2. \( \frac{15}{4} \)
  3. \( \frac{22}{5} \)
  4. \( \frac{19}{6} \)
  5. \( \frac{31}{8} \)
  6. \( \frac{47}{9} \)
  7. \( -\frac{17}{5} \)

¿Qué significa convertir un número mixto a fracción impropia?

Significa unir la parte entera y la parte fraccionaria en una sola fracción.

Por ejemplo, en \(2\frac{1}{3}\), los \(2\) enteros se convierten en tercios:

\[ 2=\frac{6}{3} \]

Luego se suma el tercio adicional:

\[ 2\frac{1}{3}=\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3} \]

Procedimiento: de número mixto a fracción impropia

  1. Multiplica la parte entera por el denominador.
  2. Suma el numerador de la parte fraccionaria.
  3. El resultado será el nuevo numerador.
  4. El denominador se mantiene.

\[ a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]

Ejemplo: convertir \( 3\frac{2}{5} \) a fracción impropia

  1. Multiplicamos la parte entera por el denominador: \[ 3\cdot5=15 \]
  2. Sumamos el numerador: \[ 15+2=17 \]
  3. El denominador se mantiene en \(5\).

Por lo tanto:

\[ 3\frac{2}{5}=\frac{17}{5} \]

 

Ejemplo: convertir \( -2\frac{1}{3} \) a fracción impropia

Primero convertimos la parte positiva:

\[ 2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3} \]

Luego conservamos el signo negativo delante de toda la fracción:

\[ -2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3} \]

Grupo 4: Convertir números mixtos a fracciones impropias

Convierte cada número mixto a fracción impropia.

  1. \( 1\frac{2}{3} \)
  2. \( 4\frac{1}{6} \)
  3. \( 2\frac{5}{8} \)
  4. \( 5\frac{3}{7} \)
  5. \( 3\frac{9}{10} \)
  6. \( 6\frac{4}{5} \)
  7. \( -2\frac{1}{3} \)

Resumen final de relaciones

Los enteros, las fracciones impropias y los números mixtos son formas distintas de representar valores racionales.

Entero \( \leftrightarrow \) Fracción con denominador 1 \( \leftrightarrow \) Fracción impropia \( \leftrightarrow \) Número mixto