4. compafracion de fracciones

Casos simples

Reglas básicas

  • Igual denominador: si dos fracciones tienen el mismo denominador positivo, la fracción con el numerador mayor es la mayor.
  • Igual numerador: si dos fracciones positivas tienen el mismo numerador, la fracción con el denominador menor es la mayor.

Ejemplos de casos simples

Igual denominador:

\[ \frac{5}{7} \gt \frac{3}{7} \qquad \text{porque } 5 \gt 3 \]

 
 

Igual numerador:

\[ \frac{2}{5} \gt \frac{2}{9} \]

Esto ocurre porque, al dividir la unidad en menos partes, cada parte es más grande.

 
 

¿Por qué funciona la regla del igual numerador?

Piensa en una pizza. Si tomas \(2\) rebanadas de una pizza cortada en \(5\) partes, esas rebanadas serán más grandes que \(2\) rebanadas de una pizza igual cortada en \(9\) partes.

Por eso:

\[ \frac{2}{5} \gt \frac{2}{9} \]

Fracciones con distinto numerador y denominador

Cuando las fracciones tienen distinto numerador y distinto denominador, se pueden comparar usando fracciones equivalentes con denominador común o productos cruzados.

Método 1: fracciones equivalentes con denominador común

Procedimiento: denominador común

  1. Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores.
  2. Convierte cada fracción a una fracción equivalente con ese denominador común.
  3. Compara los numeradores de las nuevas fracciones.
  4. La fracción con numerador mayor será la mayor.

Ejemplo: comparar \( \frac{3}{4} \) y \( \frac{5}{6} \) con denominador común

Primero buscamos el mínimo común múltiplo de \(4\) y \(6\):

\[ \operatorname{MCM}(4,6)=12 \]

Convertimos ambas fracciones a denominador \(12\):

\[ \frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12} \]

\[ \frac{5}{6}=\frac{5\cdot2}{6\cdot2}=\frac{10}{12} \]

Ahora comparamos:

\[ \frac{10}{12} \gt \frac{9}{12} \]

Por lo tanto:

\[ \frac{5}{6} \gt \frac{3}{4} \]

En la recta se destacan las posiciones, y las equivalencias se explican antes para evitar que las etiquetas se sobrepongan:

\[ \frac{3}{4}=\frac{9}{12} \qquad \text{y} \qquad \frac{5}{6}=\frac{10}{12} \]

Grupo 1: Comparar usando fracciones equivalentes

Compara cada par de fracciones usando denominador común. Escribe el signo \( \lt \), \( \gt \) o \( = \).

  1. \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{3}{5} \)
  2. \( \frac{5}{8} \) y \( \frac{7}{12} \)
  3. \( \frac{4}{9} \) y \( \frac{1}{2} \)
  4. \( 2\frac{1}{4} \) y \( \frac{11}{5} \)
  5. \( \frac{-3}{7} \) y \( \frac{-2}{5} \)

Método 2: productos cruzados

Estrategia rápida: productos cruzados

Para comparar \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), con \(b\gt0\) y \(d\gt0\), se comparan los productos cruzados:

\[ a\cdot d \qquad \text{y} \qquad b\cdot c \]

Este método funciona porque equivale a comparar ambas fracciones usando el denominador común \(b\cdot d\).

Ojo con los denominadores

Antes de usar productos cruzados, conviene dejar los denominadores positivos. Por ejemplo:

\[ \frac{3}{-5}=-\frac{3}{5} \]

Ejemplo: comparar \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{3}{7} \) con productos cruzados

Calculamos los productos cruzados:

\[ 2\cdot7=14 \]

\[ 5\cdot3=15 \]

Como \(14\lt15\), la primera fracción es menor que la segunda.

Por lo tanto:

\[ \frac{2}{5} \lt \frac{3}{7} \]

Ojo con las fracciones negativas

En la recta numérica, entre dos números negativos, el que está más cerca del cero es mayor.

Por ejemplo:

\[ -14 \gt -15 \]

Por eso, al comparar fracciones negativas, hay que observar cuidadosamente el orden de los resultados.

Grupo 2: Comparar usando productos cruzados

Compara cada par de fracciones usando productos cruzados. Escribe el signo \( \lt \), \( \gt \) o \( = \).

  1. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{5}{9} \)
  2. \( \frac{1}{6} \) y \( \frac{2}{11} \)
  3. \( \frac{8}{3} \) y \( 2\frac{2}{5} \)
  4. \( \frac{-5}{8} \) y \( \frac{-3}{5} \)
  5. \( \frac{7}{4} \) y \( \frac{9}{5} \)