Números Racionales: Fracciones Equivalentes

¿Qué son las Fracciones Equivalentes?

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma cantidad, aunque el numerador y el denominador sean diferentes. En la recta numérica, las fracciones equivalentes ocupan el mismo punto.

Ejemplo: \( \frac{1}{2} \), \( \frac{2}{4} \) y \( \frac{4}{8} \) son fracciones equivalentes porque todas representan la mitad de un entero.

¿Cómo saber si dos fracciones son equivalentes?

Existen dos métodos principales para determinar si dos fracciones son equivalentes:

Método 1: Productos Cruzados

Dadas dos fracciones \( \frac{a}{b} \) y \( \frac{c}{d} \), son equivalentes si y solo si el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es igual al producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Es decir:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c \]

Ejemplo: Para verificar si \( \frac{2}{3} \) y \( \frac{4}{6} \) son equivalentes, multiplicamos en cruz: \[ 2 \cdot 6 = 12 \] \[ 3 \cdot 4 = 12 \] Como los productos son iguales (12 = 12), las fracciones son equivalentes.

Método 2: Simplificación

Si al simplificar ambas fracciones a su forma irreducible (donde el numerador y el denominador no tienen factores comunes distintos de 1) obtenemos la misma fracción, entonces las fracciones originales son equivalentes.

Ejemplo: Para verificar si \( \frac{6}{8} \) y \( \frac{9}{12} \) son equivalentes, simplificamos ambas: \[ \frac{6}{8} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} = \frac{3}{4} \] \[ \frac{9}{12} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{4} \] Como ambas se simplifican a \( \frac{3}{4} \), son equivalentes.

Amplificar y Simplificar Fracciones

Amplificación

Amplificar una fracción consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador por el mismo número entero distinto de cero. Esto genera una fracción equivalente a la original.

Ejemplo: Amplificar \( \frac{2}{5} \) por 3: \[ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} \] \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{15} \) son fracciones equivalentes.

Simplificación

Simplificar una fracción consiste en dividir tanto el numerador como el denominador por un factor común a ambos. La fracción resultante es equivalente a la original y, si el factor común es el máximo común divisor (MCD), la fracción resultante estará en su forma irreducible.

Ejemplo basado en factorizaciones: Simplificar \( \frac{18}{24} \):

1. Factorizamos el numerador y el denominador: \[ 18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \] \[ 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \]
2. Identificamos los factores comunes: 2 y 3.
3. Dividimos numerador y denominador por los factores comunes: \[ \frac{18}{24} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4} \]

\( \frac{18}{24} \) y \( \frac{3}{4} \) son fracciones equivalentes.

Ejercicios

Grupo 1: Determinar si las fracciones son equivalentes usando productos cruzados

1. \( \frac{1}{3} \) y \( \frac{4}{12} \)
2. \( \frac{2}{5} \) y \( \frac{6}{10} \)
3. \( \frac{4}{7} \) y \( \frac{16}{28} \)
4. \( \frac{5}{9} \) y \( \frac{25}{45} \)
5. \( \frac{-3}{4} \) y \( \frac{6}{-8} \)
6. \( \frac{7}{2} \) y \( \frac{21}{6} \)

Grupo 2: Simplificar las siguientes fracciones a su mínima expresión

1. \( \frac{30}{45} \)
2. \( \frac{56}{72} \)
3. \( \frac{120}{180} \)
4. \( \frac{-15}{25} \)
5. \( \frac{42}{-49} \)
6. \( \frac{-28}{-63} \)
7. \( \frac{90}{135} \)
8. \( \frac{165}{220} \)
9. \( \frac{2a}{4a} \) (siendo \(a \neq 0\))
10. \( \frac{6x^2}{9x} \) (siendo \(x \neq 0\))
11. \( \frac{5(y + 2)}{10(y + 2)} \) (siendo \(y \neq -2\))