5. Suma y Resta de Fracciones

Suma y Resta de Fracciones

Fracciones con Igual Denominador

Para sumar o restar fracciones que tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el mismo denominador. Luego, si es posible, se simplifica el resultado.

Ejemplos:

  1. Suma: \( \frac{3}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3+2}{7} = \frac{5}{7} \)
  2. Resta: \( \frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{5-2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \) (simplificado)
  3. Suma con números negativos: \( \frac{-2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{-2+4}{5} = \frac{2}{5} \)
  4. Resta con números negativos: \( \frac{1}{8} - \frac{-3}{8} = \frac{1-(-3)}{8} = \frac{1+3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \) (simplificado)

Fracciones con Distinto Denominador

Para sumar o restar fracciones que tienen distinto denominador, se deben seguir estos pasos:

  1. Encontrar el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. Este será el denominador común.
  2. Convertir cada fracción a una fracción equivalente que tenga como denominador el MCM encontrado. Para ello, se amplifica cada fracción (se multiplica numerador y denominador) por el número que sea necesario.
  3. Sumar o restar las fracciones equivalentes obtenidas, siguiendo el procedimiento para fracciones con igual denominador (sumar o restar los numeradores y mantener el denominador común).
  4. Simplificar el resultado, si es posible.

Ejemplos:

  1. Suma: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \)
    • MCM(2, 3) = 6
    • \( \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} \)
    • \( \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} \)
    • \( \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6} \)
  2. Resta: \( \frac{3}{4} - \frac{1}{6} \)
    • MCM(4, 6) = 12
    • \( \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12} \)
    • \( \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} \)
    • \( \frac{9}{12} - \frac{2}{12} = \frac{9-2}{12} = \frac{7}{12} \)
  3. Suma con números negativos: \( \frac{-2}{3} + \frac{1}{4} \)
    • MCM(3, 4) = 12
    • \( \frac{-2}{3} = \frac{-2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{-8}{12} \)
    • \( \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} \)
    • \( \frac{-8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{-8+3}{12} = \frac{-5}{12} = -\frac{5}{12}\)
  4. Resta con números negativos: \( \frac{2}{5} - \frac{-1}{2} \)
    • MCM(5, 2) = 10
    • \( \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{4}{10} \)
    • \( \frac{-1}{2} = \frac{-1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{-5}{10} \)
    • \( \frac{4}{10} - \frac{-5}{10} = \frac{4-(-5)}{10} = \frac{4+5}{10} = \frac{9}{10} \)

Suma y Resta de Enteros y Fracciones

Para sumar o restar un número entero y una fracción, se convierte el número entero a una fracción con denominador 1. Luego, se procede como en la suma o resta de fracciones con distinto denominador.

Ejemplos:

  1. Suma: \( 3 + \frac{1}{4} = \frac{3}{1} + \frac{1}{4} \)
    • MCM(1, 4) = 4
    • \( \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 4} = \frac{12}{4} \)
    • \( \frac{12}{4} + \frac{1}{4} = \frac{12+1}{4} = \frac{13}{4} \)
  2. Resta: \( 2 - \frac{3}{5} = \frac{2}{1} - \frac{3}{5} \)
    • MCM(1, 5) = 5
    • \( \frac{2}{1} = \frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 5} = \frac{10}{5} \)
    • \( \frac{10}{5} - \frac{3}{5} = \frac{10-3}{5} = \frac{7}{5} \)

Suma y Resta de Números Mixtos, Enteros y Fracciones

Para sumar o restar números mixtos con enteros y fracciones, hay varios enfoques. Uno de los más sencillos es convertir todo a fracciones impropias y luego proceder como en la suma o resta de fracciones.

Ejemplos:

  1. Suma: \( 1\frac{1}{2} + 3 = \frac{3}{2} + \frac{3}{1} \)
    • MCM(2, 1) = 2
    • \( \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{6}{2} \)
    • \( \frac{3}{2} + \frac{6}{2} = \frac{3+6}{2} = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} \)
  2. Resta: \( 2\frac{3}{4} - \frac{1}{3} = \frac{11}{4} - \frac{1}{3} \)
    • MCM(4, 3) = 12
    • \( \frac{11}{4} = \frac{11 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{33}{12} \)
    • \( \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12} \)
    • \( \frac{33}{12} - \frac{4}{12} = \frac{33-4}{12} = \frac{29}{12} = 2\frac{5}{12} \)
  3. Suma con parte algebraica: \( 1\frac{1}{2} + x = \frac{3}{2} + \frac{x}{1} \)
    • MCM(2, 1) = 2
    • \( \frac{x}{1} = \frac{x \cdot 2}{1 \cdot 2} = \frac{2x}{2} \)
    • \( \frac{3}{2} + \frac{2x}{2} = \frac{3+2x}{2} \)

Ejercicios

Grupo 1: Suma y resta de fracciones con igual denominador

  1. \( \frac{2}{5} + \frac{1}{5} \)
  2. \( \frac{7}{11} - \frac{3}{11} \)
  3. \( \frac{-4}{9} + \frac{2}{9} \)
  4. \( \frac{5}{12} - \frac{-1}{12} \)
  5. \( \frac{3}{8} + \frac{-5}{8} \)
  6. \( \frac{-2}{7} - \frac{3}{7}\)

Grupo 2: Suma y resta de fracciones con distinto denominador

  1. \( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \)
  2. \( \frac{2}{5} - \frac{1}{10} \)
  3. \( \frac{-3}{4} + \frac{1}{6} \)
  4. \( \frac{2}{3} - \frac{-1}{2} \)
  5. \( \frac{3}{8} + \frac{-1}{6} \)
  6. \( \frac{-5}{12} - \frac{1}{4} \)

Grupo 3: Suma y resta de enteros y fracciones

  1. \( 2 + \frac{1}{3} \)
  2. \( 5 - \frac{2}{7} \)
  3. \( -3 + \frac{3}{4} \)
  4. \( \frac{-4}{5} + 4\)
  5. \( \frac{5}{6} - (-2) \)
  6. \( -1 - \frac{2}{9} \)

Grupo 4: Suma y resta de números mixtos, enteros y fracciones

  1. \( 2\frac{1}{4} + 1 \)
  2. \( 3\frac{2}{5} - \frac{1}{2} \)
  3. \( -1\frac{1}{3} + \frac{3}{4} \)
  4. \( 4 - 2\frac{5}{6} \)
  5. \( 1\frac{2}{7} + \frac{-3}{14} \)
  6. Escribe como una sola fracción: \( x + 2\frac{1}{2}\)
  7. Escribe como una sola fracción: \( 1\frac{2}{3} - a\)
  8. Escribe como una sola fracción: \( 2\frac{1}{4} + b - 1\frac{1}{2}\)
  9. Escribe como una sola fracción: \( \frac{a}{5} + \frac{3a}{5} \)
  10. Escribe como una sola fracción: \( \frac{2x}{3} + \frac{x}{4} - \frac{5y}{6} + \frac{y}{2}\)