El Cuadrado de un Binomio: El Caso de la Resta

En la página anterior, exploramos el cuadrado de un binomio cuando se trata de una suma \((a + b)^2\). Ahora, vamos a analizar el caso de la resta, es decir, expresiones de la forma \((a - b)^2\).

Desarrollo del Producto Notable (a - b)²

Al igual que con la suma, elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo. Entonces, \((a - b)^2\) es lo mismo que \((a - b) \cdot (a - b)\). Usando la propiedad distributiva, desarrollamos esta expresión:

\( (a - b)^2 = (a - b) \cdot (a - b) \)

\( = a \cdot (a - b) - b \cdot (a - b) \)

\( = (a \cdot a) - (a \cdot b) - (b \cdot a) + (b \cdot b) \)

\( = a^2 - ab - ba + b^2 \)

\( = a^2 - 2ab + b^2 \)

Por lo tanto, la fórmula para el cuadrado de un binomio (resta) es:

\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar el cuadrado de un binomio (resta) con un cuadrado:

(Aquí iría una imagen de un cuadrado de lado 'a' al que se le quita un área de (a-b)^2, dejando dos rectangulos de area a•b y un cuadrado de area b^2. Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

Imagina un cuadrado grande de lado 'a'. Para visualizar (a - b)², quitamos dos rectángulos de área a•b de los bordes del cuadrado y sumamos un cuadrado mas pequeño de lado b (ya que se quito dos veces). El área resultante es \(a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

Ejercicios (Cuadrado de un Binomio - Resta)

Nivel 1: Expandir \((a - b)^2\) con valores enteros para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (5 - 2)^2 \)
Ejercicio 2: \( (8 - 3)^2 \)
Ejercicio 3: \( (4 - 1)^2 \)
Ejercicio 4: \( (9 - 5)^2 \)

Nivel 2: Expandir \((a - b)^2\) con valores racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados) para 'a' y 'b' (4 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (1 - 0.5)^2 \)
Ejercicio 2: \( (\frac{3}{4} - \frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 3: \( (3 - 1\frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 4: \( (2.5 - 0.5)^2 \)

Nivel 3: Expandir \((a - b)^2\) con expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( (x - 3)^2 \)
Ejercicio 2: \( (a - 5)^2 \)
Ejercicio 3: \( (m - n)^2 \)
Ejercicio 4: \( (3x - 2)^2 \)
Ejercicio 5: \( (5 - 2y)^2 \)
Ejercicio 6: \( (2a - \frac{1}{2})^2 \)
Ejercicio 7: \( (1.5 - 0.5x)^2 \)
Ejercicio 8: \( (x - y)^2 \)
Ejercicio 9: \( (4a - 3b)^2 \)
Ejercicio 10: \( (\frac{2}{3} - m)^2 \)
Ejercicio 11: \( (x - 2.5)^2 \)
Ejercicio 12: \( (5x - 2y)^2 \)
Ejercicio 13: \( (\frac{1}{2}m - \frac{2}{3}n)^2 \)
Ejercicio 14: \( (0.2x - 1)^2 \)

Factorizando un Trinomio Cuadrado Perfecto (Resta)

Para factorizar una expresión de la forma \(a^2 - 2ab + b^2\), debemos identificar que es un trinomio cuadrado perfecto. En este caso, el segundo término es negativo. Los pasos son similares al caso de la suma:

Ejemplo: Factorizar la expresión \(x^2 - 8x + 16\).

1. **Identificar los cuadrados perfectos:** El primer término, \(x^2\), es el cuadrado de \(x\). El tercer término, \(16\), es el cuadrado de \(4\).

2. **Verificar el doble producto:** El segundo término, \(-8x\), es el doble del producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término, con un signo negativo: \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\), y luego le agregamos el signo negativo.

3. **Factorizar:** Como la expresión cumple con las características de un trinomio cuadrado perfecto (con el segundo término negativo), podemos factorizarla como el cuadrado de un binomio (resta): \(x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2\).

Nivel 4: Factorizar expresiones a la forma \(a^2 - 2ab + b^2\) (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( x^2 - 6x + 9 \)
Ejercicio 2: \( a^2 - 10a + 25 \)
Ejercicio 3: \( m^2 - 4m + 4 \)
Ejercicio 4: \( 9x^2 - 6x + 1 \)
Ejercicio 5: \( 4y^2 - 12y + 9 \)
Ejercicio 6: \( a^2 - a + \frac{1}{4} \)
Ejercicio 7: \( 4x^2 - 4x + 1 \)
Ejercicio 8: \( x^2 - 2xy + y^2 \)
Ejercicio 9: \( 16a^2 - 40ab + 25b^2 \)
Ejercicio 10: \( m^2 - \frac{4}{3}m + \frac{4}{9} \)
Ejercicio 11: \( x^2 - 5x + 6.25 \)
Ejercicio 12: \( 4x^2 - 12xy + 9y^2 \)
Ejercicio 13: \( \frac{9}{4}m^2 - 3mn + n^2 \)
Ejercicio 14: \( 0.04x^2 - 0.4x + 1 \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren el cuadrado de un binomio (resta).

Problema 1: El área de un cuadrado es \(x^2 - 14x + 49\) unidades cuadradas. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado en términos de \(x\)?

Problema 2: Un মঞ্চ (escenario) cuadrado tiene un área de \(9x^2 - 12x + 4\) metros cuadrados. Se quiere colocar una alfombra que cubra todo el মঞ্চ. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra en términos de \(x\)?

Problema 3: Se tiene un terreno cuadrado de lado "y" metros. Se quiere construir una casa cuadrada en una esquina del terreno, dejando el resto como jardín. Si el área del jardín se puede expresar como \(y^2 - 8y + 16\) metros cuadrados, ¿cuál es la expresión que representa la longitud del lado de la casa?