Libro Productos Notables
1. Descubriendo los Productos Notables: multiplicar se vuelve más fácil
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Los productos notables son herramientas útiles del álgebra que permiten simplificar y agilizar la multiplicación de ciertas expresiones. En esta página comenzaremos desde una idea fundamental: la propiedad distributiva.
Repaso de la Propiedad Distributiva
¿Qué establece esta propiedad?
La propiedad distributiva establece que multiplicar un número por una suma es equivalente a multiplicar ese número por cada sumando y luego sumar los resultados.
Ejemplo en contexto
Imagina que tienes 3 cajas. Cada caja contiene 2 manzanas y 4 naranjas. Para saber cuántas frutas hay en total, puedes calcularlo de dos maneras:
- Primero sumar las frutas de una caja: \(2+4=6\), y luego multiplicar por las 3 cajas: \(3\cdot 6=18\).
- O calcular por separado las manzanas y las naranjas: \(3\cdot 2=6\) y \(3\cdot 4=12\), para luego sumar: \(6+12=18\).
Ambos métodos entregan el mismo resultado. Esa es la propiedad distributiva en acción.
Representación geométrica
También podemos visualizar esta propiedad con áreas. Si un rectángulo tiene un lado de medida \(a\) y el otro lado de medida \(b+c\), su área total es \(a(b+c)\).
Ese rectángulo puede dividirse en dos partes: una de área \(ab\) y otra de área \(ac\). Por eso, el área total también puede escribirse como \(ab+ac\).
Fórmula general
\[ a(b+c)=ab+ac \]
¿Por qué es tan importante si puedo sumar primero?
En una expresión numérica como \(5(10+4)\), es fácil sumar primero: \(5\cdot 14=70\).
Pero en una expresión algebraica como \(5(x+4)\), no se puede sumar \(x+4\), porque no son términos semejantes. En ese caso, la propiedad distributiva permite transformar la expresión:
\[ 5(x+4)=5x+20 \]
Por eso esta propiedad es fundamental para trabajar con expresiones algebraicas.
Ejercicios de propiedad distributiva
Ejemplo guiado: nivel 1
Resolvamos \(5(10+4)\).
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 5(10+4)=(5\cdot 10)+(5\cdot 4) \]
Calculamos cada multiplicación:
\[ 50+20=70 \]
Comprobación:
\[ 5(10+4)=5\cdot 14=70 \]
Ambos caminos entregan el mismo resultado.
Nivel 1: ejercicios simples con números enteros
- \(3(4+5)\)
- \(7(2+8)\)
- \(5(9+1)\)
- \(2(6+3)\)
1. \[ 3(4+5)=(3\cdot 4)+(3\cdot 5)=12+15=27 \]
2. \[ 7(2+8)=(7\cdot 2)+(7\cdot 8)=14+56=70 \]
3. \[ 5(9+1)=(5\cdot 9)+(5\cdot 1)=45+5=50 \]
4. \[ 2(6+3)=(2\cdot 6)+(2\cdot 3)=12+6=18 \]
Ejemplo guiado: nivel 2
Resolvamos \(6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\).
Distribuimos el \(6\) en cada término del paréntesis:
\[ 6\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right) = 6\cdot\frac{1}{2}+6\cdot\frac{1}{3} \]
Calculamos:
\[ \frac{6}{2}+\frac{6}{3}=3+2=5 \]
Nivel 2: números racionales
- \(2(0{,}5+1{,}5)\)
- \(4\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right)\)
- \(3\left(1\frac{1}{2}+2\right)\)
- \(0{,}8(5+2{,}5)\)
1. \[ 2(0{,}5+1{,}5)=2\cdot 0{,}5+2\cdot 1{,}5=1+3=4 \]
2. \[ 4\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\right) = 4\cdot\frac{1}{2}+4\cdot\frac{3}{4} = 2+3=5 \]
3. \[ 3\left(1\frac{1}{2}+2\right) = 3\left(\frac{3}{2}+2\right) = 3\cdot\frac{3}{2}+3\cdot 2 = \frac{9}{2}+6 = 4{,}5+6=10{,}5 \]
4. \[ 0{,}8(5+2{,}5)=0{,}8\cdot 5+0{,}8\cdot 2{,}5=4+2=6 \]
Ejemplo guiado: nivel 3
Expandamos \(4x(2y+3)\).
Multiplicamos el término exterior \(4x\) por cada término del paréntesis:
\[ 4x(2y+3)=4x\cdot 2y+4x\cdot 3 \]
Calculamos cada producto:
\[ 4x\cdot 2y=8xy \]
\[ 4x\cdot 3=12x \]
Por lo tanto:
\[ 4x(2y+3)=8xy+12x \]
No se puede reducir \(8xy+12x\), porque \(8xy\) y \(12x\) no son términos semejantes.
Nivel 3: mezclando números y letras
- \(2(3+4)\)
- \(5(1{,}2+2{,}8)\)
- \(\frac{1}{3}(6+9)\)
- \(2\frac{1}{4}(4+8)\)
- \(3(x+4)\)
- \(a(2+7)\)
- \(0{,}5(4a+6)\)
- \(\frac{2}{3}(6x+9y)\)
- \(4(2a+3b)\)
- \(x(y+z)\)
- \(1{,}2(5m+2{,}5n)\)
- \(2(x+y+3)\)
- \(m(2+n+p)\)
- \(\frac{1}{2}(4x+6y+8z)\)
1. \[ 2(3+4)=2\cdot 3+2\cdot 4=6+8=14 \]
2. \[ 5(1{,}2+2{,}8)=5\cdot 1{,}2+5\cdot 2{,}8=6+14=20 \]
3. \[ \frac{1}{3}(6+9)=\frac{1}{3}\cdot 6+\frac{1}{3}\cdot 9=2+3=5 \]
4. \[ 2\frac{1}{4}(4+8)=\frac{9}{4}\cdot 4+\frac{9}{4}\cdot 8=9+18=27 \]
5. \[ 3(x+4)=3x+12 \]
6. \[ a(2+7)=2a+7a=9a \]
7. \[ 0{,}5(4a+6)=0{,}5\cdot 4a+0{,}5\cdot 6=2a+3 \]
8. \[ \frac{2}{3}(6x+9y)=\frac{2}{3}\cdot 6x+\frac{2}{3}\cdot 9y=4x+6y \]
9. \[ 4(2a+3b)=8a+12b \]
10. \[ x(y+z)=xy+xz \]
11. \[ 1{,}2(5m+2{,}5n)=1{,}2\cdot 5m+1{,}2\cdot 2{,}5n=6m+3n \]
12. \[ 2(x+y+3)=2x+2y+6 \]
13. \[ m(2+n+p)=2m+mn+mp \]
14. \[ \frac{1}{2}(4x+6y+8z)=2x+3y+4z \]
Yendo al revés: La Factorización
Idea clave
La factorización es el proceso inverso a la propiedad distributiva. En lugar de multiplicar para expandir una expresión, buscamos un factor común para escribirla como un producto.
Por ejemplo, en \(3x+12\), el factor común es \(3\), ya que \(3x=3\cdot x\) y \(12=3\cdot 4\). Entonces:
\[ 3x+12=3(x+4) \]
Ejemplo guiado: nivel 4
Factoricemos \(12a^2b+18ab^2\).
Buscamos el máximo factor común:
- Entre \(12\) y \(18\), el mayor factor común es \(6\).
- Entre \(a^2\) y \(a\), se extrae \(a\), porque es la menor potencia común.
- Entre \(b\) y \(b^2\), se extrae \(b\), porque es la menor potencia común.
Entonces, el máximo factor común es \(6ab\).
Dividimos cada término por \(6ab\):
\[ \frac{12a^2b}{6ab}=2a \]
\[ \frac{18ab^2}{6ab}=3b \]
Por lo tanto:
\[ 12a^2b+18ab^2=6ab(2a+3b) \]
Nivel 4: factoriza las siguientes expresiones
- \(6x+9y\)
- \(10ab+15ac\)
- \(4m+12mn\)
- \(7xy+14xz\)
- \(2a+4b+8c\)
- \(5x+10x^2\)
- \(18abc+9ad\)
- \(\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y\)
- \(2{,}5m+5n\)
- \(3ab+6ac+9ad\)
- \(14x+7y\)
- \(8mn+4m\)
- \(\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b\)
- \(9x+6xy+3xz\)
1. El factor común es \(3\): \[ 6x+9y=3(2x+3y) \]
2. El factor común es \(5a\): \[ 10ab+15ac=5a(2b+3c) \]
3. El factor común es \(4m\): \[ 4m+12mn=4m(1+3n) \]
4. El factor común es \(7x\): \[ 7xy+14xz=7x(y+2z) \]
5. El factor común es \(2\): \[ 2a+4b+8c=2(a+2b+4c) \]
6. El factor común es \(5x\): \[ 5x+10x^2=5x(1+2x) \]
7. El factor común es \(9a\): \[ 18abc+9ad=9a(2bc+d) \]
8. El factor común es \(\frac{1}{2}\): \[ \frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y=\frac{1}{2}(x+3y) \]
9. El factor común es \(2{,}5\): \[ 2{,}5m+5n=2{,}5(m+2n) \]
10. El factor común es \(3a\): \[ 3ab+6ac+9ad=3a(b+2c+3d) \]
11. El factor común es \(7\): \[ 14x+7y=7(2x+y) \]
12. El factor común es \(4m\): \[ 8mn+4m=4m(2n+1) \]
13. El factor común es \(\frac{1}{4}\): \[ \frac{3}{4}a+\frac{1}{4}b=\frac{1}{4}(3a+b) \]
14. El factor común es \(3x\): \[ 9x+6xy+3xz=3x(3+2y+z) \]
Cuidado con el \(1\) fantasma
Un error común al factorizar es olvidar el \(1\) cuando un término completo coincide con el factor común.
Por ejemplo, en \(8mn+4m\), el factor común es \(4m\). Al dividir \(8mn\) por \(4m\), obtenemos \(2n\). Pero al dividir \(4m\) por \(4m\), obtenemos \(1\), no \(0\).
Por eso:
\[ 8mn+4m=4m(2n+1) \]
Aplicaciones: problemas de la vida real
Ejemplo guiado: calculando una compra
Para una convivencia se compran 4 bebidas a $1.200 cada una y 4 paquetes de galletas a $800 cada uno. ¿Cuánto se gasta en total?
Método 1: calcular por separado.
\[ 4\cdot 1200+4\cdot 800=4800+3200=8000 \]
Método 2: usar la propiedad distributiva.
Como se compran 4 unidades de cada producto, se puede escribir:
\[ 4(1200+800)=4\cdot 2000=8000 \]
En ambos casos, el gasto total es $8.000.
Problema 1
Tres amigos van a un complejo deportivo. Cada uno debe pagar una entrada de $5.000 y arrendar un casillero por $1.500. ¿Cuál es el costo total para el grupo? Exprésalo usando la propiedad distributiva.
El costo por persona es:
\[ 5000+1500 \]
Como son 3 personas, el costo total es:
\[ 3(5000+1500) \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ 3(5000+1500)=3\cdot 5000+3\cdot 1500 \]
\[ 15000+4500=19500 \]
El costo total para el grupo es $19.500.
Problema 2
Un terreno rectangular se divide en dos secciones para plantar. La primera sección tiene largo \(10\) metros y la segunda tiene largo \(8\) metros. Ambas tienen el mismo ancho de \(x\) metros. Escribe una expresión simplificada para el área total del terreno.
El ancho común es \(x\), y los largos suman \(10+8\). Entonces:
\[ A=x(10+8) \]
Aplicamos la propiedad distributiva:
\[ x(10+8)=10x+8x=18x \]
El área total del terreno es \(18x\) metros cuadrados.
Problema 3
Una tienda de ropa tiene una oferta de 20% de descuento en el total de la compra. Ana elige una polera de $12.000 y un pantalón de $25.000. ¿Cuánto pagará en total?
Pista: pagar con un 20% de descuento equivale a pagar el 80% del precio original.
Primero representamos el total sin descuento:
\[ 12000+25000=37000 \]
Como paga el 80%, multiplicamos por \(0{,}8\):
\[ 0{,}8(12000+25000) \]
Aplicando la propiedad distributiva:
\[ 0{,}8\cdot 12000+0{,}8\cdot 25000=9600+20000=29600 \]
Ana pagará $29.600.
El Gran Salto: de la distribución al primer producto notable
De la distributividad al cuadrado de un binomio
Ahora usemos la propiedad distributiva para desarrollar \((x+3)^2\).
Elevar al cuadrado significa multiplicar una expresión por sí misma:
\[ (x+3)^2=(x+3)(x+3) \]
Distribuimos cada término del primer paréntesis sobre el segundo:
\[ (x+3)(x+3)=x(x+3)+3(x+3) \]
Aplicamos la propiedad distributiva en cada parte:
\[ x(x+3)=x^2+3x \]
\[ 3(x+3)=3x+9 \]
Juntamos los resultados:
\[ x^2+3x+3x+9 \]
Reducimos los términos semejantes:
\[ x^2+6x+9 \]
Por lo tanto:
\[ (x+3)^2=x^2+6x+9 \]
Primer producto notable
El patrón general del cuadrado de un binomio suma es:
\[ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \]
Se lee: el primer término al cuadrado, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo término al cuadrado.