1. Productos Notables

Descubriendo los Productos Notables: ¡Multiplicar se vuelve más fácil!

Los productos notables son una herramienta muy útil en álgebra que nos permiten simplificar y agilizar la multiplicación de ciertas expresiones. En esta página, vamos a comenzar nuestro viaje explorando la base de todo: la propiedad distributiva.

Repaso de la Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.

🌍 Ejemplo en el mundo real: Imagina que tienes 3 cajas, y cada caja contiene 2 manzanas y 4 naranjas. Para saber cuántas frutas tienes en total, puedes calcularlo de dos maneras:
  • Sumar las frutas de una caja (2 manzanas + 4 naranjas = 6 frutas) y luego multiplicar por el número de cajas (6 frutas/caja × 3 cajas = 18 frutas).
  • O bien, calcular cuántas manzanas tienes (3 cajas × 2 manzanas/caja = 6 manzanas) y cuántas naranjas tienes (3 cajas × 4 naranjas/caja = 12 naranjas), y luego sumar ambas cantidades (6 manzanas + 12 naranjas = 18 frutas).

Ambos métodos te dan el mismo resultado. ¡Eso es la propiedad distributiva en acción!

🤓 Representación Geométrica: Podemos visualizar la propiedad distributiva con el área de rectángulos. Si un rectángulo tiene un lado que mide "a" y el otro lado mide "b + c", su área total es \( a \cdot (b + c) \). Este rectángulo grande se puede dividir en dos más pequeños: uno con área \(a \cdot b\) y otro con área \(a \cdot c\). La suma de las áreas pequeñas es igual al área del rectángulo grande.
📐 Fórmula General: La propiedad distributiva se expresa con la siguiente fórmula:

\( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

💡 Pero... ¿Por qué es tan importante si puedo sumar primero?

En el ejemplo numérico \(5 \cdot (10 + 4)\), es fácil calcular \(5 \cdot 14 = 70\). Tienes razón. La verdadera magia de la propiedad distributiva aparece en el álgebra.

Si la expresion fuera \(5 \cdot (x + 4)\) no podriamos sumar primero \(x + 4\) porque no son "términos semejantes". ¡Es imposible simplificarlo más! La propiedad distributiva es la única herramienta que nos permite "romper" ese paréntesis en \(5 \cdot (x + 4)\) y seguir trabajando con la expresión. Por eso es fundamental.

Ahora, ¡a practicar con algunos ejercicios!

Ejercicios (Propiedad Distributiva)

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 1): Vamos a resolver juntos \( 5 \cdot (10 + 4) \).

Aquí, \(a=5\), \(b=10\) y \(c=4\).

Aplicamos la fórmula \( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \):

\( 5 \cdot (10 + 4) = (5 \cdot 10) + (5 \cdot 4) \)

Calculamos cada multiplicación:

\( = 50 + 20 \)

Y sumamos:

\( = 70 \)

Comprobación: Si sumamos primero dentro del paréntesis, obtenemos \( 5 \cdot (14) \), lo que también es 70. ¡Funciona perfecto!

Nivel 1: Ejercicios simples con números enteros.

Ejercicio 1: \( 3 \cdot (4 + 5) \)

Ejercicio 2: \( 7 \cdot (2 + 8) \)

Ejercicio 3: \( 5 \cdot (9 + 1) \)

Ejercicio 4: \( 2 \cdot (6 + 3) \)

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 2): Resolvamos \( 6 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) \).

Distribuimos el 6 a cada fracción dentro del paréntesis:

\( 6 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = (6 \cdot \frac{1}{2}) + (6 \cdot \frac{1}{3}) \)

Ahora, calculamos cada producto. Recuerda que multiplicar un entero por una fracción es multiplicar el entero por el numerador:

\( = \frac{6}{2} + \frac{6}{3} \)

Simplificamos las fracciones:

\( = 3 + 2 = 5 \)

Nivel 2: Ahora con números racionales (decimales y fracciones).

Ejercicio 1: \( 2 \cdot (0.5 + 1.5) \)

Ejercicio 2: \( 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \)

Ejercicio 3: \( 3 \cdot (1\frac{1}{2} + 2) \)

Ejercicio 4: \( 0.8 \cdot (5 + 2.5) \)

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 3): Expandamos la expresión \( 4x \cdot (2y + 3) \).

Multiplicamos el término de afuera (\(4x\)) por cada término de adentro (\(2y\) y \(3\)).

1. Primer término: \( (4x \cdot 2y) = 8xy \)

2. Segundo término: \( (4x \cdot 3) = 12x \)

Juntamos los resultados:

\( 4x \cdot (2y + 3) = 8xy + 12x \)

🤓 Nota: La expresión queda así. No podemos sumar \(8xy\) y \(12x\) porque no son "términos semejantes" (uno tiene 'y' y el otro no).

Nivel 3: Mezclando números y letras (álgebra).

1. \( 2 \cdot (3 + 4) \)

2. \( 5 \cdot (1.2 + 2.8) \)

3. \( \frac{1}{3} \cdot (6 + 9) \)

4. \( 2\frac{1}{4} \cdot (4 + 8) \)

5. \( 3 \cdot (x + 4) \)

6. \( a \cdot (2 + 7) \)

7. \( 0.5 \cdot (4a + 6) \)

8. \( \frac{2}{3} \cdot (6x + 9y) \)

9. \( 4 \cdot (2a + 3b) \)

10. \( x \cdot (y + z) \)

11. \( 1.2 \cdot (5m + 2.5n) \)

12. \( 2 \cdot (x + y + 3) \)

13. \( m \cdot (2 + n + p) \)

14. \( \frac{1}{2} \cdot (4x + 6y + 8z) \)

Yendo al revés: La Factorización

💡 Idea Clave: La factorización es el proceso inverso a la propiedad distributiva. En lugar de multiplicar para expandir una expresión, buscamos el factor que es común en todos los términos para "contraerla".

Por ejemplo: en \(3x + 12\), nos preguntamos: ¿qué número o letra se repite en ambos términos? Vemos que 12 es \(3 \cdot 4\), entonces el 3 es un factor común. Así, \(3x + 12 = 3(x + 4)\).

✨ Ejemplo Guiado (Nivel 4): Vamos a factorizar la expresión \( 12a^2b + 18ab^2 \).

Buscamos el Máximo Factor Común (MFC) pieza por pieza:

  • Números (12 y 18): El número más grande que divide a ambos es el 6.
  • Letra 'a' (\(a^2\) y \(a\)): Escogemos la de menor exponente, es decir, a.
  • Letra 'b' (\(b\) y \(b^2\)): Escogemos la de menor exponente, es decir, b.

Nuestro MFC es \(6ab\). Ahora, lo ponemos fuera de un paréntesis y dividimos cada término original por él:

\( \frac{12a^2b}{6ab} = 2a \)

\( \frac{18ab^2}{6ab} = 3b \)

El resultado final es:

\( 12a^2b + 18ab^2 = 6ab(2a + 3b) \)

Nivel 4: Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.

1. \( 6x + 9y \)

2. \( 10ab + 15ac \)

3. \( 4m + 12mn \)

4. \( 7xy + 14xz \)

5. \( 2a + 4b + 8c \)

6. \( 5x + 10x^2 \)

7. \( 18abc + 9ad \)

8. \( \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y \)

9. \( 2.5m + 5n \)

10. \( 3ab + 6ac + 9ad \)

11. \( 14x + 7y \)

12. \( 8mn + 4m \)

13. \( \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b \)

14. \( 9x + 6xy + 3xz \)

⚠️ ¡Cuidado con el "1" fantasma! Un error muy común al factorizar es olvidar el '1'. Por ejemplo, en \(8mn + 4m\), el factor común es \(4m\). Al dividir \(8mn\) por \(4m\) obtenemos \(2n\). Pero al dividir \(4m\) por \(4m\) obtenemos \(1\). ¡No cero! Por eso la respuesta correcta es \(4m(2n + 1)\) y no \(4m(2n)\).

Aplicaciones: Problemas de la vida real

✨ Ejemplo Guiado: Calculando una compra

Problema: Imagina que para una convivencia compras 4 bebidas a $1.200 cada una y 4 paquetes de galletas a $800 cada uno. ¿Cuánto gastas en total?

Podemos resolver esto de dos formas que demuestran la propiedad distributiva:

Método 1: Sumar los costos individuales.

Calculamos el total de las bebidas y el total de las galletas por separado y luego sumamos.

\( (4 \cdot 1200) + (4 \cdot 800) = 4800 + 3200 = \$8000 \)

Método 2: Usar la distributividad (factorizando).

Como compramos 4 unidades de cada cosa, podemos sumar el precio de "un combo" (bebida + galletas) y luego multiplicar por 4.

\( 4 \cdot (1200 + 800) = 4 \cdot (2000) = \$8000 \)

Conclusión: Ambos caminos llevan al mismo resultado. La propiedad distributiva nos permite pasar de una forma a la otra.

Problema 1: Tres amigos van a un complejo deportivo. Cada uno debe pagar una entrada de $5.000 y arrendar un casillero por $1.500. ¿Cuál es el costo total para el grupo? (Exprésalo usando la propiedad distributiva).

Problema 2: Un terreno rectangular se divide en dos para plantar. La primera sección tiene un largo de 10 metros y la segunda tiene un largo de 8 metros. Ambas secciones tienen el mismo ancho de \(x\) metros. Escribe una expresión simplificada para el área total del terreno.

Problema 3: Una tienda de ropa tiene una oferta de "20% de descuento en el total de tu compra". Ana elige una polera de $12.000 y un pantalón de $25.000. ¿Cuánto pagará Ana en total?
(Pista: Pagar con un 20% de descuento es lo mismo que pagar el 80% del precio original).

El Gran Salto: De la Distribución al Primer Producto Notable

🌍 ¡Ahora, el gran final!

Has dominado la propiedad distributiva. ¿Qué pasa si te pido calcular \( (x+3)^2 \)?

Recuerda que elevar al cuadrado es multiplicar por sí mismo: \( (x+3)^2 = (x+3)(x+3) \). Para resolverlo, distribuiremos cada parte del primer paréntesis sobre el segundo. ¡Vamos a usar colores para que quede más claro!

\( (\textcolor{blue}{x} \textcolor{red}{+3})(x+3) \)

Paso 1: Tomamos la primera parte (\(\textcolor{blue}{x}\)) y la multiplicamos por todo el segundo paréntesis.

\( \textcolor{blue}{x}(x+3) = (\textcolor{blue}{x} \cdot x) + (\textcolor{blue}{x} \cdot 3) = \textcolor{blue}{x^2 + 3x} \)

Paso 2: Ahora tomamos la segunda parte (\(\textcolor{red}{+3}\)) y hacemos exactamente lo mismo.

\( \textcolor{red}{+3}(x+3) = (\textcolor{red}{+3} \cdot x) + (\textcolor{red}{+3} \cdot 3) = \textcolor{red}{+3x + 9} \)

Paso 3: Finalmente, juntamos todos los resultados y sumamos los "términos semejantes".

\( \textcolor{blue}{x^2 + 3x} \textcolor{red}{+3x + 9} = x^2 + 6x + 9 \)

¡Así, hemos demostrado que \( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \) !

📐 ¡Acabas de descubrir el primer Producto Notable!

El patrón general para el Cuadrado de un Binomio es:

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Que se lee: "El primer término al cuadrado, más el doble del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". ¡Esto es lo que exploraremos en la siguiente lección!