Descubriendo los Productos Notables: ¡Multiplicar se vuelve más fácil!

Los productos notables son una herramienta muy útil en álgebra que nos permiten simplificar y agilizar la multiplicación de ciertas expresiones. En esta página, vamos a comenzar nuestro viaje explorando la base de todo: la propiedad distributiva.

Repaso de la Propiedad Distributiva

La propiedad distributiva establece que la multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos.

Ejemplo (Concreto): Imagina que tienes 3 cajas, y cada caja contiene 2 manzanas y 4 naranjas. Para saber cuántas frutas tienes en total, puedes calcularlo de dos maneras:

• Sumar las frutas de una caja (2 manzanas + 4 naranjas = 6 frutas) y luego multiplicar por el número de cajas (6 frutas/caja • 3 cajas = 18 frutas).
• O bien, calcular cuántas manzanas tienes (3 cajas • 2 manzanas/caja = 6 manzanas) y cuántas naranjas tienes (3 cajas • 4 naranjas/caja = 12 naranjas), y luego sumar ambas cantidades (6 manzanas + 12 naranjas = 18 frutas).

Ambos métodos te dan el mismo resultado, y esto es gracias a la propiedad distributiva.

Ejemplo (Pictórico): Podemos representar la propiedad distributiva con rectángulos:

(Aquí iría una imagen de un rectángulo grande dividido en dos rectángulos más pequeños, representando la propiedad distributiva. Como estamos en HTML plano, no podemos insertarla, pero sería importante que el profesor la dibuje en la pizarra o se use en una presentación).

Si un rectángulo tiene un lado que mide "a" y el otro lado mide "b + c", su área es a • (b + c). Este rectángulo grande se puede dividir en dos rectángulos más pequeños: uno con lados "a" y "b" (área a • b) y otro con lados "a" y "c" (área a • c). La suma de las áreas de los dos rectángulos pequeños es igual al área del rectángulo grande: a • (b + c) = (a • b) + (a • c).

Ejemplo (Simbólico): La propiedad distributiva se expresa con la siguiente fórmula:

\( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \)

Vamos a practicar con algunos ejercicios.

Ejercicios (Propiedad Distributiva)

Nivel 1: Ejercicios simples de la forma `a • (b + c)` con números enteros.

Ejercicio 1: \( 3 \cdot (4 + 5) \)
Ejercicio 2: \( 7 \cdot (2 + 8) \)
Ejercicio 3: \( 5 \cdot (9 + 1) \)
Ejercicio 4: \( 2 \cdot (6 + 3) \)

Nivel 2: Ejercicios de la forma `a • (b + c)` con números racionales (fracciones propias, números mixtos, enteros y decimales combinados).

Ejercicio 1: \( 2 \cdot (0.5 + 1.5) \)
Ejercicio 2: \( 4 \cdot (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \)
Ejercicio 3: \( 3 \cdot (1\frac{1}{2} + 2) \)
Ejercicio 4: \( 0.8 \cdot (5 + 2.5) \)

Nivel 3: Ejercicios de la forma `a • (b + c)` - Aplicación de la propiedad distributiva

Ejercicio 1: \( 2 \cdot (3 + 4) \)
Ejercicio 2: \( 5 \cdot (1.2 + 2.8) \)
Ejercicio 3: \( \frac{1}{3} \cdot (6 + 9) \)
Ejercicio 4: \( 2\frac{1}{4} \cdot (4 + 8) \)
Ejercicio 5: \( 3 \cdot (x + 4) \)
Ejercicio 6: \( a \cdot (2 + 7) \)
Ejercicio 7: \( 0.5 \cdot (4a + 6) \)
Ejercicio 8: \( \frac{2}{3} \cdot (6x + 9y) \)
Ejercicio 9: \( 4 \cdot (2a + 3b) \)
Ejercicio 10: \( x \cdot (y + z) \)
Ejercicio 11: \( 1.2 \cdot (5m + 2.5n) \)
Ejercicio 12: \( 2 \cdot (x + y + 3) \)
Ejercicio 13: \( m \cdot (2 + n + p) \)
Ejercicio 14: \( \frac{1}{2} \cdot (4x + 6y + 8z) \)

Nivel 4: Factorización de expresiones algebraicas (14 ejercicios).

Ejercicio 1: \( 6x + 9y \)
Ejercicio 2: \( 10ab + 15ac \)
Ejercicio 3: \( 4m + 12mn \)
Ejercicio 4: \( 7xy + 14xz \)
Ejercicio 5: \( 2a + 4b + 8c \)
Ejercicio 6: \( 5x + 10x^2 \)
Ejercicio 7: \( 18abc + 9ad \)
Ejercicio 8: \( \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}y \)
Ejercicio 9: \( 2.5m + 5n \)
Ejercicio 10: \( 3ab + 6ac + 9ad \)
Ejercicio 11: \( 14x + 7y \)
Ejercicio 12: \( 8mn + 4m \)
Ejercicio 13: \( \frac{3}{4}a + \frac{1}{4}b \)
Ejercicio 14: \( 9x + 6xy + 3xz \)

Nivel 5: Situaciones problemáticas que involucren la propiedad distributiva.

Problema 1: Una tienda ofrece un descuento del 10% en todos sus productos. Si compras una camisa que cuesta $20 y un pantalón que cuesta $30, ¿cuánto pagas en total después del descuento? (Pista: Puedes calcular el precio total primero y luego aplicar el descuento, o calcular el descuento en cada artículo y luego sumar los precios con descuento.)

Problema 2: Juan quiere comprar 3 cuadernos que cuestan $2.50 cada uno y 3 lápices que cuestan $0.75 cada uno. ¿Cuánto dinero necesita Juan?

Problema 3: El largo de un rectángulo mide (2x + 3) unidades y el ancho mide 4 unidades. Escribe una expresión para el área del rectángulo y simplifícala usando la propiedad distributiva.